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③ 现有模拟机器人协作场景，如下图所示：正三角形ABC代表机器人工作的目标区域，点O是区域内待处理的协作节点，OA=3，OB=4，OC=5（代表机器人手臂操作的距离参数）。将机器人手臂BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°，得到BO'，连接AO'。分析以下模拟机器人手臂旋转操作后的几何关系推理结论，其中正确的是（
①$△ BO'A$可以由$△ BOC$绕点B逆时针旋转$60°$得到
②点O与O'的距离为4
③$∠ AOB=150°$
④$S_{\mathrm{四边形}AOBO'}=6+4\sqrt{3}$
A.①②③
B.①②③④
C.②③④
D.①②④
B
）①$△ BO'A$可以由$△ BOC$绕点B逆时针旋转$60°$得到
②点O与O'的距离为4
③$∠ AOB=150°$
④$S_{\mathrm{四边形}AOBO'}=6+4\sqrt{3}$
A.①②③
B.①②③④
C.②③④
D.①②④
答案
B
解析
【分析】
解题时先结合旋转的性质和正三角形的性质通过SAS判定△BO'A≌△BOC，验证结论①；再根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，判定△OBO'为等边三角形，得到OO'的长度验证结论②；接着利用全等三角形的性质得到AO'的长度，通过勾股定理逆定理判定△AOO'为直角三角形，结合等边三角形的角度求出∠AOB验证结论③；最后分别计算△AOO'和△OBO'的面积，求和得到四边形AOBO'的面积验证结论④即可。
【解析】
1. 验证结论①：
∵△ABC是正三角形，
∴BA=BC，∠ABC=60°。
由旋转的性质可知：BO'=BO，∠OBO'=60°，
∴∠O'BA + ∠ABO = 60°，∠OBC + ∠ABO = ∠ABC=60°，
∴∠O'BA=∠OBC。
在△BO'A和△BOC中：
$\{\begin{array}{l} BO'=BO\\ ∠ O'BA=∠ OBC\\ BA=BC\end{array} $
∴△BO'A≌△BOC（SAS），旋转角为60°，即△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，①正确。
2. 验证结论②：
∵BO'=BO，∠OBO'=60°，
∴△OBO'是等边三角形，
∴OO'=OB=4，②正确。
3. 验证结论③：
∵△BO'A≌△BOC，
∴AO'=OC=5。
在△AOO'中，OA=3，OO'=4，AO'=5，
∵$3^2+4^2=9+16=25=5^2$，满足勾股定理逆定理，
∴△AOO'是直角三角形，∠AOO'=90°。
又
∵△OBO'是等边三角形，
∴∠BOO'=60°，
∴∠AOB=∠AOO'+∠BOO'=90°+60°=150°，③正确。
4. 验证结论④：
四边形AOBO'的面积等于△AOO'和△OBO'的面积和，即$S_{四边形AOBO'}=S_{△ AOO'}+S_{△ OBO'}$。
$S_{△ AOO'}=\frac{1}{2}× OA × OO'=\frac{1}{2}×3×4=6$。
过点O'作O'D⊥OB于点D，
∵△OBO'是边长为4的等边三角形，
∴BD=$\frac{1}{2}OB=2$，由勾股定理得高$O'D=\sqrt{OB^2-BD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∴$S_{△ OBO'}=\frac{1}{2}× OB × O'D=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
∴$S_{四边形AOBO'}=6+4\sqrt{3}$，④正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质、全等三角形判定与性质、勾股定理逆定理
【点评】
本题结合实际应用场景，综合考查了几何旋转、全等三角形、等边三角形、勾股定理相关知识，解题时需注意通过旋转的性质转化边角关系，将分散的已知条件集中到同一个三角形中求解，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时先结合旋转的性质和正三角形的性质通过SAS判定△BO'A≌△BOC，验证结论①；再根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，判定△OBO'为等边三角形，得到OO'的长度验证结论②；接着利用全等三角形的性质得到AO'的长度，通过勾股定理逆定理判定△AOO'为直角三角形，结合等边三角形的角度求出∠AOB验证结论③；最后分别计算△AOO'和△OBO'的面积，求和得到四边形AOBO'的面积验证结论④即可。
【解析】
1. 验证结论①：
∵△ABC是正三角形，
∴BA=BC，∠ABC=60°。
由旋转的性质可知：BO'=BO，∠OBO'=60°，
∴∠O'BA + ∠ABO = 60°，∠OBC + ∠ABO = ∠ABC=60°，
∴∠O'BA=∠OBC。
在△BO'A和△BOC中：
$\{\begin{array}{l} BO'=BO\\ ∠ O'BA=∠ OBC\\ BA=BC\end{array} $
∴△BO'A≌△BOC（SAS），旋转角为60°，即△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，①正确。
2. 验证结论②：
∵BO'=BO，∠OBO'=60°，
∴△OBO'是等边三角形，
∴OO'=OB=4，②正确。
3. 验证结论③：
∵△BO'A≌△BOC，
∴AO'=OC=5。
在△AOO'中，OA=3，OO'=4，AO'=5，
∵$3^2+4^2=9+16=25=5^2$，满足勾股定理逆定理，
∴△AOO'是直角三角形，∠AOO'=90°。
又
∵△OBO'是等边三角形，
∴∠BOO'=60°，
∴∠AOB=∠AOO'+∠BOO'=90°+60°=150°，③正确。
4. 验证结论④：
四边形AOBO'的面积等于△AOO'和△OBO'的面积和，即$S_{四边形AOBO'}=S_{△ AOO'}+S_{△ OBO'}$。
$S_{△ AOO'}=\frac{1}{2}× OA × OO'=\frac{1}{2}×3×4=6$。
过点O'作O'D⊥OB于点D，
∵△OBO'是边长为4的等边三角形，
∴BD=$\frac{1}{2}OB=2$，由勾股定理得高$O'D=\sqrt{OB^2-BD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∴$S_{△ OBO'}=\frac{1}{2}× OB × O'D=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
∴$S_{四边形AOBO'}=6+4\sqrt{3}$，④正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质、全等三角形判定与性质、勾股定理逆定理
【点评】
本题结合实际应用场景，综合考查了几何旋转、全等三角形、等边三角形、勾股定理相关知识，解题时需注意通过旋转的性质转化边角关系，将分散的已知条件集中到同一个三角形中求解，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
④ 如右图所示，机器人工作区域可示意为正方形ABCD，目标物关联点E，F分别在边BC，CD上，操作指令角∠EAF = 45°，连接EF，可通过旋转、平移分析抓取路径关系，说明EF=BE+DF的理由.
(1)思路梳理
∵四边形ABCD是正方形.
∴AB=AD，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合.
∵∠ADC = ∠B = 90°.
∴∠FDG = 180°，点F，D，G共线.
根据
(2)类比引申
如右图所示，四边形ABCD为机器人工作区域简化模型，AB=AD，操作基准角∠BAD = 90°，点E，F分别在边BC，CD上，操作指令角∠EAF = 45°.若非规则工作区域边界角度∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足什么样的等量关系时，仍有EF=BE+DF？请说明理由.
(3)联想拓展
如右图所示，在△ABC模拟的机器人工作区域中，操作基准角∠BAC = 90°，手臂对称旋转基准AB=AC，点D，E均在抓取目标轨迹的BC上，且操作指令角∠DAE = 45°.猜想BD，DE，EC应满足的等量关系，并写出推理过程.
(1)思路梳理
∵四边形ABCD是正方形.
∴AB=AD，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合.
∵∠ADC = ∠B = 90°.
∴∠FDG = 180°，点F，D，G共线.
根据
SAS
，易证△AFG ≌ △AFE
，得EF=BE+DF.(2)类比引申
如右图所示，四边形ABCD为机器人工作区域简化模型，AB=AD，操作基准角∠BAD = 90°，点E，F分别在边BC，CD上，操作指令角∠EAF = 45°.若非规则工作区域边界角度∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足什么样的等量关系时，仍有EF=BE+DF？请说明理由.
(3)联想拓展
如右图所示，在△ABC模拟的机器人工作区域中，操作基准角∠BAC = 90°，手臂对称旋转基准AB=AC，点D，E均在抓取目标轨迹的BC上，且操作指令角∠DAE = 45°.猜想BD，DE，EC应满足的等量关系，并写出推理过程.
答案
(1) SAS $△ AFE$
(2) $∠ B + ∠ D = 180°$. 理由略.
(3) $BD^2+EC^2=DE^2$ 推理过程略.
(2) $∠ B + ∠ D = 180°$. 理由略.
(3) $BD^2+EC^2=DE^2$ 推理过程略.
解析
【分析】
(1) 第一小问为正方形内的半角经典问题，将△ABE旋转使AB与AD重合得到△ADG，此时可得AE=AG、∠BAE=∠DAG；结合∠EAF=45°、∠BAD=90°，可推得∠GAF=∠EAF=45°，加上公共边AF，即可用边角边判定两个三角形全等，进而推导线段关系。
(2) 第二小问要保持EF=BE+DF，核心是保证旋转后点F、D、G共线，即∠ADG+∠ADF=180°，结合旋转后∠ADG=∠B，即可得到∠B与∠D的等量关系，后续证明与第一问逻辑一致。
(3) 第三问同样采用旋转法，将△ABD绕点A旋转90°使AB与AC重合得到△ACG，连接EG后先证△ADE≌△AGE得DE=EG，再证明∠ECG为直角，结合勾股定理即可得到三条线段的等量关系。
【解析】
(1) 由旋转性质得AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=45°，
∴∠DAG+∠DAF=∠GAF=45°=∠EAF，
在△AFG和△AFE中：
$\{\begin{array}{l}AG=AE\\ ∠ GAF=∠ EAF\\ AF=AF\end{array} $
根据SAS可证△AFG ≌ △AFE，故填SAS、△AFE。
(2) 当$\boldsymbol{∠B + ∠D = 180°}$时，仍有EF=BE+DF，理由如下：
将△ABE绕点A逆时针旋转至AB与AD重合，得到△ADG，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，∠B=∠ADG，
∵∠B+∠ADF=180°，
∴∠ADG+∠ADF=180°，即F、D、G三点共线，
∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=45°=∠DAG+∠DAF=∠GAF，即∠GAF=∠EAF，
又
∵AF=AF，AG=AE，
∴△AFG≌△AFE(SAS)，
∴EF=GF=DG+DF=BE+DF。
(3) 猜想：$\boldsymbol{BD^2+EC^2=DE^2}$，推理过程如下：
将△ABD绕点A逆时针旋转90°，使AB与AC重合，得到△ACG，连接EG，
∴AD=AG，BD=CG，∠BAD=∠CAG，∠B=∠ACG，
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=45°，
∴∠CAG+∠EAC=∠EAG=45°=∠DAE，
又
∵AE=AE，AD=AG，
∴△ADE≌△AGE(SAS)，
∴DE=EG，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ACG=∠B=45°，
∴∠ECG=∠ACB+∠ACG=90°，
在Rt△ECG中，由勾股定理得$CG^2+EC^2=EG^2$，
代入CG=BD、EG=DE，得$BD^2+EC^2=DE^2$。
【答案】
(1) SAS；$△ AFE$
(2) $∠B + ∠D = 180°$，理由见解析
(3) $BD^2+EC^2=DE^2$，推理过程见解析
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题围绕半角模型设计，核心解法是通过旋转构造全等三角形，将分散的线段转移到同一个三角形中建立等量关系，考查了几何变换的应用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 第一小问为正方形内的半角经典问题，将△ABE旋转使AB与AD重合得到△ADG，此时可得AE=AG、∠BAE=∠DAG；结合∠EAF=45°、∠BAD=90°，可推得∠GAF=∠EAF=45°，加上公共边AF，即可用边角边判定两个三角形全等，进而推导线段关系。
(2) 第二小问要保持EF=BE+DF，核心是保证旋转后点F、D、G共线，即∠ADG+∠ADF=180°，结合旋转后∠ADG=∠B，即可得到∠B与∠D的等量关系，后续证明与第一问逻辑一致。
(3) 第三问同样采用旋转法，将△ABD绕点A旋转90°使AB与AC重合得到△ACG，连接EG后先证△ADE≌△AGE得DE=EG，再证明∠ECG为直角，结合勾股定理即可得到三条线段的等量关系。
【解析】
(1) 由旋转性质得AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=45°，
∴∠DAG+∠DAF=∠GAF=45°=∠EAF，
在△AFG和△AFE中：
$\{\begin{array}{l}AG=AE\\ ∠ GAF=∠ EAF\\ AF=AF\end{array} $
根据SAS可证△AFG ≌ △AFE，故填SAS、△AFE。
(2) 当$\boldsymbol{∠B + ∠D = 180°}$时，仍有EF=BE+DF，理由如下：
将△ABE绕点A逆时针旋转至AB与AD重合，得到△ADG，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，∠B=∠ADG，
∵∠B+∠ADF=180°，
∴∠ADG+∠ADF=180°，即F、D、G三点共线，
∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=45°=∠DAG+∠DAF=∠GAF，即∠GAF=∠EAF，
又
∵AF=AF，AG=AE，
∴△AFG≌△AFE(SAS)，
∴EF=GF=DG+DF=BE+DF。
(3) 猜想：$\boldsymbol{BD^2+EC^2=DE^2}$，推理过程如下：
将△ABD绕点A逆时针旋转90°，使AB与AC重合，得到△ACG，连接EG，
∴AD=AG，BD=CG，∠BAD=∠CAG，∠B=∠ACG，
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=45°，
∴∠CAG+∠EAC=∠EAG=45°=∠DAE，
又
∵AE=AE，AD=AG，
∴△ADE≌△AGE(SAS)，
∴DE=EG，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ACG=∠B=45°，
∴∠ECG=∠ACB+∠ACG=90°，
在Rt△ECG中，由勾股定理得$CG^2+EC^2=EG^2$，
代入CG=BD、EG=DE，得$BD^2+EC^2=DE^2$。
【答案】
(1) SAS；$△ AFE$
(2) $∠B + ∠D = 180°$，理由见解析
(3) $BD^2+EC^2=DE^2$，推理过程见解析
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题围绕半角模型设计，核心解法是通过旋转构造全等三角形，将分散的线段转移到同一个三角形中建立等量关系，考查了几何变换的应用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
