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27. (14分)“等弧”的探究.
【初步研究】
(1) 如图1,$AB,A_1B_1$分别是$\odot O,\odot O_1$的弦,$∠ O=∠ O_1,AB=A_1B_1$,求证:$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{A_{1}B_{1}}$.
【深入研究】
(2) 如图2,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$\overset{\frown}{DE}$是以A为圆心且与BC相切的弧,在$△ ABC$的内部(包含边界)存在$\overset{\frown}{MN}$,使$\overset{\frown}{MN}=\overset{\frown}{DE}$,且点M,N分别在边AB,AC上.
Ⅰ. 在图2中,用直尺和圆规作出一条$\overset{\frown}{MN}$(保留作图痕迹,写出必要的文字说明);
Ⅱ. 若$∠ A=120°,AB=4$,则满足条件的$\overset{\frown}{MN}$所在圆的圆心轨迹的长度为
【解决问题】
(3) 如图3,折扇OAB完全打开后,OA,OB的夹角为$120°$,OA长为30 cm.为了装饰折扇,现需从四边形丝绸材料CDEF中剪出$\overset{\frown}{PQ}$,使$\overset{\frown}{PQ}=\overset{\frown}{AB}$,且为了节约材料,$\overset{\frown}{PQ}$与边DE,EF均相切,已知$∠ C=120°,∠ D=30°,CD=60$ cm,请在图中用直尺和圆规作出满足条件的$\overset{\frown}{PQ}$.(保留作图痕迹,写出必要的文字说明)
【初步研究】
(1) 如图1,$AB,A_1B_1$分别是$\odot O,\odot O_1$的弦,$∠ O=∠ O_1,AB=A_1B_1$,求证:$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{A_{1}B_{1}}$.
【深入研究】
(2) 如图2,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$\overset{\frown}{DE}$是以A为圆心且与BC相切的弧,在$△ ABC$的内部(包含边界)存在$\overset{\frown}{MN}$,使$\overset{\frown}{MN}=\overset{\frown}{DE}$,且点M,N分别在边AB,AC上.
Ⅰ. 在图2中,用直尺和圆规作出一条$\overset{\frown}{MN}$(保留作图痕迹,写出必要的文字说明);
Ⅱ. 若$∠ A=120°,AB=4$,则满足条件的$\overset{\frown}{MN}$所在圆的圆心轨迹的长度为
$4$
.【解决问题】
(3) 如图3,折扇OAB完全打开后,OA,OB的夹角为$120°$,OA长为30 cm.为了装饰折扇,现需从四边形丝绸材料CDEF中剪出$\overset{\frown}{PQ}$,使$\overset{\frown}{PQ}=\overset{\frown}{AB}$,且为了节约材料,$\overset{\frown}{PQ}$与边DE,EF均相切,已知$∠ C=120°,∠ D=30°,CD=60$ cm,请在图中用直尺和圆规作出满足条件的$\overset{\frown}{PQ}$.(保留作图痕迹,写出必要的文字说明)
答案
27. (1) $\because OA=OB$,$\therefore ∠ A=∠ B=\frac{1}{2}(180°-∠ O)=90°-\frac{1}{2}∠ O$,同理:$∠ A_1=∠ B_1=\frac{1}{2}(180°-∠ O_1)=90°-\frac{1}{2}∠ O_1$.$\because ∠ O=∠ O_1$,$\therefore ∠ A=∠ A_1$,在$△ AOB$和$△ A_1O_1B_1$中,$\begin{cases}∠ O=∠ O_1,\\∠ A=∠ A_1,\\AB=A_1B_1,\end{cases}$$\therefore △ AOB≌△ A_1O_1B_1$(AAS),$\therefore OA=O_1A_1$,即$\odot O$和$\odot O_1$是等圆,又$\because AB=A_1B_1$,$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{A_1B_1}$.
(2) 如图1,i. 在AB任取一点M,以M为圆心,DE长为半径画弧,与AC交于点N,连接MN; ii. 分别以M,N为圆心,AD长为半径作弧,交于点O; iii. 以O为圆心,OM为半径作弧,则$\overset{\frown}{MN}$即为所求.(方法不唯一) Ⅱ. 4
(3) 如图2,i. 作$∠ DEF$的角平分线EM; ii. 过点C作$NC// DE$,与EM交于点O; iii. 过点O作$OH⊥ DE$,垂足为H; iv. 以O为圆心,OH为半径,与CD,CF分别交于点P,Q,则出$\overset{\frown}{PQ}$即为所求.
解析
【分析】
(1) 要证两条弧相等，需先满足等弧的判定前提：同圆或等圆中，相等的圆心角或弦所对的弧相等。因此首先要证明⊙O和⊙O₁为等圆，即半径相等。结合已知的∠O=∠O₁、AB=A₁B₁，利用等腰三角形底角相等的性质可证△AOB≌△A₁O₁B₁，得到半径相等，即可推出弧相等。
(2) Ⅰ. 等弧的半径、圆心角均相等，$\overset{\frown}{DE}$以A为圆心，因此半径为AD，圆心角为∠A。作图时先在AB上取点M，作出与DE等长的MN，再找到到M、N距离等于AD的点作为圆心，即可作出符合要求的$\overset{\frown}{MN}$。
Ⅱ. 先求出$\overset{\frown}{DE}$的半径：结合等腰△ABC的角度和边长，可算出A到BC的距离即弧DE的半径为2；满足条件的$\overset{\frown}{MN}$的圆心轨迹为沿∠BAC角平分线的线段，计算可得长度为4。
(3) $\overset{\frown}{AB}$半径为30cm、圆心角120°，因此$\overset{\frown}{PQ}$的半径也为30cm、圆心角120°。由于$\overset{\frown}{PQ}$与DE、EF均相切，圆心需在∠DEF的角平分线上，且到DE的距离为30cm，结合∠C=120°的条件即可确定圆心位置，作出所求弧。
【解析】
(1) 证明：
∵ OA、OB是⊙O的半径，
∴ $OA=OB$，
∴ $∠A=∠B=\frac{1}{2}(180°-∠O)=90°-\frac{1}{2}∠O$，
同理可得：$∠A_1=∠B_1=\frac{1}{2}(180°-∠O_1)=90°-\frac{1}{2}∠O_1$，
∵ $∠O=∠O_1$，
∴ $∠A=∠A_1$，
在$△ AOB$和$△ A_1O_1B_1$中：
$\begin{cases}∠O=∠O_1\\∠A=∠A_1\\AB=A_1B_1\end{cases}$
∴ $△ AOB≌△ A_1O_1B_1$（AAS），
∴ $OA=O_1A_1$，即⊙O和⊙O₁是等圆，
又
∵ $AB=A_1B_1$，等圆中相等的弦所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{A_1B_1}$。
(2) Ⅰ. 作图步骤：
① 在AB边上任取一点M，以M为圆心，DE的长度为半径画弧，与AC边交于点N，连接MN；
② 分别以M、N为圆心，AD的长度为半径作弧，两弧交于点O；
③ 以O为圆心，OM的长度为半径作弧$\overset{\frown}{MN}$，即为所求（方法不唯一）。
Ⅱ. 计算：
已知$AB=AC=4$，$∠BAC=120°$，则$∠B=30°$，
∵ $\overset{\frown}{DE}$与BC相切，
∴ 弧DE的半径等于A到BC的距离：$r=AB·sin30°=2$，
满足条件的$\overset{\frown}{MN}$的圆心轨迹为沿∠BAC角平分线的线段，计算得长度为4。
(3) 作图步骤：
① 作$∠DEF$的角平分线EM；
② 过点C作$NC// DE$，与EM交于点O；
③ 过点O作$OH⊥DE$，垂足为H；
④ 以O为圆心，OH为半径作弧，与CD、CF分别交于点P、Q，则$\overset{\frown}{PQ}$即为所求。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) Ⅰ. 作图见解析；Ⅱ. $\boldsymbol{4}$；
(3) 作图见解析；
【知识点】
等弧的判定，全等三角形的判定与性质，尺规作图
【点评】
本题以等弧的探究为核心设置分层问题，既考查了圆的基本性质、全等三角形、切线性质等基础知识点，又考查了动手作图能力、综合分析问题的能力，结合生活实际场景，综合性较强，能有效检验对知识的灵活运用水平。
【难度系数】
0.3
(1) 要证两条弧相等，需先满足等弧的判定前提：同圆或等圆中，相等的圆心角或弦所对的弧相等。因此首先要证明⊙O和⊙O₁为等圆，即半径相等。结合已知的∠O=∠O₁、AB=A₁B₁，利用等腰三角形底角相等的性质可证△AOB≌△A₁O₁B₁，得到半径相等，即可推出弧相等。
(2) Ⅰ. 等弧的半径、圆心角均相等，$\overset{\frown}{DE}$以A为圆心，因此半径为AD，圆心角为∠A。作图时先在AB上取点M，作出与DE等长的MN，再找到到M、N距离等于AD的点作为圆心，即可作出符合要求的$\overset{\frown}{MN}$。
Ⅱ. 先求出$\overset{\frown}{DE}$的半径：结合等腰△ABC的角度和边长，可算出A到BC的距离即弧DE的半径为2；满足条件的$\overset{\frown}{MN}$的圆心轨迹为沿∠BAC角平分线的线段，计算可得长度为4。
(3) $\overset{\frown}{AB}$半径为30cm、圆心角120°，因此$\overset{\frown}{PQ}$的半径也为30cm、圆心角120°。由于$\overset{\frown}{PQ}$与DE、EF均相切，圆心需在∠DEF的角平分线上，且到DE的距离为30cm，结合∠C=120°的条件即可确定圆心位置，作出所求弧。
【解析】
(1) 证明：
∵ OA、OB是⊙O的半径，
∴ $OA=OB$，
∴ $∠A=∠B=\frac{1}{2}(180°-∠O)=90°-\frac{1}{2}∠O$，
同理可得：$∠A_1=∠B_1=\frac{1}{2}(180°-∠O_1)=90°-\frac{1}{2}∠O_1$，
∵ $∠O=∠O_1$，
∴ $∠A=∠A_1$，
在$△ AOB$和$△ A_1O_1B_1$中：
$\begin{cases}∠O=∠O_1\\∠A=∠A_1\\AB=A_1B_1\end{cases}$
∴ $△ AOB≌△ A_1O_1B_1$（AAS），
∴ $OA=O_1A_1$，即⊙O和⊙O₁是等圆，
又
∵ $AB=A_1B_1$，等圆中相等的弦所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{A_1B_1}$。
(2) Ⅰ. 作图步骤：
① 在AB边上任取一点M，以M为圆心，DE的长度为半径画弧，与AC边交于点N，连接MN；
② 分别以M、N为圆心，AD的长度为半径作弧，两弧交于点O；
③ 以O为圆心，OM的长度为半径作弧$\overset{\frown}{MN}$，即为所求（方法不唯一）。
Ⅱ. 计算：
已知$AB=AC=4$，$∠BAC=120°$，则$∠B=30°$，
∵ $\overset{\frown}{DE}$与BC相切，
∴ 弧DE的半径等于A到BC的距离：$r=AB·sin30°=2$，
满足条件的$\overset{\frown}{MN}$的圆心轨迹为沿∠BAC角平分线的线段，计算得长度为4。
(3) 作图步骤：
① 作$∠DEF$的角平分线EM；
② 过点C作$NC// DE$，与EM交于点O；
③ 过点O作$OH⊥DE$，垂足为H；
④ 以O为圆心，OH为半径作弧，与CD、CF分别交于点P、Q，则$\overset{\frown}{PQ}$即为所求。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) Ⅰ. 作图见解析；Ⅱ. $\boldsymbol{4}$；
(3) 作图见解析；
【知识点】
等弧的判定，全等三角形的判定与性质，尺规作图
【点评】
本题以等弧的探究为核心设置分层问题，既考查了圆的基本性质、全等三角形、切线性质等基础知识点，又考查了动手作图能力、综合分析问题的能力，结合生活实际场景，综合性较强，能有效检验对知识的灵活运用水平。
【难度系数】
0.3
