【典例1】如图，在$△ ABC$中，$D$为$BC$的中点.
(1)用圆规和无刻度直尺画出$△ ABD$关于点$D$的对称图形；
(2)若$AC＝4$，$AB＝2$，$∠ CAB＝120°$，求$AD$的长.

(1)如图所示；
(2)由中心对称的性质知，$△ CDE ≌ △ BDA$，$CE // AB$，$∠ ACE=60°$，过E点作$EF ⊥ AC$于F点，$CF=1$，$EF=\sqrt{3}$，$\therefore AE=2\sqrt{3}$，$\therefore AD=\sqrt{3}$。

变式.如图,正方形$ABCD$和直角$△ ABE$,$∠ AEB=90°$,$△ ABE$与$△ CDF$关于$O$点成中心对称.
(1)用圆规和无刻度直尺在图中画出点$O$和$△ CDF$;
(2)若$AE=12$,$AB=13$,求$EF$的长.

(1)如图所示；
(2)过O作$OM ⊥ OE$交EB的延长线于M，由$△ AOE ≌ △ BOM$，可得$OE=OM$，$EM=17$，$OE=\frac{17\sqrt{2}}{2}$，$\therefore EF=17\sqrt{2}$。

【典例2】(2025·湖北)综合探究:在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC绕点A逆时针旋转β(0°＜β＜180°)得到△ADE,点B的对应点为点D,点C的对应点为点E.
(1)如图1,若BC交AD于点O,延长线交DE于点P.求证:PC=PE;
(2)如图2,延长EC交BD于点M,判断M是否为线段BD的中点,并说明理由;
(3)如图3,EC与BD,AD分别交于点M,N,当DA⊥AC,AC/BC=3/4时,若BD=2√10,求CN的长.

(1)证明:连接AP，$\mathrm{Rt}△ ACP ≌ \mathrm{Rt}△ AEP$，$\therefore CP=PE$；
(2)过点B作$BH // DE$交EM的延长线于点H，设$∠ BCM=α$，$\therefore ∠ MED=∠ BHC=α$，$\therefore BH=BC=DE$，$\therefore △ BHM ≌ △ DEM$，$\therefore BM=DM$，$\therefore M$是线段BD的中点；
(3)设$AC=3x$，则$BC=4x$，连接AM，由(2)知$BM=DM$，$\therefore △ BCM ≌ △ DNM$，$\therefore DN=4x$，$\therefore AM=\frac{1}{2}CN=\frac{1}{2}\sqrt{10}x$，在$\mathrm{Rt}△ ABM$中，$(\frac{1}{2}\sqrt{10}x)^2 + (\sqrt{10})^2=(5x)^2$，$x=\frac{2}{3}$，$\therefore CN=\frac{2}{3}\sqrt{10}$。