9. 方程$(x-2)^2=16$的解是.

9. $x_1=6,x_2=-2$

【分析】
观察方程左侧是关于x的完全平方式，右侧为正的常数，适合用直接开平方法求解。解题时先将$(x-2)$看作一个整体，根据平方根的定义对等式两边同时开平方，得到两个一元一次方程，再分别求解这两个一次方程即可得到原方程的解，注意开平方后要取正负两个值，避免漏解。
【解析】
解：对等式$(x-2)^2=16$两边同时开平方，得
$x-2=\pm\sqrt{16}$，即$x-2=4$或$x-2=-4$
当$x-2=4$时，解得$x=6$；
当$x-2=-4$时，解得$x=-2$。
【答案】
$x_1=6,x_2=-2$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于等式一侧为完全平方式、另一侧为非负常数的方程，解题时需注意开平方后存在正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.9

10. (2024·重庆)随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增.该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元.该公司这两年缴税的年平均增长率是.

10. $10\%$

【分析】
本题属于平均增长率类应用题，解题思路如下：第一步，牢记平均增长率的等量关系：若初始量为a，年平均增长率为x，经过n年后的对应量为b，则满足公式$a(1+x)^n=b$；第二步，本题中初始量是2021年缴税额40万元，经过2年增长到2023年的48.4万元，即n=2，代入公式即可列出一元二次方程；第三步，解方程后结合增长率为正的实际意义舍去不符合要求的根，得到最终结果。
【解析】
设该公司这两年缴税的年平均增长率为$x$。
根据题意，2022年缴税额为$40(1+x)$万元，2023年缴税额为$40(1+x)^2$万元，可列方程：
$40(1+x)^2=48.4$
两边同时除以40，得：
$(1+x)^2=1.21$
开平方，得：
$1+x=\pm1.1$
解得：$x_1=0.1=10\%$，$x_2=-2.1$（增长率不能为负数，不符合实际，舍去）
即该公司这两年缴税的年平均增长率为10%。
【答案】
$10\%$
【知识点】
一元二次方程的应用、平均增长率计算、直接开平方法解方程
【点评】
本题是增长率问题的基础题型，核心是掌握增长率问题的通用计算公式，求解后要注意结合实际场景对根进行取舍，排除不符合逻辑的解。
【难度系数】
0.8

11. (2024·扬州)若用半径为10 cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 cm.

11. $5$

【分析】
解决本题的核心是明确半圆形纸片围成圆锥侧面时，半圆的弧长与圆锥底面圆的周长相等这一等量关系。解题思路为：第一步先计算出半径为10cm的半圆的弧长，第二步根据弧长等于底面圆周长列方程求解底面半径即可。
【解析】
首先计算半圆形纸片的弧长：
已知半圆的半径为10 cm，整圆的周长为$C_{整}=2π R = 2π×10 = 20π\ \mathrm{cm}$，因此半圆的弧长$l=\frac{1}{2}C_{整}=10π\ \mathrm{cm}$。
设围成的圆锥底面圆的半径为$r\ \mathrm{cm}$，圆锥底面圆的周长为$C_{底}=2π r$。
因为圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，因此列等式：
$2π r = 10π$
两边同时除以$π$得：$2r=10$，解得$r=5$。
【答案】
$5$
【知识点】
圆锥侧面展开图性质、弧长计算、圆周长公式
【点评】
本题是几何展开图类的基础题型，解题关键是找准立体图形和平面展开图之间的等量对应关系，计算难度低，是中考的高频基础考点。
【难度系数】
0.8

12. 不透明的盒中有$x$枚黑棋和$y$枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别. 从盒中随机取出一枚棋子，取得黑棋的概率是$\frac{3}{8}$；放回后，往盒中再放进10枚黑棋，搅匀后从盒中随机取出一枚棋子，取得黑棋的概率为$\frac{1}{2}$，则$x=$，$y=$.

12. $15\quad 25$

【分析】
本题考查概率公式与二元一次方程组的结合应用，解题思路如下：首先根据古典概型“概率=所求情况数÷总情况数”的公式，结合第一次取出黑棋的概率列出第一个关于x、y的方程；再根据放入10枚黑棋后黑棋和总棋子数的变化，结合第二次取出黑棋的概率列出第二个方程；最后联立两个方程求解即可得到x、y的值。
【解析】
根据概率公式，第一次随机取出黑棋的概率为$\frac{3}{8}$，可得：
$\frac{x}{x+y}=\frac{3}{8}$ ①
交叉相乘整理①式：$8x=3(x+y)$，即$5x=3y$。
放回后加入10枚黑棋，此时黑棋数量为$(x+10)$枚，总棋子数量为$(x+y+10)$枚，此时取出黑棋的概率为$\frac{1}{2}$，可得：
$\frac{x+10}{x+y+10}=\frac{1}{2}$ ②
交叉相乘整理②式：$2(x+10)=x+y+10$，即$y=x+10$。
将$y=x+10$代入$5x=3y$，得：
$5x=3(x+10)$
$5x=3x+30$
$2x=30$
解得$x=15$，则$y=15+10=25$。
【答案】
$15$；$25$
【知识点】
古典概型概率计算，二元一次方程组的应用
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是准确根据两次取棋的概率建立等量关系，需要注意加入黑棋后，不仅黑棋数量增加，总棋子数量也对应增加10，避免漏算总数量导致出错。
【难度系数】
0.7

13. 如图，点A，D分别在函数$y=\frac{-3}{x},y=\frac{6}{x}$的图象上，点B，C在x轴上。若四边形ABCD为正方形，点D在第一象限，则点D的坐标是。

第13题 第14题 第15题 第16题

13. $(2,3)$

【分析】
本题是反比例函数与正方形结合的题型，解题思路如下：首先由正方形的性质可知AD平行于x轴，因此A、D两点纵坐标相等，且正方形边长相等即AD=CD。我们可以先设出第一象限内点D的坐标，利用反比例函数解析式表示出点A的坐标，再根据边长相等的关系列方程求解，即可得到点D的坐标。
【解析】
解：设点D的坐标为$(a, \frac{6}{a})$，其中$a＞0$。
∵四边形ABCD是正方形
∴$AD// x$轴，$CD⊥ x$轴，且$AD=CD$
∴点A的纵坐标与点D相同，为$\frac{6}{a}$，CD的长度为$\frac{6}{a}$。
∵点A在函数$y=\frac{-3}{x}$的图象上，将$y=\frac{6}{a}$代入解析式得：
$\frac{6}{a}=\frac{-3}{x}$，解得$x=-\frac{a}{2}$，即点A的坐标为$(-\frac{a}{2}, \frac{6}{a})$。
∴AD的长度为$a - (-\frac{a}{2})=\frac{3a}{2}$。
结合$AD=CD$列方程：
$\frac{3a}{2}=\frac{6}{a}$
两边同乘$2a$（$a＞0$）得$3a^2=12$，即$a^2=4$，解得$a=2$（$a=-2$不符合第一象限要求，舍去）。
将$a=2$代入点D坐标得$\frac{6}{a}=3$，因此点D坐标为$(2,3)$。
【答案】
$(2,3)$
【知识点】
反比例函数的性质，正方形的性质
【点评】
本题是函数与几何结合的典型基础题，核心是利用图形性质找到点坐标的关联，结合函数解析式建立方程求解，能有效锻炼数形结合的解题思维。
【难度系数】
0.6

14. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=80°$,$\odot O$是$△ ABC$的内切圆,与边$BC$,$AC$分别相切于点$D$,$E$,$DE$与$BO$的延长线交$DE$于点$F$,则$∠ BFD=$.

14. $40°$

【分析】
解题思路可分三步推进：第一步，先根据等腰△ABC的顶角度数，结合三角形内角和算出底角∠ABC和∠C的度数；第二步，结合内切圆的性质，一方面利用角平分线性质得到BO平分∠ABC，算出∠FBD的度数，另一方面利用切线长定理得到CD=CE，推出△CDE为等腰三角形，算出∠CDE的度数，再根据平角定义得到∠BDF的度数；第三步，在△BFD中利用三角形内角和即可求出∠BFD的度数。
【解析】
1. 计算△ABC底角度数：
∵AB=AC，∠A=80°，
∴∠ABC=∠C=$\frac{180°-∠A}{2}=\frac{180°-80°}{2}=50°$。
2. 计算∠FBD的度数：
∵⊙O是△ABC的内切圆，圆心O是三角形角平分线的交点，
∴BO平分∠ABC，
∴∠FBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}×50°=25°$。
3. 计算∠BDF的度数：
∵⊙O与边BC、AC分别相切于点D、E，根据切线长定理，得CD=CE，
∴△CDE为等腰三角形，
∴∠CDE=$\frac{180°-∠C}{2}=\frac{180°-50°}{2}=65°$，
∵∠BDF与∠CDE组成平角，
∴∠BDF=180°-∠CDE=180°-65°=115°。
4. 计算∠BFD的度数：
在△BFD中，根据三角形内角和为180°，得：
∠BFD=180°-∠FBD-∠BDF=180°-25°-115°=40°。
【答案】
$40°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内切圆性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，将等腰三角形、内切圆的性质结合考查，解题的核心是熟练掌握切线长定理和角平分线的性质，准确找到待求角所在三角形的其余两个内角的度数。
【难度系数】
0.7

15. 如图，$\odot O$与正八边形ABCDEFGH相切于点A，E，若正八边形的边长为2，则AE的长为。

15. $\frac{3\sqrt{2}π}{2}$

【分析】
要求劣弧AE的长，需利用弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，因此要先确定两个关键量：一是弧AE对应的圆心角$∠ AOE$的度数$n$，二是$\odot O$的半径$r$。首先根据正多边形内角公式算出正八边形的内角度数，结合切线的性质（切线垂直于过切点的半径）推导圆心角的度数；再根据正八边形边长为2的条件，计算出圆的半径，最后代入公式求解即可。
【解析】
1. 计算正八边形的内角度数：
正八边形的内角和为$(8-2)×180°=1080°$，因此每个内角的度数为$1080°÷8=135°$。
2. 求圆心角$∠ AOE$的度数：
因为$\odot O$与正八边形相切于A、E，根据切线的性质，半径与过切点的切线垂直，结合正八边形的对称性可得，$∠ AOE=3×\frac{360°}{8}=135°$。
3. 求$\odot O$的半径$r$：
正八边形边长为2，结合正八边形的性质可求得$\odot O$的半径$r=2\sqrt{2}$。
4. 代入弧长公式计算：
$l_{\overset{\frown}{AE}}=\frac{135π×2\sqrt{2}}{180}=\frac{3\sqrt{2}π}{2}$。
【答案】
$\frac{3\sqrt{2}π}{2}$
【知识点】
弧长计算；正多边形的性质；切线的性质
【点评】
本题属于中等综合题，需要结合正多边形、切线的性质推导弧长公式所需的核心量，解题时要注意利用正多边形的对称性简化计算，熟练掌握弧长公式是解题的基础。
【难度系数】
0.6

16. (2024·江西)如图，AB是$\odot O$的直径，$AB=2$，点C在线段AB上运动，过点C的弦$DE⊥ AB$，将$\overset{\frown}{DBE}$沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为。

16. $2-\sqrt{3}$或$2+\sqrt{3}$或$2$

【分析】
已知AB是⊙O的直径且长为2，可得⊙O半径为1。过C的弦DE⊥AB，由垂径定理可知DE的长度与点C到圆心O的距离OC相关。因为DE为正整数，且圆内弦长最大值为直径2，所以DE只能取1或2，分两种情况讨论即可：①DE=2时，DE为直径，点C与O重合，结合翻折性质找到交点F的位置，即可求FB；②DE=1时，先求出OC的长度，利用翻折前后弧的圆心关于DE对称，求出翻折后弧与直线AB的交点F，进而计算FB长度，注意点C可在圆心O的左右两侧，对应两种FB的长度。
【解析】
设⊙O半径为r，由AB=2得r=1，设OC=x，
∵DE⊥AB，由垂径定理得：$DE=2\sqrt{OD^2-OC^2}=2\sqrt{1-x^2}$，
∵DE是正整数，且DE≤2，
∴DE=1或DE=2：
1. 当DE=2时，$2\sqrt{1-x^2}=2$，解得x=0，即点C与O重合，DE为直径，
沿DE翻折$\overset{\frown}{DBE}$后，翻折的弧与直线AB的交点为A，此时FB=AB=2；
2. 当DE=1时，$2\sqrt{1-x^2}=1$，解得$x=\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$OC=\frac{\sqrt{3}}{2}$：
若点C在O右侧：翻折后弧的圆心为O关于DE的对称点O₁，$OO₁=2OC=\sqrt{3}$，翻折后圆半径仍为1，与直线AB的交点F到O₁的距离为1，可得$OF=\sqrt{3}-1$，则$FB=OB-OF=1-(\sqrt{3}-1)=2-\sqrt{3}$；
若点C在O左侧：同理可得翻折后交点F在A点左侧，$OF=\sqrt{3}+1$，则$FB=OF+OB=\sqrt{3}+1+1=2+\sqrt{3}$。
综上，线段FB的长为$2-\sqrt{3}$或$2+\sqrt{3}$或$2$。
【答案】
$2-\sqrt{3}$或$2+\sqrt{3}$或$2$
【知识点】
垂径定理，翻折的性质，圆的基本性质
【点评】
本题需要结合弦长的取值范围分类讨论，易错点是遗漏点C在圆心两侧的两种情况，以及F点在AB延长线上的情况，解题时结合对称性分析能减少漏解。
【难度系数】
0.4

三、解答题(本大题共有11小题,共102分.解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤)
17. (8分)解下列方程:
(1) $x^2 - 2x -5 =0$;
(2) $x(2x -1)=x$.

17. (1) $x^2-2x-5=0$,$x^2-2x=5$,$x^2-2x+1=5+1$,$(x-1)^2=6$,$x-1=\pm\sqrt{6}$,$x_1=1+\sqrt{6}$,$x_2=1-\sqrt{6}$；
(2) $x(2x-1)=x$,$x(2x-1)-x=0$,$x(2x-1-1)=0$,$x(2x-2)=0$,$x=0$或$2x-2=0$,$x_1=0$,$x_2=1$.

【分析】
第(1)问的方程是一元二次方程的一般形式，一次项系数为偶数，适合用配方法求解：先将常数项移到等号右侧，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式后开方即可得到解；第(2)问的方程左右两侧都含因式x，注意不能直接两边除以x（会漏掉x=0的根），应该先移项，再提取公因式x，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，分别求解对应一元一次方程即可得到根。
【解析】
(1) 对$x^2 - 2x -5 =0$，
移项得：$x^2 -2x =5$，
等式两边同时加1（一次项系数-2一半的平方）得：$x^2 -2x +1 =5 +1$，
整理得：$(x-1)^2=6$，
开方得：$x-1=\pm\sqrt{6}$，
解得：$x_1=1+\sqrt{6}$，$x_2=1-\sqrt{6}$。
(2) 对$x(2x -1)=x$，
移项得：$x(2x-1)-x=0$，
提取公因式x得：$x(2x-1-1)=0$，
整理得：$x(2x-2)=0$，
则$x=0$或$2x-2=0$，
解得：$x_1=0$，$x_2=1$。
【答案】
(1) $x_1=1+\sqrt{6}$，$x_2=1-\sqrt{6}$；(2) $x_1=0$，$x_2=1$
【知识点】
配方法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的基础解法，解题时需根据方程的结构特征选择简便的求解方法，注意不要随意在方程两边同时除以含未知数的整式，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.85

18. (8分)(2025·宿迁)某校建议学生利用周末时间积极参加社会实践活动.某一周末有两个项目供学生选择:A 文明交通劝导志愿行,B 乡村教育关爱行,每名学生只能任意选择其中一个项目.
(1) 甲同学选择A项目的概率为;
(2) 请用画树状图的方法,求甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目的概率.

18. (1) $\frac{1}{2}$
(2) 画树状图如下：
由树状图知,共有8种等可能结果,其中甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目的有2种结果,所以甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目的概率为$\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$.

【分析】
(1) 共有A、B两个项目可供选择，每名学生选择两个项目的可能性相等，根据等可能事件概率的计算方法，用选A项目的情况数除以总情况数即可得到结果。
(2) 求解三人选择项目的概率时，用树状图列举所有等可能结果：先列甲的2种选择，再对应甲的每种选择列乙的2种选择，最后对应乙的每种选择列丙的2种选择，统计总结果数；再找出三人选择同一项目的结果数，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
(1) 由于只有A、B两个等可能的选择，因此甲同学选择A项目的概率为$\frac{1}{2}$。
(2) 画树状图如下：

由树状图可知，一共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目的结果有2种，分别是三人都选A、三人都选B，因此所求概率为$\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$
(2) 画树状图如下：
由树状图知,共有8种等可能结果,其中甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目的有2种结果,所以甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目的概率为$\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$.
【知识点】
简单事件概率计算，树状图法求概率
【点评】
本题属于概率基础题，第一问直接套用等可能事件概率公式即可求解，第二问需要掌握树状图的绘制方法，不重不漏地列举所有等可能结果，再结合概率公式计算，是概率部分的常考题型。
【难度系数】
0.8