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1 [2025凉山改编]下列说法正确的是 （
A.弦的垂线平分弦所对的弧
B.平分弦的直径垂直于这条弦
C.过弦中点的直线必过圆心
D.弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦
D
）A.弦的垂线平分弦所对的弧
B.平分弦的直径垂直于这条弦
C.过弦中点的直线必过圆心
D.弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查垂径定理及其推论的辨析，解题需先明确垂径定理及各推论的成立条件，再逐一验证选项是否满足定理要求：首先回忆垂径定理核心内容是垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧，其相关推论均有严格的前提限制，判断时需注意选项是否遗漏前提，是否符合定理逻辑。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 只有过圆心且垂直于弦的直线（即弦的垂直平分线）才能平分弦所对的弧，任意弦的垂线不一定过圆心，无法保证平分弧，故A错误；
B. 平分弦的直径垂直于弦的前提是“被平分的弦不是直径”，若弦是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，选项未说明弦非直径，故B错误；
C. 过弦中点的直线有无数条，只有同时垂直于弦的直线才经过圆心，并非所有过弦中点的直线都过圆心，故C错误；
D. 弦所对的两条弧的中点连线是圆的一条对称轴，根据圆的轴对称性，该对称轴必然垂直平分这条弦，符合垂径定理结论，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理及推论；圆的轴对称性
【点评】
本题属于圆的基础概念类考题，主要易错点是容易忽略垂径定理推论的前提限制，比如“平分弦的直径垂直于弦”要求被平分的弦不能是直径，做题时需完整识记定理内容，避免遗漏前提条件导致判断错误。
【难度系数】
0.7
本题考查垂径定理及其推论的辨析，解题需先明确垂径定理及各推论的成立条件，再逐一验证选项是否满足定理要求：首先回忆垂径定理核心内容是垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧，其相关推论均有严格的前提限制，判断时需注意选项是否遗漏前提，是否符合定理逻辑。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 只有过圆心且垂直于弦的直线（即弦的垂直平分线）才能平分弦所对的弧，任意弦的垂线不一定过圆心，无法保证平分弧，故A错误；
B. 平分弦的直径垂直于弦的前提是“被平分的弦不是直径”，若弦是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，选项未说明弦非直径，故B错误；
C. 过弦中点的直线有无数条，只有同时垂直于弦的直线才经过圆心，并非所有过弦中点的直线都过圆心，故C错误；
D. 弦所对的两条弧的中点连线是圆的一条对称轴，根据圆的轴对称性，该对称轴必然垂直平分这条弦，符合垂径定理结论，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理及推论；圆的轴对称性
【点评】
本题属于圆的基础概念类考题，主要易错点是容易忽略垂径定理推论的前提限制，比如“平分弦的直径垂直于弦”要求被平分的弦不能是直径，做题时需完整识记定理内容，避免遗漏前提条件导致判断错误。
【难度系数】
0.7
2 [2024苏州期末]如图，AB是$\odot O$的弦，半径$OC⊥ AB$于点D.若$\odot O$的半径为5 cm，$AB=8$ cm，则CD的长是（
A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm
（第2题）
A
）A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm
（第2题）答案
2. A
解析
【分析】
遇到半径垂直于弦的问题，首先考虑垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可先求出弦长的一半；再连接弦的一个端点和圆心，得到直角三角形，利用勾股定理求出圆心到弦的距离；最后用半径减去圆心到弦的距离即可得到CD的长度。
【解析】
连接OA，
∵ OC⊥AB，AB=8 cm，根据垂径定理，
∴ AD = $\frac{1}{2}$AB = 4 cm，
∵ ⊙O的半径为5 cm，
∴ OA=OC=5 cm，
在Rt△ODA中，∠ODA=90°，由勾股定理得：
OD = $\sqrt{OA^2 - AD^2}$ = $\sqrt{5^2 - 4^2}$ = $\sqrt{9}$ = 3 cm，
∴ CD = OC - OD = 5 - 3 = 2 cm。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆的基础计算题，核心是利用垂径定理平分弦的性质构造直角三角形，结合勾股定理求解线段长度，属于垂径定理应用的典型基础题。
【难度系数】
0.8
遇到半径垂直于弦的问题，首先考虑垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可先求出弦长的一半；再连接弦的一个端点和圆心，得到直角三角形，利用勾股定理求出圆心到弦的距离；最后用半径减去圆心到弦的距离即可得到CD的长度。
【解析】
连接OA，
∵ OC⊥AB，AB=8 cm，根据垂径定理，
∴ AD = $\frac{1}{2}$AB = 4 cm，
∵ ⊙O的半径为5 cm，
∴ OA=OC=5 cm，
在Rt△ODA中，∠ODA=90°，由勾股定理得：
OD = $\sqrt{OA^2 - AD^2}$ = $\sqrt{5^2 - 4^2}$ = $\sqrt{9}$ = 3 cm，
∴ CD = OC - OD = 5 - 3 = 2 cm。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆的基础计算题，核心是利用垂径定理平分弦的性质构造直角三角形，结合勾股定理求解线段长度，属于垂径定理应用的典型基础题。
【难度系数】
0.8
3 如图,在$\odot O$中,弦$AB$的长为4,圆心到弦$AB$的距离为2,则$∠ AOC$的度数为
45°
.答案
3. 45°
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：OC垂直于弦AB，首先结合垂径定理可推出AC是AB的一半，先算出AC的长度；再结合已知的圆心到AB的距离OC=2，可知Rt△AOC的两条直角边长度相等，即可判断该三角形为等腰直角三角形，进而求出∠AOC的度数。
【解析】
解：
∵OC⊥AB，AB=4，
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，
∴$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$，
又
∵圆心到弦AB的距离OC=2，
∴在Rt△AOC中，AC=OC=2，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠AOC=45°。
【答案】
$45°$
【知识点】
垂径定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，将圆的性质和直角三角形的性质结合考查，解题的关键是熟练运用垂径定理得到线段AC的长度。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形特征：OC垂直于弦AB，首先结合垂径定理可推出AC是AB的一半，先算出AC的长度；再结合已知的圆心到AB的距离OC=2，可知Rt△AOC的两条直角边长度相等，即可判断该三角形为等腰直角三角形，进而求出∠AOC的度数。
【解析】
解：
∵OC⊥AB，AB=4，
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，
∴$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$，
又
∵圆心到弦AB的距离OC=2，
∴在Rt△AOC中，AC=OC=2，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠AOC=45°。
【答案】
$45°$
【知识点】
垂径定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，将圆的性质和直角三角形的性质结合考查，解题的关键是熟练运用垂径定理得到线段AC的长度。
【难度系数】
0.8
4 新情境 传统文化 [2025 南京]一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：mm）如图所示，这枚古钱币的半径为
13
mm.答案
4. 13
解析
【分析】
解题时首先抓住“正方形孔在圆形正中间”的隐含条件，可知圆心与正方形的中心重合。接下来结合图中标注的尺寸，找到圆上的一个特殊点：由正方形右下角顶点向右水平延伸7mm得到的点，该点在圆上。我们可以构造以圆心、该点、以及该点向过圆心的水平线作垂线的垂足为顶点的直角三角形，确定两条直角边的长度后，用勾股定理即可求出半径。
【解析】
解：设该古钱币的圆心为$O$，半径为$r\ \mathrm{mm}$。
∵正方形孔在圆的正中心，
∴圆心$O$与正方形的中心重合。
已知正方形边长为$10\ \mathrm{mm}$，因此正方形的右下角顶点到$O$的水平距离为$\frac{10}{2}=5\ \mathrm{mm}$，竖直距离也为$5\ \mathrm{mm}$。
由图可知，从该正方形右下角顶点向右水平移动$7\ \mathrm{mm}$后到达圆上的点$P$，因此点$P$到$O$的水平距离为$5+7=12\ \mathrm{mm}$，竖直距离为$5\ \mathrm{mm}$。
连接$OP$，$OP$即为圆的半径，在直角三角形中，根据勾股定理：
$r^2=12^2+5^2=144+25=169$
∵$r＞0$，
∴$r=\sqrt{169}=13$
【答案】
13
【知识点】
勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题结合古钱币的生活情境考查几何计算，解题的关键是发现圆心与正方形中心重合的特点，准确构造直角三角形找到各边长度，注重对知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住“正方形孔在圆形正中间”的隐含条件，可知圆心与正方形的中心重合。接下来结合图中标注的尺寸，找到圆上的一个特殊点：由正方形右下角顶点向右水平延伸7mm得到的点，该点在圆上。我们可以构造以圆心、该点、以及该点向过圆心的水平线作垂线的垂足为顶点的直角三角形，确定两条直角边的长度后，用勾股定理即可求出半径。
【解析】
解：设该古钱币的圆心为$O$，半径为$r\ \mathrm{mm}$。
∵正方形孔在圆的正中心，
∴圆心$O$与正方形的中心重合。
已知正方形边长为$10\ \mathrm{mm}$，因此正方形的右下角顶点到$O$的水平距离为$\frac{10}{2}=5\ \mathrm{mm}$，竖直距离也为$5\ \mathrm{mm}$。
由图可知，从该正方形右下角顶点向右水平移动$7\ \mathrm{mm}$后到达圆上的点$P$，因此点$P$到$O$的水平距离为$5+7=12\ \mathrm{mm}$，竖直距离为$5\ \mathrm{mm}$。
连接$OP$，$OP$即为圆的半径，在直角三角形中，根据勾股定理：
$r^2=12^2+5^2=144+25=169$
∵$r＞0$，
∴$r=\sqrt{169}=13$
【答案】
13
【知识点】
勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题结合古钱币的生活情境考查几何计算，解题的关键是发现圆心与正方形中心重合的特点，准确构造直角三角形找到各边长度，注重对知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
5 如图，AC是$\odot O$的直径，弦$BD⊥ AO$于点E，连接BC，过点O作$OF⊥ BC$于点F。若$BD=8\ \mathrm{cm}$，$AE=2\ \mathrm{cm}$，求$\odot O$的半径及OF的长。
答案
5. 连接OB.
∵ AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于点E，BD=8 cm，
∴ $BE=\frac{1}{2}BD=4$ cm. 设⊙O的半径为x cm，则OB=OA=x cm，
OE=(x-2)cm. 在Rt△OEB中，由勾股定理，得$OE^2+BE^2=OB^2$，
即$(x-2)^2+4^2=x^2$，解得x=5.
∴ ⊙O的半径为5 cm，
∴ EC=2×
5-2=8(cm)，
∴ 在Rt△BEC中，$BC=\sqrt{BE^2+EC^2}=\sqrt{4^2+8^2}=$
$4\sqrt{5}$(cm).
∵ $OF⊥BC$，OF过圆心，
∴ $CF=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{5}$ cm，
∴ 在
Rt△OFC中，$OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{5^2-(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{5}$(cm)
∵ AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于点E，BD=8 cm，
∴ $BE=\frac{1}{2}BD=4$ cm. 设⊙O的半径为x cm，则OB=OA=x cm，
OE=(x-2)cm. 在Rt△OEB中，由勾股定理，得$OE^2+BE^2=OB^2$，
即$(x-2)^2+4^2=x^2$，解得x=5.
∴ ⊙O的半径为5 cm，
∴ EC=2×
5-2=8(cm)，
∴ 在Rt△BEC中，$BC=\sqrt{BE^2+EC^2}=\sqrt{4^2+8^2}=$
$4\sqrt{5}$(cm).
∵ $OF⊥BC$，OF过圆心，
∴ $CF=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{5}$ cm，
∴ 在
Rt△OFC中，$OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{5^2-(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{5}$(cm)
解析
【分析】
解题分为两步：第一步求⊙O的半径，已知弦BD垂直直径AC，结合垂径定理先得到BE的长度，设半径为未知数，用含未知数的式子表示OE的长度，在Rt△OEB中利用勾股定理列方程即可求出半径；第二步求OF的长，先在Rt△BEC中用勾股定理算出BC的长度，再根据垂径定理得到CF为BC的一半，最后在Rt△OFC中用勾股定理计算OF的长度。
【解析】
解：连接OB，
∵ AC是$\odot O$的直径，弦$BD⊥ AO$于点E，$BD=8\ \mathrm{cm}$，
∴ 由垂径定理得$BE=\frac{1}{2}BD=4\ \mathrm{cm}$。
设$\odot O$的半径为$x\ \mathrm{cm}$，则$OB=OA=x\ \mathrm{cm}$，$OE=OA-AE=(x-2)\mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OEB$中，由勾股定理得$OE^2+BE^2=OB^2$，
代入得$(x-2)^2+4^2=x^2$，
展开化简得$-4x+20=0$，解得$x=5$，
∴ $\odot O$的半径为$5\ \mathrm{cm}$。
∴ $OC=5\ \mathrm{cm}$，$EC=AC-AE=2×5-2=8(\mathrm{cm})$，
在$\mathrm{Rt}△ BEC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BE^2+EC^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
∵ $OF⊥BC$且OF过圆心O，
∴ 由垂径定理得$CF=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OFC$中，由勾股定理得：
$OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{5^2-(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\odot O$的半径为$5\ \mathrm{cm}$，OF的长为$\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中线段计算的典型题型，核心是结合垂径定理构造直角三角形，再通过勾股定理完成计算，用方程思想求半径是圆内计算的常用方法，熟练掌握垂径定理的适用条件是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题分为两步：第一步求⊙O的半径，已知弦BD垂直直径AC，结合垂径定理先得到BE的长度，设半径为未知数，用含未知数的式子表示OE的长度，在Rt△OEB中利用勾股定理列方程即可求出半径；第二步求OF的长，先在Rt△BEC中用勾股定理算出BC的长度，再根据垂径定理得到CF为BC的一半，最后在Rt△OFC中用勾股定理计算OF的长度。
【解析】
解：连接OB，
∵ AC是$\odot O$的直径，弦$BD⊥ AO$于点E，$BD=8\ \mathrm{cm}$，
∴ 由垂径定理得$BE=\frac{1}{2}BD=4\ \mathrm{cm}$。
设$\odot O$的半径为$x\ \mathrm{cm}$，则$OB=OA=x\ \mathrm{cm}$，$OE=OA-AE=(x-2)\mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OEB$中，由勾股定理得$OE^2+BE^2=OB^2$，
代入得$(x-2)^2+4^2=x^2$，
展开化简得$-4x+20=0$，解得$x=5$，
∴ $\odot O$的半径为$5\ \mathrm{cm}$。
∴ $OC=5\ \mathrm{cm}$，$EC=AC-AE=2×5-2=8(\mathrm{cm})$，
在$\mathrm{Rt}△ BEC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BE^2+EC^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
∵ $OF⊥BC$且OF过圆心O，
∴ 由垂径定理得$CF=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OFC$中，由勾股定理得：
$OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{5^2-(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\odot O$的半径为$5\ \mathrm{cm}$，OF的长为$\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中线段计算的典型题型，核心是结合垂径定理构造直角三角形，再通过勾股定理完成计算，用方程思想求半径是圆内计算的常用方法，熟练掌握垂径定理的适用条件是解题的关键。
【难度系数】
0.7
6 如图，$\odot O$是锐角三角形$ABC$的外接圆，$OD ⊥ AB$，$OE ⊥ BC$，$OF ⊥ AC$，垂足分别为$D$，$E$，$F$，连接$DE$，$EF$，$FD$。若$DE + DF = 6.5$，$△ ABC$的周长为$21$，则$EF$的长为（
A.$8$
B.$4$
C.$3.5$
D.$3$
B
）A.$8$
B.$4$
C.$3.5$
D.$3$
答案
6. B
解析
【分析】
解题时先观察已知条件：O是三角形外接圆圆心，且OD、OE、OF分别垂直于△ABC的三边，首先联想垂径定理，可推出D、E、F分别是△ABC三边的中点，进而得到DE、EF、DF都是△ABC的中位线；再利用中位线等于第三边一半的性质，可知三条中位线的和是三角形周长的一半，结合已知的DE+DF的长度，即可求出EF的长。
【解析】
解：
∵⊙O是锐角△ABC的外接圆，O为圆心，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∴根据垂径定理可得：D是AB的中点，E是BC的中点，F是AC的中点，
∴DE、EF、DF均为△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理得：
$DE=\frac{1}{2}AC$，$DF=\frac{1}{2}BC$，$EF=\frac{1}{2}AB$，
∴$DE+DF+EF=\frac{1}{2}(AC+BC+AB)$，
∵△ABC的周长为21，即$AC+BC+AB=21$，
∴$DE+DF+EF=\frac{1}{2}×21=10.5$，
又
∵$DE+DF=6.5$，
∴$EF=10.5-6.5=4$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；三角形中位线定理；三角形周长计算
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础常考题，解题核心是通过垂径定理确定三角形三边中点，再利用中位线性质建立线段和与三角形周长的关系，重点考查学生对基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知条件：O是三角形外接圆圆心，且OD、OE、OF分别垂直于△ABC的三边，首先联想垂径定理，可推出D、E、F分别是△ABC三边的中点，进而得到DE、EF、DF都是△ABC的中位线；再利用中位线等于第三边一半的性质，可知三条中位线的和是三角形周长的一半，结合已知的DE+DF的长度，即可求出EF的长。
【解析】
解：
∵⊙O是锐角△ABC的外接圆，O为圆心，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∴根据垂径定理可得：D是AB的中点，E是BC的中点，F是AC的中点，
∴DE、EF、DF均为△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理得：
$DE=\frac{1}{2}AC$，$DF=\frac{1}{2}BC$，$EF=\frac{1}{2}AB$，
∴$DE+DF+EF=\frac{1}{2}(AC+BC+AB)$，
∵△ABC的周长为21，即$AC+BC+AB=21$，
∴$DE+DF+EF=\frac{1}{2}×21=10.5$，
又
∵$DE+DF=6.5$，
∴$EF=10.5-6.5=4$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；三角形中位线定理；三角形周长计算
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础常考题，解题核心是通过垂径定理确定三角形三边中点，再利用中位线性质建立线段和与三角形周长的关系，重点考查学生对基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
7 分类讨论思想 已知$\odot O$的直径$CD=10\ \mathrm{cm}$，$AB$是$\odot O$的弦，$AB=8\ \mathrm{cm}$，且$AB⊥ CD$，垂足为$M$，则$AC$的长为（
A.$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
B.$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
C.$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
D.$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
C
）A.$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
B.$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
C.$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
D.$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
答案
7. C
解析
【分析】
解题时先根据垂径定理求出弦AB被垂足M分成的线段长度，再结合圆的半径利用勾股定理求出OM的长度；接下来要注意垂足M的位置有两种可能：靠近点C或靠近点D，需分类讨论两种情况下CM的长度，最后再用勾股定理分别计算两种情况下AC的长度即可。
【解析】
连接OA，
∵$\odot O$的直径$CD=10\ \mathrm{cm}$，
∴半径$OA=OC=5\ \mathrm{cm}$。
∵$AB⊥ CD$，$AB=8\ \mathrm{cm}$，根据垂径定理可得：$AM=\frac{1}{2}AB=4\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAM$中，由勾股定理得：$OM=\sqrt{OA^2-AM^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
① 当M在线段OC上时，$CM=OC-OM=5-3=2\ \mathrm{cm}$，在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，$AC=\sqrt{AM^2+CM^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$；
② 当M在线段OD上时，$CM=OC+OM=5+3=8\ \mathrm{cm}$，在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，$AC=\sqrt{AM^2+CM^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
综上，$AC$的长为$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题是圆中求线段长的典型题型，解题核心是熟练运用垂径定理和勾股定理，易错点是容易忽略垂足位置的两种可能性导致漏解，解题时要结合图形全面分析所有可能情况。
【难度系数】
0.7
解题时先根据垂径定理求出弦AB被垂足M分成的线段长度，再结合圆的半径利用勾股定理求出OM的长度；接下来要注意垂足M的位置有两种可能：靠近点C或靠近点D，需分类讨论两种情况下CM的长度，最后再用勾股定理分别计算两种情况下AC的长度即可。
【解析】
连接OA，
∵$\odot O$的直径$CD=10\ \mathrm{cm}$，
∴半径$OA=OC=5\ \mathrm{cm}$。
∵$AB⊥ CD$，$AB=8\ \mathrm{cm}$，根据垂径定理可得：$AM=\frac{1}{2}AB=4\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAM$中，由勾股定理得：$OM=\sqrt{OA^2-AM^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
① 当M在线段OC上时，$CM=OC-OM=5-3=2\ \mathrm{cm}$，在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，$AC=\sqrt{AM^2+CM^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$；
② 当M在线段OD上时，$CM=OC+OM=5+3=8\ \mathrm{cm}$，在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，$AC=\sqrt{AM^2+CM^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
综上，$AC$的长为$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题是圆中求线段长的典型题型，解题核心是熟练运用垂径定理和勾股定理，易错点是容易忽略垂足位置的两种可能性导致漏解，解题时要结合图形全面分析所有可能情况。
【难度系数】
0.7
