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【典例1】如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$∠ ACB=30°$，将$△ ABC$绕点$C$顺时针旋转一定角度得到$△ DEC$，点$A,B$的对应点分别是$D,E$，连接$AD$，点$E$恰好在$AC$上。
(1)求$∠ CAD$的大小；
(2)若$AB=2$，求$AE$的长。
(1)求$∠ CAD$的大小；
(2)若$AB=2$，求$AE$的长。
答案
(1)由旋转知 $CA=CD$，
$∠ ACD=∠ ACB=30°$，
$\therefore ∠ CAD=75°$；
(2)$AB=2,AC=4,CE=BC=2\sqrt{3}$，
$\therefore AE=4-2\sqrt{3}$。
$∠ ACD=∠ ACB=30°$，
$\therefore ∠ CAD=75°$；
(2)$AB=2,AC=4,CE=BC=2\sqrt{3}$，
$\therefore AE=4-2\sqrt{3}$。
变式.(2026·武汉)如图,等腰$Rt△ ABC$中,$BA=BC$,$∠ ABC=90°$,点$D$在$AC$上,将$△ ABD$绕点$B$顺时针方向旋转$90°$,得到$△ CBE$.
(1)求$∠ DCE$的度数;
(2)若$AD=1$,$CD=3$,求$BD$的长.
(1)求$∠ DCE$的度数;
(2)若$AD=1$,$CD=3$,求$BD$的长.
答案
(1)易证$△ ABD≌△ CBE$，
$\therefore ∠ A=∠ BCE=45°$，
$\therefore ∠ DCE=90°$；
(2)$CE=AD=1,\therefore DE=\sqrt{10}$，
$\therefore BD^2+BE^2=10$，
$\therefore BD=\sqrt{5}$。
$\therefore ∠ A=∠ BCE=45°$，
$\therefore ∠ DCE=90°$；
(2)$CE=AD=1,\therefore DE=\sqrt{10}$，
$\therefore BD^2+BE^2=10$，
$\therefore BD=\sqrt{5}$。
【典例2】(2026·西城区)如图，将$△ ABC$绕点B顺时针旋转$60°$得到$△ DBE$，且满足点A，C，D在同一条直线上.连接$CE$交$BD$于点$P$，$F$是$EC$延长线上一点，连接$DF$.
(1)求$∠ ADE$的度数；
(2)若$∠ CDF=∠ CBD$，求证:$DF=PF$.
(1)求$∠ ADE$的度数；
(2)若$∠ CDF=∠ CBD$，求证:$DF=PF$.
答案
(1)易证$△ ABC≌△ DBE$，
$\therefore ∠ BDE=∠ A$，
又$\because AB=BD,∠ ABD=60°$，
$\therefore △ ABD$为等边三角形，
$\therefore ∠ ADE=120°$；
(2)证明:易证$△ CBE$为等边三角形，
$∠ FDP=∠ FDC+60°$，
$∠ FPD=60°+∠ CBD$，
$\therefore ∠ FDP=∠ FPD$，
$\therefore FD=FP$。
$\therefore ∠ BDE=∠ A$，
又$\because AB=BD,∠ ABD=60°$，
$\therefore △ ABD$为等边三角形，
$\therefore ∠ ADE=120°$；
(2)证明:易证$△ CBE$为等边三角形，
$∠ FDP=∠ FDC+60°$，
$∠ FPD=60°+∠ CBD$，
$\therefore ∠ FDP=∠ FPD$，
$\therefore FD=FP$。
变式.如图,将$△ ABC$绕点$A$逆时针旋转$140°$得到$△ ADE$,$B$,$C$,$D$三点恰好在同一直线上.
(1)判断$△ ACE$的形状;
(2)连接$CE$,若$CE⊥ BD$,求$∠ BAC$的度数.
(1)判断$△ ACE$的形状;
(2)连接$CE$,若$CE⊥ BD$,求$∠ BAC$的度数.
答案
(1)$\because AC=AE$，
$\therefore △ ACE$为等腰三角形；
(2)$\because ∠ CAE=140°$，
$\therefore ∠ ACE=20°$。
又$\because AB=AD,∠ B=∠ ADB=20°$，
$\therefore ∠ BAC=90°$。
$\therefore △ ACE$为等腰三角形；
(2)$\because ∠ CAE=140°$，
$\therefore ∠ ACE=20°$。
又$\because AB=AD,∠ B=∠ ADB=20°$，
$\therefore ∠ BAC=90°$。
