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10. 已知 a,b 都是有理数,若$|a+1|+(b-2023)^{2}=0$,则$a^{b}=$
-1
.答案
10.-1
解析
【分析】首先利用绝对值和平方数的非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数都必须为0，据此求出a、b的值，再代入计算a的b次方即可。
【解析】因为绝对值具有非负性，即|a+1|≥0；平方数也具有非负性，即(b-2023)²≥0。已知两者的和为0，所以只能满足：
|a+1|=0，解得a+1=0，即a=-1；
(b-2023)²=0，解得b-2023=0，即b=2023。
将a=-1，b=2023代入a^b，得：$(-1)^2023=-1（2023$是奇数，负数的奇次幂为负数）。
【答案】-1
【知识点】非负数的性质、有理数的乘方
【点评】本题考查非负数的性质与有理数乘方的基础运算，核心是利用“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”这一性质求解，属于初中数学基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】因为绝对值具有非负性，即|a+1|≥0；平方数也具有非负性，即(b-2023)²≥0。已知两者的和为0，所以只能满足：
|a+1|=0，解得a+1=0，即a=-1；
(b-2023)²=0，解得b-2023=0，即b=2023。
将a=-1，b=2023代入a^b，得：$(-1)^2023=-1（2023$是奇数，负数的奇次幂为负数）。
【答案】-1
【知识点】非负数的性质、有理数的乘方
【点评】本题考查非负数的性质与有理数乘方的基础运算，核心是利用“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”这一性质求解，属于初中数学基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
11.计算：
(1)$-2^{3}+(-3)^{2}$;
(2)$(-4)^{2}+1^{2023}$;
(3)$-(-3)^{2}×(-2)^{3}$;
(4)$-1^{3}-3×(-1)^{3}$;
(5)$-|-3|^{2}+(-3)^{2}$;
(6)$-2^{2}-2^{3}-(-3^{2})+(-2)^{3}$.
(1)$-2^{3}+(-3)^{2}$;
(2)$(-4)^{2}+1^{2023}$;
(3)$-(-3)^{2}×(-2)^{3}$;
(4)$-1^{3}-3×(-1)^{3}$;
(5)$-|-3|^{2}+(-3)^{2}$;
(6)$-2^{2}-2^{3}-(-3^{2})+(-2)^{3}$.
答案
11.(1)1 (2)17 (3)72 (4)2 (5)0 (6)-11
解析
【分析】
本题为有理数混合运算题，解题思路是：遵循“先乘方，再加减，有括号先算括号内”的运算顺序，重点区分$-a^n$与$(-a)^n$的符号差异，明确绝对值的运算规则，逐步计算每道小题，避免符号和运算顺序错误。
【解析】
(1) 先计算乘方：$-2^3 = - (2×2×2) = -8$，$(-3)^2 = (-3)×(-3) = 9$，再算加减：$-8 + 9 = 1$；
(2) 计算乘方：$(-4)^2 = (-4)×(-4) = 16$，$1^{2023} = 1$，再算加减：$16 + 1 = 17$；
(3) 计算乘方：$-(-3)^2 = - (9) = -9$，$(-2)^3 = (-2)×(-2)×(-2) = -8$，再算乘法：$-9 × (-8) = 72$；
(4) 计算乘方：$-1^3 = -1$，$(-1)^3 = -1$，再算乘法和加减：$-1 - 3×(-1) = -1 + 3 = 2$；
(5) 计算绝对值和乘方：$-|-3|^2 = - (3^2) = -9$，$(-3)^2 = 9$，再算加减：$-9 + 9 = 0$；
(6) 计算各乘方：$-2^2 = -4$，$-2^3 = -8$，$-(-3^2) = -(-9) = 9$，$(-2)^3 = -8$，再算加减：$-4 - 8 + 9 - 8 = -11$；
【答案】
11.(1)1 (2)17 (3)72 (4)2 (5)0 (6)-11
【知识点】
有理数的乘方、有理数的混合运算、绝对值
【点评】
本题考查有理数的基础运算，核心是掌握运算顺序及符号规则，需注意区分$-a^n$与$(-a)^n$的不同，是学生需熟练掌握的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题为有理数混合运算题，解题思路是：遵循“先乘方，再加减，有括号先算括号内”的运算顺序，重点区分$-a^n$与$(-a)^n$的符号差异，明确绝对值的运算规则，逐步计算每道小题，避免符号和运算顺序错误。
【解析】
(1) 先计算乘方：$-2^3 = - (2×2×2) = -8$，$(-3)^2 = (-3)×(-3) = 9$，再算加减：$-8 + 9 = 1$；
(2) 计算乘方：$(-4)^2 = (-4)×(-4) = 16$，$1^{2023} = 1$，再算加减：$16 + 1 = 17$；
(3) 计算乘方：$-(-3)^2 = - (9) = -9$，$(-2)^3 = (-2)×(-2)×(-2) = -8$，再算乘法：$-9 × (-8) = 72$；
(4) 计算乘方：$-1^3 = -1$，$(-1)^3 = -1$，再算乘法和加减：$-1 - 3×(-1) = -1 + 3 = 2$；
(5) 计算绝对值和乘方：$-|-3|^2 = - (3^2) = -9$，$(-3)^2 = 9$，再算加减：$-9 + 9 = 0$；
(6) 计算各乘方：$-2^2 = -4$，$-2^3 = -8$，$-(-3^2) = -(-9) = 9$，$(-2)^3 = -8$，再算加减：$-4 - 8 + 9 - 8 = -11$；
【答案】
11.(1)1 (2)17 (3)72 (4)2 (5)0 (6)-11
【知识点】
有理数的乘方、有理数的混合运算、绝对值
【点评】
本题考查有理数的基础运算，核心是掌握运算顺序及符号规则，需注意区分$-a^n$与$(-a)^n$的不同，是学生需熟练掌握的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
12. 由乘方的意义可知 $(-2) × (-2) × (-2) = (-2)^3$，反过来，$(-2)^3 = (-2) × (-2) × (-2)$.
试利用乘方的意义和乘法运算律计算：
(1) $(1\dfrac{3}{4})^5 × (-\dfrac{4}{7})^5$；
(2) $2024^{999} × (-\dfrac{1}{2024})^{1000}$.
试利用乘方的意义和乘法运算律计算：
(1) $(1\dfrac{3}{4})^5 × (-\dfrac{4}{7})^5$；
(2) $2024^{999} × (-\dfrac{1}{2024})^{1000}$.
答案
12.解:(1)原式=$(\dfrac{7}{4})^{5}×(-\dfrac{4}{7})^{5}=[\dfrac{7}{4}×(-\dfrac{4}{7})]^{5}=$$(-1)^{5}=-1$.
(2) 原式 = $2024^{999} × (-\dfrac{1}{2024})^{999} × (-\dfrac{1}{2024})=$$[2024×(-\dfrac{1}{2024})]^{999} × (-\dfrac{1}{2024})=(-1)^{999} ×(-\dfrac{1}{2024})=(-1)×(-\dfrac{1}{2024})=\dfrac{1}{2024}$.
(2) 原式 = $2024^{999} × (-\dfrac{1}{2024})^{999} × (-\dfrac{1}{2024})=$$[2024×(-\dfrac{1}{2024})]^{999} × (-\dfrac{1}{2024})=(-1)^{999} ×(-\dfrac{1}{2024})=(-1)×(-\dfrac{1}{2024})=\dfrac{1}{2024}$.
解析
【分析】
本题主要考查乘方的意义及积的乘方的逆运算，解题思路是：对于同指数的幂相乘，逆用积的乘方公式$a^n · b^n = (a · b)^n$简化计算；若指数不同，先将高指数拆分为与低指数相同的部分加剩余部分，再逆用公式。计算时先把带分数化为假分数，凑出乘积为-1的组合后再计算结果。
【解析】
(1) 先将带分数$1\dfrac{3}{4}$化为假分数$\dfrac{7}{4}$，再逆用积的乘方运算律：
原式$=(\dfrac{7}{4})^5 × (-\dfrac{4}{7})^5 = [\dfrac{7}{4} × (-\dfrac{4}{7})]^5 = (-1)^5 = -1$；
(2) 先将$(-\dfrac{1}{2024})^{1000}$拆分为$(-\dfrac{1}{2024})^{999} × (-\dfrac{1}{2024})$，再逆用积的乘方运算律：
原式$=2024^{999} × (-\dfrac{1}{2024})^{999} × (-\dfrac{1}{2024}) = [2024 × (-\dfrac{1}{2024})]^{999} × (-\dfrac{1}{2024}) = (-1)^{999} × (-\dfrac{1}{2024}) = (-1) × (-\dfrac{1}{2024}) = \dfrac{1}{2024}$。
【答案】
(1) $-1$；(2) $\dfrac{1}{2024}$
【知识点】
积的乘方逆运算、乘方的意义、有理数乘法
【点评】
本题通过逆用积的乘方公式简化幂的乘法运算，核心是观察指数特征，灵活拆分或组合幂的形式，属于有理数乘方运算的基础应用，需熟练掌握运算律的逆用技巧。
【难度系数】
0.6
本题主要考查乘方的意义及积的乘方的逆运算，解题思路是：对于同指数的幂相乘，逆用积的乘方公式$a^n · b^n = (a · b)^n$简化计算；若指数不同，先将高指数拆分为与低指数相同的部分加剩余部分，再逆用公式。计算时先把带分数化为假分数，凑出乘积为-1的组合后再计算结果。
【解析】
(1) 先将带分数$1\dfrac{3}{4}$化为假分数$\dfrac{7}{4}$，再逆用积的乘方运算律：
原式$=(\dfrac{7}{4})^5 × (-\dfrac{4}{7})^5 = [\dfrac{7}{4} × (-\dfrac{4}{7})]^5 = (-1)^5 = -1$；
(2) 先将$(-\dfrac{1}{2024})^{1000}$拆分为$(-\dfrac{1}{2024})^{999} × (-\dfrac{1}{2024})$，再逆用积的乘方运算律：
原式$=2024^{999} × (-\dfrac{1}{2024})^{999} × (-\dfrac{1}{2024}) = [2024 × (-\dfrac{1}{2024})]^{999} × (-\dfrac{1}{2024}) = (-1)^{999} × (-\dfrac{1}{2024}) = (-1) × (-\dfrac{1}{2024}) = \dfrac{1}{2024}$。
【答案】
(1) $-1$；(2) $\dfrac{1}{2024}$
【知识点】
积的乘方逆运算、乘方的意义、有理数乘法
【点评】
本题通过逆用积的乘方公式简化幂的乘法运算，核心是观察指数特征，灵活拆分或组合幂的形式，属于有理数乘方运算的基础应用，需熟练掌握运算律的逆用技巧。
【难度系数】
0.6
13. 类比有理数的乘方，我们把求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫作除方，记作$a^{\circledR n}$，读作“$a$的圈$n$次方”.如$2÷2÷2$记作$2^{\circledR 3}$，读作“2的圈3次方”；$(-3)÷(-3)÷(-3)÷$$(-3)$记作$(-3)^{\circledR 4}$，读作“$-3$的圈4次方”.
(1)直接写出计算结果：$2^{\circledR 3}=$
(2)除方也可以转化为幂的形式，如$2^{\circledR 4}=2÷2÷2÷2=2×\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}=(\dfrac{1}{2})^{2}$.试将下列运算结果直接写成幂的形式：$(-3)^{\circledR 4}=$
(3)计算：$2^{2}×(-\dfrac{1}{3})^{\circledR 4}÷(-2)^{\circledR 3}-(-3)^{\circledR 2}$.
(1)直接写出计算结果：$2^{\circledR 3}=$
$\dfrac{1}{2}$
；$(-\dfrac{1}{2})^{\circledR 4}=$4
；(2)除方也可以转化为幂的形式，如$2^{\circledR 4}=2÷2÷2÷2=2×\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}=(\dfrac{1}{2})^{2}$.试将下列运算结果直接写成幂的形式：$(-3)^{\circledR 4}=$
$(-\dfrac{1}{3})^{2}$
；$(\dfrac{1}{2})^{\circledR 10}=$$2^{8}$
；$a^{\circledR n}=$$(\dfrac{1}{a})^{n-2}$
；(3)计算：$2^{2}×(-\dfrac{1}{3})^{\circledR 4}÷(-2)^{\circledR 3}-(-3)^{\circledR 2}$.
答案
13.(1)$\dfrac{1}{2}$ 4 (2)$(-\dfrac{1}{3})^{2}$ $2^{8}$ $(\dfrac{1}{a})^{n-2}$
(3)解:原式=$2^{2}×(-3)^{2}÷(-\dfrac{1}{2})-[(-3)÷(-3)]$
$=4×9×(-2)-1$
$=-72-1$
$=-73$.
(3)解:原式=$2^{2}×(-3)^{2}÷(-\dfrac{1}{2})-[(-3)÷(-3)]$
$=4×9×(-2)-1$
$=-72-1$
$=-73$.
解析
【分析】首先明确“除方”的定义：若干个相同的非零有理数连续相除，记作$a^{\circledR n}$，读作“$a$的圈$n$次方”。解题思路：(1)直接根据除方的定义进行除法运算；(2)将除方转化为乘法，利用倒数的性质转化为幂的形式，推导一般规律；(3)先把每个除方运算转化为对应的幂，再按照有理数四则运算顺序（先乘除后加减，同级运算从左到右）计算，注意符号的处理。
【解析】
(1) 根据除方定义计算：
$2^{\circledR 3}=2÷2÷2=\frac{1}{2}$；
$(-\frac{1}{2})^{\circledR 4}=(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})=1÷(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})=(-2)÷(-\frac{1}{2})=4$；
(2) 将除方转化为幂的形式：
$(-3)^{\circledR 4}=(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)=(-3)×\frac{1}{(-3)}×\frac{1}{(-3)}×\frac{1}{(-3)}=(-\frac{1}{3})^{2}$；
$(\frac{1}{2})^{\circledR 10}=\frac{1}{2}÷\frac{1}{2}÷…÷\frac{1}{2}$（共10个$\frac{1}{2}$）$=(\frac{1}{\frac{1}{2}})^{10-2}=2^{8}$；
一般地，$a^{\circledR n}=a÷a÷…÷a$（$n$个$a$，$a≠0$）$=a×(\frac{1}{a})^{n-1}=(\frac{1}{a})^{n-2}$；
(3) 计算：
原式$=2^{2}×(-\frac{1}{3})^{\circledR 4}÷(-2)^{\circledR 3}-(-3)^{\circledR 2}$
先转化除方：
$(-\frac{1}{3})^{\circledR 4}=(-\frac{1}{3})÷(-\frac{1}{3})÷(-\frac{1}{3})÷(-\frac{1}{3})=(-3)^{2}$；
$(-2)^{\circledR 3}=(-2)÷(-2)÷(-2)=-\frac{1}{2}$；
$(-3)^{\circledR 2}=(-3)÷(-3)=1$；
代入原式计算：
$=4×(-3)^{2}÷(-\frac{1}{2}) -1$
$=4×9×(-2)-1$
$=36×(-2)-1$
$=-72 -1=-73$；
【答案】
(1)$\frac{1}{2}$；$4$
(2)$(-\frac{1}{3})^{2}$；$2^{8}$；$(\frac{1}{a})^{n-2}$
(3)$-73$
【知识点】
有理数的除法、幂的运算、新定义运算
【点评】
本题为新定义运算题，核心是理解“除方”的定义，掌握除方转化为幂的方法，运算时需遵循有理数四则运算顺序，注意符号处理，主要考察学生的阅读理解与转化能力，难度适中。
【难度系数】
0.7
【解析】
(1) 根据除方定义计算：
$2^{\circledR 3}=2÷2÷2=\frac{1}{2}$；
$(-\frac{1}{2})^{\circledR 4}=(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})=1÷(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})=(-2)÷(-\frac{1}{2})=4$；
(2) 将除方转化为幂的形式：
$(-3)^{\circledR 4}=(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)=(-3)×\frac{1}{(-3)}×\frac{1}{(-3)}×\frac{1}{(-3)}=(-\frac{1}{3})^{2}$；
$(\frac{1}{2})^{\circledR 10}=\frac{1}{2}÷\frac{1}{2}÷…÷\frac{1}{2}$（共10个$\frac{1}{2}$）$=(\frac{1}{\frac{1}{2}})^{10-2}=2^{8}$；
一般地，$a^{\circledR n}=a÷a÷…÷a$（$n$个$a$，$a≠0$）$=a×(\frac{1}{a})^{n-1}=(\frac{1}{a})^{n-2}$；
(3) 计算：
原式$=2^{2}×(-\frac{1}{3})^{\circledR 4}÷(-2)^{\circledR 3}-(-3)^{\circledR 2}$
先转化除方：
$(-\frac{1}{3})^{\circledR 4}=(-\frac{1}{3})÷(-\frac{1}{3})÷(-\frac{1}{3})÷(-\frac{1}{3})=(-3)^{2}$；
$(-2)^{\circledR 3}=(-2)÷(-2)÷(-2)=-\frac{1}{2}$；
$(-3)^{\circledR 2}=(-3)÷(-3)=1$；
代入原式计算：
$=4×(-3)^{2}÷(-\frac{1}{2}) -1$
$=4×9×(-2)-1$
$=36×(-2)-1$
$=-72 -1=-73$；
【答案】
(1)$\frac{1}{2}$；$4$
(2)$(-\frac{1}{3})^{2}$；$2^{8}$；$(\frac{1}{a})^{n-2}$
(3)$-73$
【知识点】
有理数的除法、幂的运算、新定义运算
【点评】
本题为新定义运算题，核心是理解“除方”的定义，掌握除方转化为幂的方法，运算时需遵循有理数四则运算顺序，注意符号处理，主要考察学生的阅读理解与转化能力，难度适中。
【难度系数】
0.7
