【典例1】【证明体验】如图1，向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，DC.求证：BE＝DC.
【思考探究】如图2，已知△ABC，以BC为边作等边△BCD，连接AD，若∠CAD＝60°，AD＝4，AC＝3，求AB的长.
【拓展延伸】如图3，在△ABC中，BC＝8，以AB为边作等腰△ABD，AB＝AD，连接CD.若CD＝10，∠DAB＝2∠ACB，直接写出△ABC的面积.

(1)证明略；
(2)以AD为边向外作等边△ADE，连接CE，作EF⊥AC，由(1)知AB=CE=√37；
(3)作等腰△ACM 使 AC = AM，∠CAM = ∠BAD，
作AH⊥CM 于 H 点，连接BM，
∴BM=CD，CM⊥BC，
∴CM=6.
∴CH=3，
∴S△ABC=1/2 ×8×3=12.

【典例2】如图1，P为等边△ABC内一点，∠BPC=150°，连接AP.
(1)【作图体验】将△BPC绕B点逆时针旋转60°，画图；
(2)【模型运用】若BP=6，CP=8，求AP的长；
(3)【模型拓展】如图2，M，N为边AB，AC上动点，且AM=AN，在(2)的条件下，求PM+PN的最小值；
(4)如图3，D点在等边△ABC的边BC上，∠ADE=60°，AE⊥DE，CE平分∠ACD，求$\frac{BD}{CD}$的值.

(1)如图所示；
(2)由(1)知△BCP≌△BAE，连接PE，
∴∠AEB=∠BPC=150°，
∴∠AEP=90°.
在Rt△APE 中，AP²=PE²+AE²，
∴AP=√(6²+8²)=10；
(3)以 AP 为边作等边△APH，连接HN，
△APM≌△AHN，
∴NH=PM.在△PNH
中，PN+NH＞PH，当 P，N，H 三点共线
时，PN+PM 最小为 10；
(4)延长 DE 至 F 使 DE = EF，连接 AF，CF，
△ABD≌△ACF，
∴CF=BD，∠ACF=∠B=60°，
∴CE⊥CF.延长 DC 至 G 使 CG=CD，连接 FG，
∴CE//FG.又∠G=30°，
∴CF=1/2 CG，
∴BD/CD=1/2.