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19. (8分)已知关于x的一元二次方程$x^2 - 3x - k^2 + k + 1 = 0$（k为常数）。
（1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程有两个实数根$x_1, x_2$，且$(x_1 + 1)(x_2 + 1) = 3$，求k的值。
（1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程有两个实数根$x_1, x_2$，且$(x_1 + 1)(x_2 + 1) = 3$，求k的值。
答案
19. (1) $\because \Delta=(-3)^2-4×1×(-k^2+k+1)=9+4k^2-4k-4=4k^2-4k+5=4(k-\frac{1}{2})^2+4＞0$,$\therefore$ 无论k取何值,此方程总有两个不相等的实数根；
(2) 由根与系数的关系得出:$x_1+x_2=3$,$x_1x_2=-k^2+k+1$.$\because (x_1+1)(x_2+1)=3$,$\therefore x_1x_2+(x_1+x_2)+1=3$,$\therefore -k^2+k+1+3+1=3$,即$k^2-k-2=0$,解得:$k=2$或$-1$.
(2) 由根与系数的关系得出:$x_1+x_2=3$,$x_1x_2=-k^2+k+1$.$\because (x_1+1)(x_2+1)=3$,$\therefore x_1x_2+(x_1+x_2)+1=3$,$\therefore -k^2+k+1+3+1=3$,即$k^2-k-2=0$,解得:$k=2$或$-1$.
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，只需证明根的判别式Δ恒大于0即可。先根据方程写出a、b、c的表达式，代入Δ的公式计算，再通过配方变形判断Δ的取值范围即可完成证明。
（2）已知方程两根的代数式的值，可利用根与系数的关系先求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式，再将$(x_1+1)(x_2+1)$展开，代入$x_1+x_2$和$x_1x_2$得到关于k的一元二次方程，解方程即可求出k的值。
【解析】
（1）证明：对于一元二次方程$x^2 - 3x - k^2 + k + 1 = 0$，$a=1$，$b=-3$，$c=-k^2+k+1$，
则判别式$\Delta = (-3)^2 - 4×1×(-k^2 + k + 1) = 9 + 4k^2 - 4k - 4 = 4k^2 - 4k + 5$，
配方可得$\Delta = 4(k-\frac{1}{2})^2 + 4$，
$\because 4(k-\frac{1}{2})^2 ≥ 0$，$\therefore 4(k-\frac{1}{2})^2 + 4 ≥ 4 ＞ 0$，
$\therefore$ 无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根。
（2）解：由根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = -k^2 + k + 1$，
将$(x_1+1)(x_2+1)=3$左边展开得：$x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1 = 3$，
代入$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值得：$-k^2 + k + 1 + 3 + 1 = 3$，
整理得$k^2 - k - 2 = 0$，
解得$k=2$或$k=-1$。
【答案】
（1）无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）$k=2$或$k=-1$
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程解法
【点评】
本题属于一元二次方程的基础综合题，核心考查根的判别式和根与系数关系的应用，计算难度不大，解题时要熟练掌握相关公式，注意代入计算时的符号问题。
【难度系数】
0.75
（1）要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，只需证明根的判别式Δ恒大于0即可。先根据方程写出a、b、c的表达式，代入Δ的公式计算，再通过配方变形判断Δ的取值范围即可完成证明。
（2）已知方程两根的代数式的值，可利用根与系数的关系先求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式，再将$(x_1+1)(x_2+1)$展开，代入$x_1+x_2$和$x_1x_2$得到关于k的一元二次方程，解方程即可求出k的值。
【解析】
（1）证明：对于一元二次方程$x^2 - 3x - k^2 + k + 1 = 0$，$a=1$，$b=-3$，$c=-k^2+k+1$，
则判别式$\Delta = (-3)^2 - 4×1×(-k^2 + k + 1) = 9 + 4k^2 - 4k - 4 = 4k^2 - 4k + 5$，
配方可得$\Delta = 4(k-\frac{1}{2})^2 + 4$，
$\because 4(k-\frac{1}{2})^2 ≥ 0$，$\therefore 4(k-\frac{1}{2})^2 + 4 ≥ 4 ＞ 0$，
$\therefore$ 无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根。
（2）解：由根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = -k^2 + k + 1$，
将$(x_1+1)(x_2+1)=3$左边展开得：$x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1 = 3$，
代入$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值得：$-k^2 + k + 1 + 3 + 1 = 3$，
整理得$k^2 - k - 2 = 0$，
解得$k=2$或$k=-1$。
【答案】
（1）无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）$k=2$或$k=-1$
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程解法
【点评】
本题属于一元二次方程的基础综合题，核心考查根的判别式和根与系数关系的应用，计算难度不大，解题时要熟练掌握相关公式，注意代入计算时的符号问题。
【难度系数】
0.75
20. (8分)如图,在△ABC中,AB=BC,以AB为直径的⊙O交AC于点D,过D作⊙O的切线,与BC交于点E,与AB的延长线交于点F.
(1)求证:DF⊥BC;
(2)若B是OF的中点,AD=$\sqrt{3}$,则图中阴影部分的面积为
(1)求证:DF⊥BC;
(2)若B是OF的中点,AD=$\sqrt{3}$,则图中阴影部分的面积为
$\frac{3\sqrt{3}}{8}-\frac{π}{6}$
.答案
20. (1) 连接OD,
所示:$\because AB=BC$,$OA=OD$,$\therefore ∠ A=∠ C$,$∠ A=∠ ODA$,$\therefore ∠ C=∠ ODA$,$\therefore BC// OD$,又$\because DF$是$\odot O$的切线,$\therefore DF⊥ OD$,$\therefore DF⊥ BC$；(2) 如图2,连接BD,$\because OD⊥ DF$,$B$是$OF$的中点,$\therefore BD=OB=BF$,$\therefore BD=OB=OD$,$\therefore ∠ ABD=∠ DOB=60°$.$\because AB$是直径,$\therefore ∠ ADB=90°$,$\therefore ∠ A=30°$.$\because DF⊥ BC$,$\therefore ∠ F=30°$,$\therefore AD=DF=\sqrt{3}$,$OD=OB=1$.$\because$ 点B是OF的中点,$OD// BC$,$\therefore DE=\frac{\sqrt{3}}{2}$,$BE=\frac{1}{2}$,$\therefore$ 阴影的面积为$S_{四边形OBE}-S_{扇OBD}=\frac{(\frac{1}{2}+1)×\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}-\frac{60×π×1^2}{360}=\frac{3\sqrt{3}}{8}-\frac{π}{6}$.
解析
【分析】
(1) 要证DF⊥BC，已知DF是⊙O的切线，根据切线性质可知DF垂直于过切点D的半径OD，因此只需证明OD与BC平行即可。结合AB=BC、OA=OD的等腰三角形等边对等角的性质，可推出∠C=∠ODA，同位角相等即可得OD//BC，进而推出垂直关系。
(2) 阴影部分为不规则图形，采用割补法求解：阴影面积=梯形OBED的面积 - 扇形OBD的面积。首先连接BD，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，结合B是OF中点，可证△OBD是等边三角形，求出⊙O半径，再分别计算梯形和扇形的面积，作差即可得到阴影面积。
【解析】
(1) 证明：连接OD，所示：
$\because AB=BC$，$OA=OD$
$\therefore ∠A=∠C$，$∠A=∠ODA$
$\therefore ∠C=∠ODA$
$\therefore BC// OD$
又$\because DF$是$\odot O$的切线，$OD$是$\odot O$的半径
$\therefore DF⊥OD$
$\therefore DF⊥BC$
(2) 解：如图2，连接BD
$\because OD⊥DF$，$B$是$OF$的中点
$\therefore$在$Rt△ ODF$中，$BD=OB=BF$
又$\because OB=OD$，$\therefore BD=OB=OD$，即$△ OBD$为等边三角形
$\therefore ∠DOB=∠ABD=60°$
$\because AB$为$\odot O$的直径，$\therefore ∠ADB=90°$，即$BD⊥AC$
$\therefore ∠A=90°-60°=30°$
$\because DF⊥BC$，$∠C=∠A=30°$，$\therefore ∠F=90°-∠C=30°$
结合已知$AD=\sqrt{3}$，可求得$OD=OB=1$
$\because OD// BC$，$B$是$OF$中点，$\therefore E$为$DF$中点
$\therefore DE=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$BE=\frac{1}{2}$
梯形$OBED$的面积：$S_{梯形OBED}=\frac{(BE+OD)×DE}{2}=\frac{(\frac{1}{2}+1)×\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{8}$
扇形$OBD$的面积：$S_{扇形OBD}=\frac{60×π×1^2}{360}=\frac{π}{6}$
$\therefore$ 阴影部分面积=$S_{梯形OBED}-S_{扇形OBD}=\frac{3\sqrt{3}}{8}-\frac{π}{6}$
【答案】
(1) 证明见上述过程；
(2) $\dfrac{3\sqrt{3}}{8}-\dfrac{π}{6}$
【知识点】
切线的性质，扇形面积计算，等边三角形性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的综合题，第一问的解题突破口是构造过切点的半径辅助线，结合平行线判定推导垂直关系；第二问需熟练运用割补法求解不规则图形面积，同时要掌握特殊三角形的边角关系和扇形面积公式。
【难度系数】
0.6
(1) 要证DF⊥BC，已知DF是⊙O的切线，根据切线性质可知DF垂直于过切点D的半径OD，因此只需证明OD与BC平行即可。结合AB=BC、OA=OD的等腰三角形等边对等角的性质，可推出∠C=∠ODA，同位角相等即可得OD//BC，进而推出垂直关系。
(2) 阴影部分为不规则图形，采用割补法求解：阴影面积=梯形OBED的面积 - 扇形OBD的面积。首先连接BD，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，结合B是OF中点，可证△OBD是等边三角形，求出⊙O半径，再分别计算梯形和扇形的面积，作差即可得到阴影面积。
【解析】
(1) 证明：连接OD，
所示：$\because AB=BC$，$OA=OD$
$\therefore ∠A=∠C$，$∠A=∠ODA$
$\therefore ∠C=∠ODA$
$\therefore BC// OD$
又$\because DF$是$\odot O$的切线，$OD$是$\odot O$的半径
$\therefore DF⊥OD$
$\therefore DF⊥BC$
(2) 解：如图2，连接BD
$\because OD⊥DF$，$B$是$OF$的中点
$\therefore$在$Rt△ ODF$中，$BD=OB=BF$
又$\because OB=OD$，$\therefore BD=OB=OD$，即$△ OBD$为等边三角形
$\therefore ∠DOB=∠ABD=60°$
$\because AB$为$\odot O$的直径，$\therefore ∠ADB=90°$，即$BD⊥AC$
$\therefore ∠A=90°-60°=30°$
$\because DF⊥BC$，$∠C=∠A=30°$，$\therefore ∠F=90°-∠C=30°$
结合已知$AD=\sqrt{3}$，可求得$OD=OB=1$
$\because OD// BC$，$B$是$OF$中点，$\therefore E$为$DF$中点
$\therefore DE=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$BE=\frac{1}{2}$
梯形$OBED$的面积：$S_{梯形OBED}=\frac{(BE+OD)×DE}{2}=\frac{(\frac{1}{2}+1)×\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{8}$
扇形$OBD$的面积：$S_{扇形OBD}=\frac{60×π×1^2}{360}=\frac{π}{6}$
$\therefore$ 阴影部分面积=$S_{梯形OBED}-S_{扇形OBD}=\frac{3\sqrt{3}}{8}-\frac{π}{6}$
【答案】
(1) 证明见上述过程；
(2) $\dfrac{3\sqrt{3}}{8}-\dfrac{π}{6}$
【知识点】
切线的性质，扇形面积计算，等边三角形性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的综合题，第一问的解题突破口是构造过切点的半径辅助线，结合平行线判定推导垂直关系；第二问需熟练运用割补法求解不规则图形面积，同时要掌握特殊三角形的边角关系和扇形面积公式。
【难度系数】
0.6
21. (8分)一个农业合作社以64 000元的成本收获了某种农产品80 t，目前可以以1 200元/t的价格售出.如果储藏起来，每星期会损失2 t，且每星期需支付各种费用1 600元，但同时每星期每吨的价格将上涨200元.那么，储藏多少个星期出售这批农产品可获利122 000元？
答案
21. 设储藏$x$个星期出售这批农产品可获利122 000元,由题意得$(1200+200x)×(80-2x)-1600x-64000=122000$,解得:$x_1=x_2=15$.答:储藏15个星期出售这批农产品可获利122 000元.
解析
【分析】
解题核心是明确利润的计算逻辑：总利润=销售总收入-储藏支出费用-初始收获成本。我们可以先设储藏x个星期出售，分别表示出x星期后的农产品销售单价、可销售重量，再代入利润等量关系列出关于x的一元二次方程，求解后验证解符合实际意义即可得到结果。
【解析】
解：设储藏$x$个星期出售这批农产品可获利122000元。
储藏$x$个星期后，每吨售价为$(1200+200x)$元，可出售的农产品重量为$(80-2x)$吨，储藏总费用为$1600x$元。
根据总利润的计算关系列方程：
$(1200+200x)×(80-2x)-1600x-64000=122000$
展开整理方程：
$96000-2400x+16000x-400x^2-1600x-64000=122000$
$-400x^2+12000x-90000=0$
化简得：$x^2-30x+225=0$
因式分解得：$(x-15)^2=0$
解得：$x_1=x_2=15$，经检验该结果符合实际意义。
答：储藏15个星期出售这批农产品可获利122 000元。
【答案】
储藏15个星期出售这批农产品可获利122 000元。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 利润问题计算
3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题是方程实际应用的常考题型，解题关键是理清各个量之间的关系，准确用未知数表示出销售单价、销售重量等变量，求解后注意验证解是否符合实际场景要求。
【难度系数】
0.7
解题核心是明确利润的计算逻辑：总利润=销售总收入-储藏支出费用-初始收获成本。我们可以先设储藏x个星期出售，分别表示出x星期后的农产品销售单价、可销售重量，再代入利润等量关系列出关于x的一元二次方程，求解后验证解符合实际意义即可得到结果。
【解析】
解：设储藏$x$个星期出售这批农产品可获利122000元。
储藏$x$个星期后，每吨售价为$(1200+200x)$元，可出售的农产品重量为$(80-2x)$吨，储藏总费用为$1600x$元。
根据总利润的计算关系列方程：
$(1200+200x)×(80-2x)-1600x-64000=122000$
展开整理方程：
$96000-2400x+16000x-400x^2-1600x-64000=122000$
$-400x^2+12000x-90000=0$
化简得：$x^2-30x+225=0$
因式分解得：$(x-15)^2=0$
解得：$x_1=x_2=15$，经检验该结果符合实际意义。
答：储藏15个星期出售这批农产品可获利122 000元。
【答案】
储藏15个星期出售这批农产品可获利122 000元。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 利润问题计算
3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题是方程实际应用的常考题型，解题关键是理清各个量之间的关系，准确用未知数表示出销售单价、销售重量等变量，求解后注意验证解是否符合实际场景要求。
【难度系数】
0.7
22. (8分)已知P为⊙O外一点，用直尺和圆规完成下列作图.(保留作图痕迹，写出必要的文字说明)
(1) 如图1，在⊙O上求作一个点M，使∠PMO=90°；
(2) 如图2，在⊙O上求作一个点N，使∠PNO=60°.
(1) 如图1，在⊙O上求作一个点M，使∠PMO=90°；
(2) 如图2，在⊙O上求作一个点N，使∠PNO=60°.
答案
22. (1) 如图1中,连接OP,以OP为直径作$\odot T$交$\odot O$于点M,连接PM,OM,点M即为所求；
(2) 如图2中,作等边三角形OPQ,作$△ OPQ$的外接圆交$\odot O$于点N,连接PN,ON,点N即为所求.
解析
【分析】
(1) 要得到∠PMO=90°，依据“直径所对的圆周角为直角”的性质，可知点M需在以OP为直径的圆上，同时M要满足在⊙O上，因此只需作出以OP为直径的圆，它与⊙O的交点就是所求的点M。
(2) 要得到∠PNO=60°，可先构造等边三角形OPQ，此时∠OQP=60°，再根据“同弧所对的圆周角相等”，当点N在△OPQ的外接圆上时，∠PNO与∠OQP相等，均为60°，同时N要在⊙O上，因此作出△OPQ的外接圆，它与⊙O的交点就是所求的点N。
【解析】
(1) 第一步：连接线段OP，用尺规作OP的垂直平分线，确定OP的中点T；第二步：以T为圆心，$\frac{1}{2}OP$的长度为半径作$\odot T$，$\odot T$与$\odot O$的交点即为点M；第三步：连接PM、OM，由直径所对的圆周角为直角，可证∠PMO=90°，点M符合要求。
(2) 第一步：分别以点O、点P为圆心，OP的长度为半径画弧，两弧的交点记为Q，此时△OPQ为等边三角形，∠OQP=60°；第二步：作△OPQ的外接圆$\odot R$，$\odot R$与$\odot O$的交点即为点N；第三步：连接PN、ON，由同弧所对的圆周角相等，可证∠PNO=∠OQP=60°，点N符合要求。
【答案】
(1) 如图1中,连接OP,以OP为直径作$\odot T$交$\odot O$于点M,连接PM,OM,点M即为所求；
(2) 如图2中,作等边三角形OPQ,作$△ OPQ$的外接圆交$\odot O$于点N,连接PN,ON,点N即为所求.
【知识点】
直径所对圆周角为直角；同弧所对圆周角相等；尺规作图
【点评】
本题结合圆的性质考查尺规作图，需要根据所求特殊角的特征逆向推导作图的思路，既考察对圆相关性质的理解掌握程度，也能锻炼几何逻辑推理和动手操作能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要得到∠PMO=90°，依据“直径所对的圆周角为直角”的性质，可知点M需在以OP为直径的圆上，同时M要满足在⊙O上，因此只需作出以OP为直径的圆，它与⊙O的交点就是所求的点M。
(2) 要得到∠PNO=60°，可先构造等边三角形OPQ，此时∠OQP=60°，再根据“同弧所对的圆周角相等”，当点N在△OPQ的外接圆上时，∠PNO与∠OQP相等，均为60°，同时N要在⊙O上，因此作出△OPQ的外接圆，它与⊙O的交点就是所求的点N。
【解析】
(1) 第一步：连接线段OP，用尺规作OP的垂直平分线，确定OP的中点T；第二步：以T为圆心，$\frac{1}{2}OP$的长度为半径作$\odot T$，$\odot T$与$\odot O$的交点即为点M；第三步：连接PM、OM，由直径所对的圆周角为直角，可证∠PMO=90°，点M符合要求。
(2) 第一步：分别以点O、点P为圆心，OP的长度为半径画弧，两弧的交点记为Q，此时△OPQ为等边三角形，∠OQP=60°；第二步：作△OPQ的外接圆$\odot R$，$\odot R$与$\odot O$的交点即为点N；第三步：连接PN、ON，由同弧所对的圆周角相等，可证∠PNO=∠OQP=60°，点N符合要求。
【答案】
(1) 如图1中,连接OP,以OP为直径作$\odot T$交$\odot O$于点M,连接PM,OM,点M即为所求；
(2) 如图2中,作等边三角形OPQ,作$△ OPQ$的外接圆交$\odot O$于点N,连接PN,ON,点N即为所求.
【知识点】
直径所对圆周角为直角；同弧所对圆周角相等；尺规作图
【点评】
本题结合圆的性质考查尺规作图，需要根据所求特殊角的特征逆向推导作图的思路，既考察对圆相关性质的理解掌握程度，也能锻炼几何逻辑推理和动手操作能力。
【难度系数】
0.6
23. (10分)小南家到学校有A，B两条公交线路，为了解两条线路的乘车所用时间，小南做了试验，第一周(5个工作日)选择A线路，第二周(5个工作日)选择B线路，每天在固定时间段内乘车1次并分别记录所用时间(单位：min)，数据如下：A，B线路所用时间
统计表：
(1) 填表：
(2) 计算A，B两条线路所用时间的方差；结合数据你认为小南选择哪一条乘车路线更好？并说明理由。
统计表：
(1) 填表：
(2) 计算A，B两条线路所用时间的方差；结合数据你认为小南选择哪一条乘车路线更好？并说明理由。
答案
23. (1) ① 17 ② 22 ③ 23
(2) A条线路所用时间的方差为$\frac{1}{5}×[(15-22)^2+(32-22)^2+(15-22)^2+(17-22)^2+(31-22)^2]=60.8$,$B$两条线路所用时间的方差$\frac{1}{5}×[(20-22)^2+(23-22)^2+(19-22)^2+(23-22)^2+(25-22)^2]=4.8$,小南选择B条乘车路线更好,理由:两条线路平均数为22,而方差60.8＞4.8,B路线的波动性更小,所以选择B条乘车路线更好.
(2) A条线路所用时间的方差为$\frac{1}{5}×[(15-22)^2+(32-22)^2+(15-22)^2+(17-22)^2+(31-22)^2]=60.8$,$B$两条线路所用时间的方差$\frac{1}{5}×[(20-22)^2+(23-22)^2+(19-22)^2+(23-22)^2+(25-22)^2]=4.8$,小南选择B条乘车路线更好,理由:两条线路平均数为22,而方差60.8＞4.8,B路线的波动性更小,所以选择B条乘车路线更好.
解析
【分析】
（1）第一问需要计算三个统计量：首先将A线路的乘车时间从小到大排序，取中间位置的数得到A线路的中位数；再用A线路所有乘车时间的和除以数据个数得到A线路的平均时间；最后将B线路的乘车时间从小到大排序，取中间位置的数得到B线路的中位数，对应填入三个空即可。
（2）第二问先回忆方差的计算公式：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，分别代入A、B线路的5个数据和平均时间计算出两组的方差；再根据方差的意义：平均数相同时，方差越小，数据波动越小，乘车时间越稳定，即可判断选择哪条线路更合适。
【解析】
（1）将A线路5次乘车时间从小到大排列为：15，15，17，31，32，共5个数据，第3个数据为17，即A线路的中位数为17；
A线路的平均时间为：$\bar{x}_A=\frac{15+32+15+17+31}{5}=\frac{110}{5}=22$；
将B线路5次乘车时间从小到大排列为：19，20，23，23，25，共5个数据，第3个数据为23，即B线路的中位数为23；
因此三个空依次为17、22、23。
（2）根据方差公式计算：
A线路的方差：$s_A^2=\frac{1}{5}×[(15-22)^2+(32-22)^2+(15-22)^2+(17-22)^2+(31-22)^2]$
$=\frac{1}{5}×(49+100+49+25+81)=\frac{304}{5}=60.8$
B线路的方差：$s_B^2=\frac{1}{5}×[(20-22)^2+(23-22)^2+(19-22)^2+(23-22)^2+(25-22)^2]$
$=\frac{1}{5}×(4+1+9+1+9)=\frac{24}{5}=4.8$
两条线路的平均乘车时间都是22min，而$60.8＞4.8$，说明B线路的乘车时间波动更小，更稳定，因此小南选择B线路更好。
【答案】
(1) ①17 ②22 ③23
(2) A线路所用时间的方差为60.8，B线路所用时间的方差为4.8，小南选择B条乘车路线更好，理由：两条线路平均数为22，而方差60.8＞4.8，B路线的波动性更小，所以选择B条乘车路线更好。
【知识点】
中位数计算，平均数计算，方差的应用
【点评】
本题结合生活出行场景考查统计量的计算与实际应用，重点考查对基础统计量定义和性质的掌握，要求能将统计知识用于解决实际决策问题。
【难度系数】
0.7
（1）第一问需要计算三个统计量：首先将A线路的乘车时间从小到大排序，取中间位置的数得到A线路的中位数；再用A线路所有乘车时间的和除以数据个数得到A线路的平均时间；最后将B线路的乘车时间从小到大排序，取中间位置的数得到B线路的中位数，对应填入三个空即可。
（2）第二问先回忆方差的计算公式：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，分别代入A、B线路的5个数据和平均时间计算出两组的方差；再根据方差的意义：平均数相同时，方差越小，数据波动越小，乘车时间越稳定，即可判断选择哪条线路更合适。
【解析】
（1）将A线路5次乘车时间从小到大排列为：15，15，17，31，32，共5个数据，第3个数据为17，即A线路的中位数为17；
A线路的平均时间为：$\bar{x}_A=\frac{15+32+15+17+31}{5}=\frac{110}{5}=22$；
将B线路5次乘车时间从小到大排列为：19，20，23，23，25，共5个数据，第3个数据为23，即B线路的中位数为23；
因此三个空依次为17、22、23。
（2）根据方差公式计算：
A线路的方差：$s_A^2=\frac{1}{5}×[(15-22)^2+(32-22)^2+(15-22)^2+(17-22)^2+(31-22)^2]$
$=\frac{1}{5}×(49+100+49+25+81)=\frac{304}{5}=60.8$
B线路的方差：$s_B^2=\frac{1}{5}×[(20-22)^2+(23-22)^2+(19-22)^2+(23-22)^2+(25-22)^2]$
$=\frac{1}{5}×(4+1+9+1+9)=\frac{24}{5}=4.8$
两条线路的平均乘车时间都是22min，而$60.8＞4.8$，说明B线路的乘车时间波动更小，更稳定，因此小南选择B线路更好。
【答案】
(1) ①17 ②22 ③23
(2) A线路所用时间的方差为60.8，B线路所用时间的方差为4.8，小南选择B条乘车路线更好，理由：两条线路平均数为22，而方差60.8＞4.8，B路线的波动性更小，所以选择B条乘车路线更好。
【知识点】
中位数计算，平均数计算，方差的应用
【点评】
本题结合生活出行场景考查统计量的计算与实际应用，重点考查对基础统计量定义和性质的掌握，要求能将统计知识用于解决实际决策问题。
【难度系数】
0.7
