本章中用到的转化思想方法主要体现在平行四边形、矩形、菱形、正方形都被其对角线分成几个三角形或特殊三角形，在解决有关计算题与证明题时，常将四边形中的问题转化到三角形中，然后用三角形的知识来解决。

【典例】 如图所示，在$□ ABCD$中，对角线$AC, BD$相交于点$O$，过点$O$作直线交$AD$于点$E$，交$BC$于点$F$. 已知$□ ABCD$的面积为$30\ \mathrm{cm}^2$.
1. 求阴影部分的面积.
2. 当直线$EF$绕点$O$旋转一定的角度时，阴影部分的面积是变还是不变？请说明理由.

分析 运用全等三角形的性质将$S_{△ BOF}$转化为$S_{△ DOE}$，从而使三块阴影部分构成一个整体，然后根据其与平行四边形的关系求面积.
【解析】
1. $\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore AD = CB, DC = BA$.
$\because AC = CA, \therefore △ ABC ≌ △ CDA(\mathrm{SSS})$.
$\therefore S_{△ ABC} = S_{△ CDA} = \frac{1}{2}S_{□ ABCD} = \frac{1}{2} × 30 = 15(\mathrm{cm}^2)$.
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore OD = OB, AD // BC$. $\therefore ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 3 = ∠ 4$.
$\therefore △ DOE ≌ △ BOF(\mathrm{AAS})$. $\therefore S_{△ DOE} = S_{△ BOF}$.
$\therefore S_{\mathrm{阴影部分}} = S_{△ BOF} + S_{△ AOE} + S_{△ COD} = S_{△ DOE} + S_{△ AOE} + S_{△ COD} = S_{△ CDA} = 15\ \mathrm{cm}^2$.
2. 当直线$EF$绕点$O$旋转一定的角度时，阴影部分的面积不变.
理由：因为无论怎样旋转，$△ DOE$与$△ BOF$全等的条件不变，即$△ DOE$与$△ BOF$依然全等，所以阴影部分的面积不变.

方法解读; 典例剖析

【分析】
首先根据横线后内容的属性判断应填的模块名：第一处横线后是讲解本章解决四边形问题常用的转化思想方法，属于方法类讲解模块，对应填“方法解读”；第二处横线后是通过具体典型例题演示方法的实际应用，属于典例展示模块，对应填“典例剖析”。针对配套典例，解题思路为：利用平行四边形的性质证明三角形全等，通过割补法将分散的阴影面积转化为平行四边形面积的一半求解；直线EF绕点O旋转时，平行四边形的中心对称性不变，全等关系始终成立，因此阴影面积不变。
【解析】
1. 模块填空：第一处横线对应方法讲解模块，填“方法解读”；第二处横线对应例题演示模块，填“典例剖析”。
2. 典例解析：
(1) 求阴影面积：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=CB，DC=BA，又AC=CA，
∴ △ABC≌△CDA（SSS），因此$S_{△ABC}=S_{△CDA}=\frac{1}{2}S_{□ABCD}=\frac{1}{2}×30=15\ \mathrm{cm}^2$。
∵ 平行四边形对角线互相平分、对边平行，
∴ OD=OB，AD//BC，得∠1=∠2，∠3=∠4，
∴ △DOE≌△BOF（AAS），即$S_{△DOE}=S_{△BOF}$。
将阴影部分的$S_{△BOF}$替换为$S_{△DOE}$，可得$S_{阴影}=S_{△DOE}+S_{△AOE}+S_{△COD}=S_{△CDA}=15\ \mathrm{cm}^2$。
(2) 旋转EF时面积判断：
阴影面积不变。理由：无论EF绕O点旋转到什么角度，平行四边形OD=OB、AD//BC的性质始终成立，因此△DOE和△BOF始终全等，面积始终相等，阴影部分始终可转化为平行四边形面积的一半，因此面积不变。
【答案】
方法解读；典例剖析
典例答案：1. $15\ \mathrm{cm}^2$；2. 面积不变，理由见解析
【知识点】
平行四边形性质；全等三角形判定与性质；转化思想
【点评】
本题结合方法讲解和典例应用，引导学生掌握四边形问题转化为三角形问题的核心解题思路，解题关键是利用平行四边形的中心对称性找到全等三角形，实现面积的割补转化，有助于培养学生的转化思维和几何综合应用能力。
【难度系数】
0.7