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4. 如图,在四边形ABCD中,点E在AB上,DE平分∠ADC.
(1)如图1,若∠A=90°,∠B=100°,∠ADE=40°,求∠C的度数；
(2)如图2,点F在CD上,BF//DE,AD=AE. 求证:四边形BFDE为平行四边形.
(1)如图1,若∠A=90°,∠B=100°,∠ADE=40°,求∠C的度数；
(2)如图2,点F在CD上,BF//DE,AD=AE. 求证:四边形BFDE为平行四边形.
答案
(1)解:
∵ ∠ADE = 40°,DE平分∠ADC,
∴ ∠ADC = 2∠ADE = 80°,
∴ ∠C = 360° - ∠A - ∠B - ∠ADC = 90°.
(2)证明:
∵ DE平分∠ADC,
∴ ∠ADE = ∠FDE.
∵ AD = AE,
∴ ∠AED = ∠ADE,
∴ ∠AED = ∠FDE,
∴ DF//BE,
∵ BF//DE,
∴ 四边形BFDE为平行四边形.
∵ ∠ADE = 40°,DE平分∠ADC,
∴ ∠ADC = 2∠ADE = 80°,
∴ ∠C = 360° - ∠A - ∠B - ∠ADC = 90°.
(2)证明:
∵ DE平分∠ADC,
∴ ∠ADE = ∠FDE.
∵ AD = AE,
∴ ∠AED = ∠ADE,
∴ ∠AED = ∠FDE,
∴ DF//BE,
∵ BF//DE,
∴ 四边形BFDE为平行四边形.
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先根据角平分线的定义，由已知的∠ADE度数和DE平分∠ADC的条件，先求出∠ADC的总度数；再利用四边形内角和为360°的性质，代入已知的∠A、∠B、∠ADC的度数，即可计算出∠C的度数。
(2) 解题思路：要证明四边形BFDE是平行四边形，已知BF//DE，只需证明另一组对边DF//BE即可。首先利用角平分线定义得到∠ADE=∠FDE，再结合AD=AE，由等腰三角形两底角相等的性质得到∠AED=∠ADE，等量代换后得到∠AED=∠FDE，根据内错角相等两直线平行可推出DF//BE，最后结合两组对边分别平行的四边形是平行四边形的判定定理即可得证。
【解析】
(1) 解：
∵ ∠ADE = 40°，DE平分∠ADC，
∴ ∠ADC = 2∠ADE = 80°，
∵ 四边形内角和为360°，
∴ ∠C = 360° - ∠A - ∠B - ∠ADC = 360° - 90° - 100° - 80° = 90°。
(2) 证明：
∵ DE平分∠ADC，
∴ ∠ADE = ∠FDE，
∵ AD = AE，
∴ ∠AED = ∠ADE，
∴ ∠AED = ∠FDE，
∴ DF//BE，
又
∵ BF//DE，
∴ 四边形BFDE为平行四边形。
【答案】
(1) ∠C=90°；(2) 四边形BFDE为平行四边形，证明成立。
【知识点】
四边形内角和定理，角平分线的定义，平行四边形的判定
【点评】
本题属于几何基础题，解题的关键是灵活运用角平分线性质、等腰三角形性质以及平行四边形的判定定理，计算和推导过程都较为常规，熟练掌握相关基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：首先根据角平分线的定义，由已知的∠ADE度数和DE平分∠ADC的条件，先求出∠ADC的总度数；再利用四边形内角和为360°的性质，代入已知的∠A、∠B、∠ADC的度数，即可计算出∠C的度数。
(2) 解题思路：要证明四边形BFDE是平行四边形，已知BF//DE，只需证明另一组对边DF//BE即可。首先利用角平分线定义得到∠ADE=∠FDE，再结合AD=AE，由等腰三角形两底角相等的性质得到∠AED=∠ADE，等量代换后得到∠AED=∠FDE，根据内错角相等两直线平行可推出DF//BE，最后结合两组对边分别平行的四边形是平行四边形的判定定理即可得证。
【解析】
(1) 解：
∵ ∠ADE = 40°，DE平分∠ADC，
∴ ∠ADC = 2∠ADE = 80°，
∵ 四边形内角和为360°，
∴ ∠C = 360° - ∠A - ∠B - ∠ADC = 360° - 90° - 100° - 80° = 90°。
(2) 证明：
∵ DE平分∠ADC，
∴ ∠ADE = ∠FDE，
∵ AD = AE，
∴ ∠AED = ∠ADE，
∴ ∠AED = ∠FDE，
∴ DF//BE，
又
∵ BF//DE，
∴ 四边形BFDE为平行四边形。
【答案】
(1) ∠C=90°；(2) 四边形BFDE为平行四边形，证明成立。
【知识点】
四边形内角和定理，角平分线的定义，平行四边形的判定
【点评】
本题属于几何基础题，解题的关键是灵活运用角平分线性质、等腰三角形性质以及平行四边形的判定定理，计算和推导过程都较为常规，熟练掌握相关基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在$□ ABCD$中,DF平分$∠ ADC$,交BC于点E,交AB的延长线于点F.
(1)求证:$AD = AF$;
(2)若$AD = 6$,$AB = 3$,$∠ A = 120°$,求$BF$的长和$△ ADF$的面积.
(1)求证:$AD = AF$;
(2)若$AD = 6$,$AB = 3$,$∠ A = 120°$,求$BF$的长和$△ ADF$的面积.
答案
(1)证明:在$□ABCD$中,AB//CD,
∴ ∠CDE = ∠F.
∵ DF平分∠ADC,
∴ ∠ADE = ∠CDE,
∴ ∠F = ∠ADF,
∴ AD = AF.
(2)解:
∵ AD = AF = 6,AB = 3,
∴ BF = AF - AB = 3. 过D作DH⊥AF交FA的延长线于H,
∵ ∠BAD = 120°,
∴ ∠DAH = 60°,
∴ ∠ADH = 30°,
∴ AH = $\frac{1}{2}$AD = 3,
∴ DH = $\sqrt{AD^2 - AH^2} = 3\sqrt{3}$,
∴ $S_{△ADF} = \frac{1}{2}AF·DH = \frac{1}{2}×6×3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$.
∴ ∠CDE = ∠F.
∵ DF平分∠ADC,
∴ ∠ADE = ∠CDE,
∴ ∠F = ∠ADF,
∴ AD = AF.
(2)解:
∵ AD = AF = 6,AB = 3,
∴ BF = AF - AB = 3. 过D作DH⊥AF交FA的延长线于H,
∵ ∠BAD = 120°,
∴ ∠DAH = 60°,
∴ ∠ADH = 30°,
∴ AH = $\frac{1}{2}$AD = 3,
∴ DH = $\sqrt{AD^2 - AH^2} = 3\sqrt{3}$,
∴ $S_{△ADF} = \frac{1}{2}AF·DH = \frac{1}{2}×6×3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$.
解析
【分析】
(1)要证明$AD=AF$，可通过证明$△ ADF$为等腰三角形，即证$∠ F=∠ ADF$。首先利用平行四边形对边平行的性质可得内错角$∠ CDE=∠ F$，再结合DF是$∠ ADC$的角平分线得到$∠ ADE=∠ CDE$，等量代换即可得到等角，最后利用等角对等边完成证明。
(2)求BF的长时，由(1)的结论可知$AF=AD=6$，结合已知AB的长度，用AF减去AB即可得到BF；求$△ ADF$的面积时，已知底AF的长度，需要求AF边上的高，过D作AF的垂线构造直角三角形，结合$∠ A=120°$可得到直角三角形中$30°$的内角，利用含$30°$直角三角形的性质和勾股定理求出高，再代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1)证明：在$□ ABCD$中，$AB// CD$，
∴ $∠ CDE = ∠ F$（两直线平行，内错角相等）。
∵ DF平分$∠ ADC$，
∴ $∠ ADE = ∠ CDE$，
∴ $∠ F = ∠ ADF$，
∴ $AD = AF$（等角对等边）。
(2)解：
由(1)可知$AD = AF = 6$，
∵ $AB = 3$，
∴ $BF = AF - AB = 6 - 3 = 3$。
过D作$DH⊥ AF$，交FA的延长线于点H，
∵ $∠ BAD = 120°$，
∴ $∠ DAH = 180° - 120° = 60°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADH$中，$∠ ADH = 90° - 60° = 30°$，
∴ $AH = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}×6 = 3$，
由勾股定理得：$DH = \sqrt{AD^2 - AH^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = 3\sqrt{3}$，
∴ $S_{△ ADF} = \frac{1}{2}× AF× DH = \frac{1}{2}×6×3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$。
【答案】
(1)$AD=AF$得证；
(2)$BF$的长为$\boldsymbol{3}$，$△ ADF$的面积为$\boldsymbol{9\sqrt{3}}$。
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题核心是利用平行四边形的平行性质结合角平分线完成角的等量代换，实现角的关系到边的关系的转化，求解三角形面积时构造高、利用特殊直角三角形的性质求高是几何计算的常用技巧，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1)要证明$AD=AF$，可通过证明$△ ADF$为等腰三角形，即证$∠ F=∠ ADF$。首先利用平行四边形对边平行的性质可得内错角$∠ CDE=∠ F$，再结合DF是$∠ ADC$的角平分线得到$∠ ADE=∠ CDE$，等量代换即可得到等角，最后利用等角对等边完成证明。
(2)求BF的长时，由(1)的结论可知$AF=AD=6$，结合已知AB的长度，用AF减去AB即可得到BF；求$△ ADF$的面积时，已知底AF的长度，需要求AF边上的高，过D作AF的垂线构造直角三角形，结合$∠ A=120°$可得到直角三角形中$30°$的内角，利用含$30°$直角三角形的性质和勾股定理求出高，再代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1)证明：在$□ ABCD$中，$AB// CD$，
∴ $∠ CDE = ∠ F$（两直线平行，内错角相等）。
∵ DF平分$∠ ADC$，
∴ $∠ ADE = ∠ CDE$，
∴ $∠ F = ∠ ADF$，
∴ $AD = AF$（等角对等边）。
(2)解：
由(1)可知$AD = AF = 6$，
∵ $AB = 3$，
∴ $BF = AF - AB = 6 - 3 = 3$。
过D作$DH⊥ AF$，交FA的延长线于点H，
∵ $∠ BAD = 120°$，
∴ $∠ DAH = 180° - 120° = 60°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADH$中，$∠ ADH = 90° - 60° = 30°$，
∴ $AH = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}×6 = 3$，
由勾股定理得：$DH = \sqrt{AD^2 - AH^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = 3\sqrt{3}$，
∴ $S_{△ ADF} = \frac{1}{2}× AF× DH = \frac{1}{2}×6×3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$。
【答案】
(1)$AD=AF$得证；
(2)$BF$的长为$\boldsymbol{3}$，$△ ADF$的面积为$\boldsymbol{9\sqrt{3}}$。
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题核心是利用平行四边形的平行性质结合角平分线完成角的等量代换，实现角的关系到边的关系的转化，求解三角形面积时构造高、利用特殊直角三角形的性质求高是几何计算的常用技巧，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
