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24. (10分)(2024·鼓楼区校级模拟)根据素材解决问题：
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1 图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽AB=16 m，拱顶离水面的距离CD=4 m。
素材2 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EH=12 m，EF=2.1 m。因水深足够，货船可以根据需要运载货物。据调查，货船的载重量每增加1吨，则船身下降0.01 m。
问题解决
任务1 确定桥拱半径 （1）求圆形桥拱的半径；
任务2 拟定设计方案 （2）根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1 图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽AB=16 m，拱顶离水面的距离CD=4 m。
素材2 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EH=12 m，EF=2.1 m。因水深足够，货船可以根据需要运载货物。据调查，货船的载重量每增加1吨，则船身下降0.01 m。
问题解决
任务1 确定桥拱半径 （1）求圆形桥拱的半径；
任务2 拟定设计方案 （2）根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
答案
24. 任务1,设圆心为点O,则点O在CD延长线上,延长CD,则CD经过点O,连接AO,
,设桥拱的半径为r m,则$OD=(r-4)m$,$\because OC⊥ AB$,$\therefore AD=BD=\frac{1}{2}AB=8$ m.$\because OD^2+AD^2=OA^2$,$\therefore (r-4)^2+8^2=r^2$,$\therefore r=10$,$\therefore$ 圆形拱桥的半径为10 m任务2,根据题图3状态,货船通过圆形桥拱,至少要增加10吨的货物才能通过.理由:当EH是$\odot O$的弦时,EH与OC的交点为M,连接OE,OH,
,$\because$ 四边形EFGH为矩形,$\therefore EH// FG$.$\because OC⊥ AB$,$\therefore OM⊥ EH$,$\therefore EM=\frac{1}{2}EH=6$ m,$\therefore OM=\sqrt{OE^2-EM^2}=8$.$\because OD=OC-CD=6$ m,$\therefore DM=2m＜2.1$ m,$\therefore$ 根据题图3状态,货船不能通过圆形桥拱,$\because$ 货船的载重量每增加1吨,则船身下降0.01 m,$\therefore$ 船在水面部分可以下降的高度$(2.1-2)÷0.01=10$(吨),$\therefore$ 至少要增加10吨的货物才能通过.解析
【分析】
（1）求桥拱半径时，结合圆的对称性可知圆心在CD的延长线上，连接半径OA后，可利用垂径定理得到AB的一半长度，再用半径r表示出OD的长度，在直角三角形OAD中用勾股定理列方程即可求解。
（2）判断货船能否通过，需先计算货船宽度EH=12m时，对应桥拱位置距离水面的最大允许高度：将EH看作圆的弦，用垂径定理算出圆心到EH的距离，进而得到EH距离水面的高度，和货船露出水面的高度EF=2.1m对比；若高度不足，计算需要下降的高度，再结合“每增加1吨船身下降0.01m”的数量关系算出需要增加的货物重量。
【解析】
（1）设圆心为点O，则点O在CD的延长线上，连接AO，。设桥拱的半径为r m，则$OA=r\ \mathrm{m}$，$OD=(r-4)\ \mathrm{m}$。
$\because OC⊥ AB$，由垂径定理可得$AD=BD=\frac{1}{2}AB=8\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，根据勾股定理得$OD^2+AD^2=OA^2$，代入得：
$(r-4)^2+8^2=r^2$
展开化简得$-8r+80=0$，解得$r=10$。
（2）货船不能通过圆形拱桥，至少要增加10吨货物才能通过，理由如下：
当EH为$\odot O$的弦时，设EH与OC的交点为M，连接OE，。
$\because$ 四边形EFGH为矩形，$\therefore EH// FG$。
$\because OC⊥ AB$，$\therefore OM⊥ EH$，由垂径定理得$EM=\frac{1}{2}EH=6\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OEM$中，$OE=10\ \mathrm{m}$，由勾股定理得：
$OM=\sqrt{OE^2-EM^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8\ \mathrm{m}$
$\because OD=OC-CD=10-4=6\ \mathrm{m}$，$\therefore EH$距离水面的高度$DM=OM-OD=8-6=2\ \mathrm{m}$。
$\because 2\ \mathrm{m}＜2.1\ \mathrm{m}$，$\therefore$ 货船当前状态不能通过圆形桥拱。
需要船身下降的高度为$2.1-2=0.1\ \mathrm{m}$，已知载重量每增加1吨船身下降0.01m，因此需要增加的货物重量为$0.1÷0.01=10$吨。
【答案】
（1）圆形桥拱的半径为$\boxed{10\ \mathrm{m}}$；
（2）货船不能通过圆形拱桥，至少要增加$\boxed{10}$吨货物才能通过。
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的实际应用
【点评】
本题结合货船过拱桥的生活场景，考查圆相关性质的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为几何问题，构造直角三角形利用勾股定理计算，同时要理清实际数量和几何线段的对应关系。
【难度系数】
0.6
（1）求桥拱半径时，结合圆的对称性可知圆心在CD的延长线上，连接半径OA后，可利用垂径定理得到AB的一半长度，再用半径r表示出OD的长度，在直角三角形OAD中用勾股定理列方程即可求解。
（2）判断货船能否通过，需先计算货船宽度EH=12m时，对应桥拱位置距离水面的最大允许高度：将EH看作圆的弦，用垂径定理算出圆心到EH的距离，进而得到EH距离水面的高度，和货船露出水面的高度EF=2.1m对比；若高度不足，计算需要下降的高度，再结合“每增加1吨船身下降0.01m”的数量关系算出需要增加的货物重量。
【解析】
（1）设圆心为点O，则点O在CD的延长线上，连接AO，
。设桥拱的半径为r m，则$OA=r\ \mathrm{m}$，$OD=(r-4)\ \mathrm{m}$。$\because OC⊥ AB$，由垂径定理可得$AD=BD=\frac{1}{2}AB=8\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，根据勾股定理得$OD^2+AD^2=OA^2$，代入得：
$(r-4)^2+8^2=r^2$
展开化简得$-8r+80=0$，解得$r=10$。
（2）货船不能通过圆形拱桥，至少要增加10吨货物才能通过，理由如下：
当EH为$\odot O$的弦时，设EH与OC的交点为M，连接OE，
。$\because$ 四边形EFGH为矩形，$\therefore EH// FG$。
$\because OC⊥ AB$，$\therefore OM⊥ EH$，由垂径定理得$EM=\frac{1}{2}EH=6\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OEM$中，$OE=10\ \mathrm{m}$，由勾股定理得：
$OM=\sqrt{OE^2-EM^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8\ \mathrm{m}$
$\because OD=OC-CD=10-4=6\ \mathrm{m}$，$\therefore EH$距离水面的高度$DM=OM-OD=8-6=2\ \mathrm{m}$。
$\because 2\ \mathrm{m}＜2.1\ \mathrm{m}$，$\therefore$ 货船当前状态不能通过圆形桥拱。
需要船身下降的高度为$2.1-2=0.1\ \mathrm{m}$，已知载重量每增加1吨船身下降0.01m，因此需要增加的货物重量为$0.1÷0.01=10$吨。
【答案】
（1）圆形桥拱的半径为$\boxed{10\ \mathrm{m}}$；
（2）货船不能通过圆形拱桥，至少要增加$\boxed{10}$吨货物才能通过。
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的实际应用
【点评】
本题结合货船过拱桥的生活场景，考查圆相关性质的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为几何问题，构造直角三角形利用勾股定理计算，同时要理清实际数量和几何线段的对应关系。
【难度系数】
0.6
