21. 如图 J2-10 所示，两条直线 AB，CD 与直线 EF 相交，交点分别为 E，F，EM 平分$∠ AEF$，交 CD 于点 M，且$∠ FEM = ∠ EMF$.

图 J2-10
(1)求证: $AB// CD$.
(2)G 是射线 MD 上一动点(不与点 M，F 重合)，EH 平分$∠ FEG$，交 CD 于点 H，过点 H 作 $HN ⊥ EM$ 于点 N，设$∠ EHN=α$，$∠ EGF=β$.
①如图 J2-10②所示，当点 G 在点 F 的右侧时，若$β=50°$，求$α$的度数.
②点 G 在运动过程中，$α$ 和 $β$ 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论并说明理由.

21.(1)证明: $\because EM$ 平分$∠ AEF$,
$\therefore ∠ AEM=∠ FEM$.
$\because ∠ FEM=∠ EMF$,
$\therefore ∠ AEM=∠ EMF$,
$\therefore AB// CD$.
(2)解: ①$\because AB// CD$,
$\therefore ∠ AEG+∠ EGF=180°$.
$\because β=50°$,
$\therefore ∠ AEG=130°$.
$\because EH$ 平分$∠ FEG$, $EM$ 平分$∠ AEF$,
$\therefore ∠ HEF=\dfrac{1}{2}∠ FEG$, $∠ MEF=\dfrac{1}{2}∠ AEF$,
$\therefore ∠ MEH=\dfrac{1}{2}∠ AEG=65°$.
$\because HN⊥ ME$,
$\therefore ∠ HNE=90°$,
$\therefore ∠ EHN=180°-∠ HNE-∠ MEH=180°-90°-65°=25°$,
故 $α=25°$.
②$α=\dfrac{1}{2}β$ 或 $α=90°-\dfrac{1}{2}β$. 理由如下:
当点G在点F的右侧时, 如答图J2-3①,
$\because AB// CD$,
$\therefore ∠ AEG+∠ EGF=180°$.
$\because ∠ EGF=β$,
$\therefore ∠ AEG=180°-β$.
$\because EH$ 平分$∠ FEG$, $EM$ 平分$∠ AEF$,
$\therefore ∠ HEF=\dfrac{1}{2}∠ FEG$, $∠ MEF=\dfrac{1}{2}∠ AEF$,
$\therefore ∠ MEH=\dfrac{1}{2}∠ AEG=90°-\dfrac{1}{2}β$.
$\because HN⊥ ME$,
$\therefore ∠ HNE=90°$,
$\therefore ∠ EHN=180°-∠ HNE-∠ MEH=180°-90°-(90°-\dfrac{1}{2}β)=\dfrac{1}{2}β$,
故 $α=\dfrac{1}{2}β$.
当点G在点F的左侧时, 如答图J2-3②,
$\because AB// CD$, $\therefore ∠ AEG=∠ EGF$.
$\because ∠ EGF=β$, $\therefore ∠ AEG=β$.
$\because EH$ 平分$∠ FEG$, $EM$ 平分$∠ AEF$,
$\therefore ∠ HEF=\dfrac{1}{2}∠ FEG$, $∠ MEF=\dfrac{1}{2}∠ AEF$,
$\therefore ∠ MEH=∠ MEF-∠ HEF=\dfrac{1}{2}(∠ AEF-∠ FEG)=\dfrac{1}{2}∠ AEG=\dfrac{1}{2}β$.
$\because HN⊥ ME$, $\therefore ∠ HNE=90°$,
$\therefore ∠ EHN=180°-∠ HNE-∠ MEH=180°-90°-\dfrac{1}{2}β=90°-\dfrac{1}{2}β$,
故 $α=90°-\dfrac{1}{2}β$.
综上所述, $α=\dfrac{1}{2}β$ 或 $α=90°-\dfrac{1}{2}β$.

【分析】
(1) 要证明$AB// CD$，可通过证明内错角相等推导。已知$EM$平分$∠ AEF$，可得$∠ AEM=∠ FEM$，结合题目给出的$∠ FEM=∠ EMF$，可代换得到$∠ AEM=∠ EMF$，满足内错角相等，即可证得两直线平行。
(2) ① 首先利用(1)中得到的$AB// CD$，由平行线的同旁内角互补，结合$∠ EGF=50°$求出$∠ AEG$的度数；再根据角平分线的定义，可得$∠ MEH=\frac{1}{2}∠ AEG$，求出$∠ MEH$的度数；最后由$HN⊥ EM$得到$△ EHN$是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余即可求出$α$的度数。
② 需分两种情况讨论：当点$G$在点$F$右侧时，推导思路同①，用含$β$的代数式表示$α$即可；当点$G$在点$F$左侧时，利用平行线内错角相等得到$∠ AEG=β$，再结合角平分线的定义推出$∠ MEH=\frac{1}{2}β$，最后在直角$△ EHN$中推导$α$与$β$的关系，注意不要遗漏该种情况。
【解析】
(1)证明: $\because EM$ 平分$∠ AEF$,
$\therefore ∠ AEM=∠ FEM$.
$\because ∠ FEM=∠ EMF$,
$\therefore ∠ AEM=∠ EMF$,
$\therefore AB// CD$.
(2)解: ①$\because AB// CD$,
$\therefore ∠ AEG+∠ EGF=180°$.
$\because β=50°$,
$\therefore ∠ AEG=130°$.
$\because EH$ 平分$∠ FEG$, $EM$ 平分$∠ AEF$,
$\therefore ∠ HEF=\dfrac{1}{2}∠ FEG$, $∠ MEF=\dfrac{1}{2}∠ AEF$,
$\therefore ∠ MEH=\dfrac{1}{2}∠ AEG=65°$.
$\because HN⊥ ME$,
$\therefore ∠ HNE=90°$,
$\therefore ∠ EHN=180°-∠ HNE-∠ MEH=180°-90°-65°=25°$,
故 $α=25°$.
②$α=\dfrac{1}{2}β$ 或 $α=90°-\dfrac{1}{2}β$. 理由如下:
当点G在点F的右侧时, 如答图J2-3①,
$\because AB// CD$,
$\therefore ∠ AEG+∠ EGF=180°$.
$\because ∠ EGF=β$,
$\therefore ∠ AEG=180°-β$.
$\because EH$ 平分$∠ FEG$, $EM$ 平分$∠ AEF$,
$\therefore ∠ HEF=\dfrac{1}{2}∠ FEG$, $∠ MEF=\dfrac{1}{2}∠ AEF$,
$\therefore ∠ MEH=\dfrac{1}{2}∠ AEG=90°-\dfrac{1}{2}β$.
$\because HN⊥ ME$,
$\therefore ∠ HNE=90°$,
$\therefore ∠ EHN=180°-∠ HNE-∠ MEH=180°-90°-(90°-\dfrac{1}{2}β)=\dfrac{1}{2}β$,
故 $α=\dfrac{1}{2}β$.
当点G在点F的左侧时, 如答图J2-3②,
$\because AB// CD$, $\therefore ∠ AEG=∠ EGF$.
$\because ∠ EGF=β$, $\therefore ∠ AEG=β$.
$\because EH$ 平分$∠ FEG$, $EM$ 平分$∠ AEF$,
$\therefore ∠ HEF=\dfrac{1}{2}∠ FEG$, $∠ MEF=\dfrac{1}{2}∠ AEF$,
$\therefore ∠ MEH=∠ MEF-∠ HEF=\dfrac{1}{2}(∠ AEF-∠ FEG)=\dfrac{1}{2}∠ AEG=\dfrac{1}{2}β$.
$\because HN⊥ ME$, $\therefore ∠ HNE=90°$,
$\therefore ∠ EHN=180°-∠ HNE-∠ MEH=180°-90°-\dfrac{1}{2}β=90°-\dfrac{1}{2}β$,
故 $α=90°-\dfrac{1}{2}β$.
综上所述, $α=\dfrac{1}{2}β$ 或 $α=90°-\dfrac{1}{2}β$.
【答案】
(1) $AB// CD$，证明成立；
(2) ① $\boldsymbol{α=25°}$；
② $\boldsymbol{α=\dfrac{1}{2}β}$（点$G$在$F$右侧）或$\boldsymbol{α=90°-\dfrac{1}{2}β}$（点$G$在$F$左侧），对应参考图：


【知识点】
平行线的判定与性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查了平行线、角平分线与三角形内角和的相关知识，解题时要注意结合图形梳理角之间的和差关系，涉及动点问题时需分类讨论，避免因考虑不全面导致漏解。
【难度系数】
0.6