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【典例1】如图1，P是$□ ABCD$边上一点，过点P画一条直线把这个四边形分成面积相等的两部分。
答案
利用平行四边形的中心对称性质，平行四边形对角线的交点是其对称中心，过对称中心的直线将平行四边形面积平分。连接平行四边形ABCD的两条对角线，取交点O，作直线PO，直线PO即为所求。
变式1.如图2，由五个小正方形组成的图形，画一条线段将图形面积平分。
答案
将该组合图形拆分为两个中心对称图形，分别找出两个中心对称图形的对称中心，连接两个对称中心得到的线段即可将图形面积平分。
变式2.如图3，有一张纸片被分为矩形FABE和菱形EBCD，请你画一条直线把纸片分成面积相等的两部分.
答案
分别找出矩形FABE的对称中心（对角线交点）和菱形EBCD的对称中心（对角线交点），过两个对称中心作直线，该直线即可将纸片分成面积相等的两部分。
【典例2】如图4，在平面直角坐标系中，A，B为格点，点M在AB上。(1)画出线段AB绕点O旋转$180°$后的图形CD(点A与点C对应)；(2)在(1)中线段CD上作点N，使DN与BM关于原点对称。
图4 
图5
图4 图5答案
(1)分别作点A、点B关于原点O的对称点C、D，连接CD，线段CD即为AB绕点O旋转180°后的图形；
(2)作点M关于原点O的对称点N，点N在CD上，即为所求。
变式.如图5,A,B,C,O为格点.(用无刻度直尺作图)
(1)作点A与点C关于点O的对称点Q与点D;
(2)在AB,AC上作点M,N使M,N关于点O对称.
DE//BC
(1)作点A与点C关于点O的对称点Q与点D;
(2)在AB,AC上作点M,N使M,N关于点O对称.
DE//BC
答案
(1)连接AO并延长至Q，使OQ=OA，得到点A关于O的对称点Q；连接CO并延长至D，使OD=OC，得到点C关于O的对称点D；
(2)连接DQ，分别交AB、AC于点M、N，点M、N即为所求。
提示:$\because□ ACQD$,点 O 为对称中心$⇒ OM=ON$。
【典例3】如图6，在正方形网格中，A，B，C，D，E为格点.（用无刻度直尺作图）
(1)作点B关于AE的对称点M，连接BM交AE于点O；
(2)作BE关于点O中心对称线段MN.
(1)作点B关于AE的对称点M，连接BM交AE于点O；
(2)作BE关于点O中心对称线段MN.
答案
(1)利用网格性质找到点B关于AE的对称点M，连接BM，BM与AE的交点即为垂足O；
(2)延长AO，在延长线上取点N，使ON=OE，连接MN，线段MN即为BE关于点O中心对称的线段。
变式.(1)在图7中，A，B，C为格点，先画格点F，使点A绕点F顺时针旋转90°到点C，再画射线AF交BC于点G；
(2)在(1)的基础上，将线段AB绕点G旋转180°，画对应线段MN(点A与点M对应，点B与点N对应)。
(2)在(1)的基础上，将线段AB绕点G旋转180°，画对应线段MN(点A与点M对应，点B与点N对应)。
答案
(1)找到满足FA⊥FC且FA=FC的格点F，连接AF并延长，与BC交于点G；
(2)延长AG至M，使GM=GA，延长BG至N，使GN=GB，连接MN，线段MN即为所求。
提示:$\because BF=FK,\therefore BG=GN$,又$\because AG=GM,\therefore MN$与AB关于点G对称。
