25. (10分)(2025·贵州)小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔(gāo)的古代汲水工具(如图①)，有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动. 在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300 N的物体，且OB=1 m. 若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小星发现F与l有一定的关系，记录了拉力的大小F与l的变化，如表：

(1) 表格中a的值是；
(2) 小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的关系. 在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；
(3) 根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，判断拉力F是增大还是减小？请说明理由.

25. (1) 100；
(2) 画出F与l的函数图象如图所示；
(3) 当OA的长增大时,拉力F减小,理由如下:$\because F$、$l$都是正数,$\therefore$ 这条曲线是反比例函数的一支,$\because Fl=300$,$\therefore$ 其函数表达式为$F=\frac{300}{l}$,$\because k＞0$,$\therefore$ 在第一象限内,$F$随$l$的增大而减小,即当OA的长增大时,拉力F是减小.

【分析】
本题结合古代汲水工具桔槔的工作原理，考查反比例函数的实际应用：
1. 第(1)问可根据杠杆平衡原理（动力×动力臂=阻力×阻力臂）推导F与l的乘积为定值，代入对应l值即可求出a；
2. 第(2)问按照描点法画函数图象的步骤，先描出表格中各点，再用平滑曲线连接即可；
3. 第(3)问先确定F与l的函数解析式，结合反比例函数的增减性即可判断F的变化趋势。
【解析】
(1) 根据杠杆平衡条件：动力×动力臂=阻力×阻力臂，可得 $F · l = G · OB$，代入$G=300\mathrm{N}$，$OB=1\mathrm{m}$，得$F · l = 300 × 1 = 300$，因此$F=\frac{300}{l}$，代入对应l值可求得$a=100$。
(2) 按照描点法作图：先根据表格中的数据在平面直角坐标系中逐一描出对应的$(l,F)$点，再用平滑的曲线依次连接所描的点，得到第一象限内的反比例函数图象即可。
(3) 当OA的长增大时，拉力F减小，理由如下：
$\because F$、$l$都是正数，$\therefore$ 所得曲线是反比例函数的第一象限分支，由$Fl=300$可得函数表达式为$F=\frac{300}{l}$，$\because$ 比例系数$k=300＞0$，$\therefore$ 在第一象限内，$F$随$l$的增大而减小，即当OA的长增大时，拉力F减小。
【答案】
(1) $\boxed{100}$；
(2) 画出F与l的函数图象如图所示；
(3) 当OA的长增大时，拉力F减小，理由见解析。
【知识点】
反比例函数的实际应用、反比例函数的图象与性质、描点法画函数图象
【点评】
本题以古代科技成果为背景，将物理常识与数学函数知识相结合，既考查了反比例函数相关知识点的掌握情况，也考查了学生应用数学知识解决实际问题的能力，题型新颖，综合性适中。
【难度系数】
0.7

26. (10分)如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点E,且AB=AC=AD,经过A,C,D三点的⊙O交BD于点F,连接CF.
(1)求证:CF=BF;
(2)若CD=CB,求证:CB是⊙O的切线.

26. (1) $\because AB=AC$,$\therefore ∠ ACB=ABC$.$\because AB=AD$,$\therefore ∠ ADB=∠ ABD$.$\because ∠ DAC=∠ DFC$,$∠ DEA=∠ CEF$,$\therefore ∠ ADB=∠ ACF$,$\therefore ∠ ACF=∠ ABD$,$\therefore ∠ ACB-∠ ACF=ABC-∠ ABD$,即$∠ BCF=∠ CBF$,$\therefore CF=BF$；
(2) 如图,连接CO并延长交$\odot O$于G点,再连接GF,,$\because CG$为$\odot O$的直径,$\therefore ∠ GFC=90°$,$\therefore ∠ G+∠ GCF=90°$.$\because ∠ CDB=∠ G$,$\therefore ∠ CDB+∠ GCF=90°$.$\because CD=CB$,$\therefore ∠ CDB=∠ CBD$.$\because CF=BF$,$\therefore ∠ BCF=∠ CBD$,$\therefore ∠ BCF=∠ CDB$,$\therefore ∠ BCF+∠ GCF=90°$,$\therefore ∠ BCG=90°$,$\therefore CG⊥ BC$,且CO为$\odot O$的半径,$\therefore CB$是$\odot O$的切线.

【分析】
(1) 要证CF=BF，根据等角对等边的性质，只需证明∠BCF=∠CBF。首先利用AB=AC=AD得到三组等腰三角形，得出对应底角相等，再结合圆周角定理、对顶角相等推导角的等量关系，通过角的和差运算即可得到∠BCF=∠CBF，完成证明。
(2) 要证CB是⊙O的切线，根据切线判定定理，只需证明BC垂直于过点C的半径。因此构造辅助线：连接CO并延长交⊙O于G，连接GF，利用直径所对圆周角为直角得到直角三角形，再结合圆周角相等、等腰三角形性质以及(1)的结论，推导得到∠BCG=90°，即可证明CG⊥BC，从而得证CB是切线。
【解析】
(1) 证明：
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC。
∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD。
∵同弧DC所对的圆周角∠DAC=∠DFC，∠DEA=∠CEF（对顶角相等），
∴∠ADB=180°-∠DAC-∠DEA，∠ACF=180°-∠DFC-∠CEF，
∴∠ADB=∠ACF，即∠ACF=∠ABD，
∴∠ACB-∠ACF=∠ABC-∠ABD，即∠BCF=∠CBF，
∴CF=BF。
(2) 证明：
如图，连接CO并延长交⊙O于G点，再连接GF，
∵CG为⊙O的直径，
∴∠GFC=90°，
∴∠G+∠GCF=90°。
∵同弧CF所对的圆周角∠CDB=∠G，
∴∠CDB+∠GCF=90°。
∵CD=CB，
∴∠CDB=∠CBD。
由(1)得CF=BF，
∴∠BCF=∠CBD，
∴∠BCF=∠CDB，
∴∠BCF+∠GCF=90°，即∠BCG=90°，
∴CG⊥BC，
又
∵CO是⊙O的半径，
∴CB是⊙O的切线。
【答案】
(1) $\because AB=AC$,$\therefore ∠ ACB=ABC$.$\because AB=AD$,$\therefore ∠ ADB=∠ ABD$.$\because ∠ DAC=∠ DFC$,$∠ DEA=∠ CEF$,$\therefore ∠ ADB=∠ ACF$,$\therefore ∠ ACF=∠ ABD$,$\therefore ∠ ACB-∠ ACF=ABC-∠ ABD$,即$∠ BCF=∠ CBF$,$\therefore CF=BF$；
(2) 如图,连接CO并延长交$\odot O$于G点,再连接GF,,$\because CG$为$\odot O$的直径,$\therefore ∠ GFC=90°$,$\therefore ∠ G+∠ GCF=90°$.$\because ∠ CDB=∠ G$,$\therefore ∠ CDB+∠ GCF=90°$.$\because CD=CB$,$\therefore ∠ CDB=∠ CBD$.$\because CF=BF$,$\therefore ∠ BCF=∠ CBD$,$\therefore ∠ BCF=∠ CDB$,$\therefore ∠ BCF+∠ GCF=90°$,$\therefore ∠ BCG=90°$,$\therefore CG⊥ BC$,且CO为$\odot O$的半径,$\therefore CB$是$\odot O$的切线.
【知识点】
等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，第一问侧重角的等量转化，第二问需要掌握切线判定的常用辅助线构造思路，解题核心是灵活运用角的相等关系进行推导，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6