1. (2024·滨海县期末)下列可以表示$7^{a}$的是（）

A.$\overbrace{a+a+a+\dots +a}^{7个a}$
B.$\overbrace{a× a× a× \dots × a}^{7个a}$
C.$\overbrace{7+7+7+\dots +7}^{a个7}$
D.$\overbrace{7× 7× 7× \dots × 7}^{a个7}$

1.D

【分析】
要解决这道题，需先明确乘方的定义：n个相同因数a相乘，记作$a^n$，即$a^n$表示n个a相乘。接下来逐个分析选项对应的表达式，与$7^a$对比即可得出答案。
【解析】
根据乘方的定义：
选项A：$\overbrace{a+a+a+\dots +a}^{7个a}$是7个a相加，结果为$7a$，不是$7^a$，排除；
选项B：$\overbrace{a× a× a× \dots × a}^{7个a}$是7个a相乘，结果为$a^7$，不是$7^a$，排除；
选项C：$\overbrace{7+7+7+\dots +7}^{a个7}$是a个7相加，结果为$7a$，不是$7^a$，排除；
选项D：$\overbrace{7× 7× 7× \dots × 7}^{a个7}$是a个7相乘，根据乘方定义，结果为$7^a$，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
乘方的意义
【点评】
本题考查乘方的基本概念，核心是区分“相同因数的个数”和“因数本身”，以及加法与乘法的运算意义，属于基础概念题，难度较低。
【难度系数】
0.8

2. 若一个数的立方为$-27$，则这个数是（）

A.$-3$
B.$3$
C.$\pm3$
D.$-9$

2.A

【分析】首先明确解题思路：根据立方根的定义，若一个数的立方等于a，这个数就是a的立方根。本题需要找到满足立方为-27的数，只需计算各选项对应数的立方，对比结果即可选出正确答案。
【解析】设这个数为x，根据题意得x³=-27。分别计算各选项中数的立方：(-3)³=-27，3³=27，(-9)³=-729，因此只有-3的立方为-27，对应选项A。
【答案】A
【知识点】立方根的概念
【点评】本题是基础题，直接考察立方根的基本定义，通过简单计算即可得出答案，侧重对基础知识的掌握。
【难度系数】0.9

3. 在$-2^{4}$中，底数是，指数是，计算结果是。

3.2 4 -16

【分析】要解决本题，需明确乘方的概念，重点区分$-a^n$与$(-a)^n$的底数差异：$-a^n$表示$a^n$的相反数，底数是$a$而非$-a$，指数为$n$，据此可确定底数、指数并计算结果。
【解析】对于$-2^4$，根据乘方定义，底数是2，指数是4；计算时先算$2^4=16$，再取其相反数，即$-16$。
【答案】2 4 -16
【知识点】有理数的乘方
【点评】本题考查有理数乘方的基础概念，核心是明确不带括号的负号与乘方的运算顺序，避免因概念混淆出错，属于易混淆的基础题。
【难度系数】0.5

4. $(-3)^{5}$ 的意义是.

4.5个-3相乘

【分析】首先回忆乘方的定义：求n个相同因数乘积的运算叫做乘方，记作$a^n$，其中$a$是底数，$n$是指数，$a^n$的意义就是n个$a$相乘。本题中$(-3)^5$的底数是$-3$，指数是$5$，因此对应意义是5个$-3$相乘。
【解析】根据乘方的意义，$(-3)^5$中，底数为$-3$，指数为$5$，它表示5个$-3$相乘。
【答案】5个-3相乘
【知识点】有理数的乘方意义
【点评】本题考查有理数乘方的基本概念，属于基础题，准确理解乘方的定义即可正确作答。
【难度系数】0.8

5.计算：
(1)$-0.3^{2}$；
(2)$(-\dfrac{4}{3})^{3}$；
(3)$-\dfrac{2^{2}}{3}$；
(4)$-(-2)^{6}$；
(5)$(-3)^{2}×(-\dfrac{1}{2})^{3}$；
(6)$(-1)^{2024}+(-1)^{2025}$。

5.(1)$-0.09$ (2)$-\dfrac{64}{27}$ (3)$-\dfrac{4}{3}$ (4)$-64$ (5)$-\dfrac{9}{8}$ (6)0

【分析】
本题考查有理数的乘方运算，解题关键是明确乘方运算中符号的确定规则：负数的偶次幂为正，奇次幂为负；不带括号的负号表示乘方结果的相反数；混合运算需先算乘方，再算乘除，最后算加减。需注意区分底数是否带括号，避免符号错误。
【解析】
(1) 先计算乘方：$0.3^2 = 0.09$，再添加负号，得$-0.3^2 = -0.09$；
(2) 底数为$-\frac{4}{3}$，指数为3（奇数），结果为负，计算得：$(-\frac{4}{3})^3 = -(\frac{4^3}{3^3}) = -\frac{64}{27}$；
(3) 先计算分子的乘方：$2^2 = 4$，再添加负号，得$-\frac{2^2}{3} = -\frac{4}{3}$；
(4) 先计算$(-2)^6$（指数为偶数，结果为正）：$(-2)^6 = 2^6 = 64$，再添加负号，得$-(-2)^6 = -64$；
(5) 先算乘方：$(-3)^2 = 9$，$(-\frac{1}{2})^3 = -\frac{1}{8}$，再算乘法：$9×(-\frac{1}{8}) = -\frac{9}{8}$；
(6) 根据$-1$的幂的规律：偶次幂为1，奇次幂为-1，得$(-1)^{2024}=1$，$(-1)^{2025}=-1$，相加得：$1 + (-1) = 0$。
【答案】
(1)$-0.09$；(2)$-\dfrac{64}{27}$；(3)$-\dfrac{4}{3}$；(4)$-64$；(5)$-\dfrac{9}{8}$；(6)$0$
【知识点】
有理数的乘方，有理数的混合运算
【点评】
本题是有理数乘方的基础运算题，核心是掌握乘方的符号规则，易错点在于区分“负号是否在底数括号内”，需仔细判断符号后再计算，整体难度较低。
【难度系数】
0.7

6.1米长的小棒，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，…，如此下去，第6次后剩下的小棒长为（）

A.$\dfrac{1}{12}$米
B.$\dfrac{1}{32}$米
C.$\dfrac{1}{64}$米
D.$\dfrac{1}{128}$米

6.C

【分析】
这道题的解题思路是：每次截去小棒的一半，意味着剩余长度是前一次的$\frac{1}{2}$，属于乘方规律的应用。先明确第$k$次截完后剩余长度的表达式，再代入第6次计算，最后匹配选项即可。
【解析】
初始小棒长度为1米。
第1次截去一半后，剩余长度：$1×\frac{1}{2}$米；
第2次截去剩下的一半后，剩余长度：$1×(\frac{1}{2})^2$米；
……
由此可得规律：第$n$次截完后，剩余长度为$1×(\frac{1}{2})^n$米。
当$n=6$时，剩余长度为$(\frac{1}{2})^6=\frac{1}{64}$米，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
有理数的乘方、规律探究
【点评】
本题是基础的规律探究题，结合乘方运算即可快速求解，考查学生对乘方意义的理解与应用能力。
【难度系数】
0.8

7. 下列各组数中，相等的是（）

A.$2^{3}$和$3^{2}$
B.$(-3)^{3}$和$-3^{3}$
C.$(-3)^{2}$和$-3^{2}$
D.$-(-2)$和$-|-2|$

7.B

【分析】
要判断各组数是否相等，需分别计算每个选项中两个数的结果，再对比结果。根据有理数乘方、相反数、绝对值的运算法则，逐个计算选项A到D中的两个数，最终选出相等的一组。
【解析】
对各选项分别计算：
选项A：$2^3 = 2×2×2 = 8$，$3^2 = 3×3 = 9$，$8≠9$，不相等；
选项B：$(-3)^3 = (-3)×(-3)×(-3) = -27$，$-3^3 = -(3×3×3) = -27$，两者相等；
选项C：$(-3)^2 = (-3)×(-3) = 9$，$-3^2 = -(3×3) = -9$，$9≠-9$，不相等；
选项D：$-(-2) = 2$，$-|-2| = -2$，$2≠-2$，不相等；
综上，相等的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
有理数的乘方、相反数、绝对值
【点评】
本题考查有理数的基础运算，涉及乘方、相反数、绝对值的计算，属于基础题型，需注意区分带括号与不带括号的乘方运算，避免符号错误。
【难度系数】
0.8

8.(2024·东台月考)计算$(-1)^{n}+(-1)^{n+1}$(其中$n$是正整数)的结果是（）

A.$-1^{2n+1}$
B.$1$
C.$-1$
D.$0$

8.D

【分析】
本题考查负数的幂的运算，已知n是正整数，可利用同底数幂的性质将(-1)^(n+1)转化为(-1)^n·(-1)，再通过提取公因式化简式子，或分n为奇数、偶数两种情况讨论，均可得出结果。
【解析】
因为n是正整数，根据同底数幂的乘法法则：a^(m+n)=a^m·a^n，可得(-1)^(n+1)=(-1)^n·(-1)。
则原式=(-1)^n + (-1)^n·(-1) = (-1)^n·(1 - 1) = (-1)^n·0 = 0。
【答案】
D
【知识点】
有理数的乘方，代数式化简
【点评】
本题属于基础题，主要考查负数的幂的性质，通过提取公因式的方法可快速化简求解，思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8

9.(1)平方等于本身的数是，立方等于本身的数是；

9.(1)1或0 ±1或0

【分析】
要确定平方、立方等于本身的数，可结合乘方的意义，计算0、1、-1等特殊数的平方和立方，判断结果是否等于原数，从而得出答案。
【解析】
1. 平方等于本身的数：
根据平方的定义，计算特殊数的平方：$0^2 = 0$，$1^2 = 1$，$(-1)^2 = 1$，其他数的平方均不等于自身，因此平方等于本身的数是1或0。
2. 立方等于本身的数：
根据立方的定义，计算特殊数的立方：$0^3 = 0$，$1^3 = 1$，$(-1)^3 = -1$，其他数的立方均不等于自身，因此立方等于本身的数是±1或0。
【答案】
1或0；±1或0
【知识点】
有理数的乘方
【点评】
本题考查有理数乘方的基础知识点，需牢记特殊数的乘方结果，属于基础题型，难度不大。
【难度系数】
0.7

(2)已知$x^{2}=9,y^{3}=-27$,则$x-y$的值为.

9.(2)6或0

【分析】
要解决这个问题，需先根据平方根和立方根的定义求出x、y的所有可能值，再分情况代入代数式计算，注意平方根有两个取值，立方根只有一个取值，需分类讨论避免漏解。
【解析】
1. 求x的取值：因为$x^2=9$，根据平方根的定义，满足该等式的x为$\pm3$，即$x=3$或$x=-3$。
2. 求y的取值：因为$y^3=-27$，根据立方根的定义，满足该等式的y只有一个值，即$y=-3$。
3. 分情况计算$x-y$：
当$x=3$，$y=-3$时，$x-y=3 - (-3)=6$；
当$x=-3$，$y=-3$时，$x-y=-3 - (-3)=0$。
综上，$x-y$的值为6或0。
【答案】
6或0
【知识点】
平方根、立方根、代数式求值
【点评】
本题考查平方根与立方根的基本运算，核心是明确平方根有两个互为相反数的结果，立方根唯一，需分类讨论所有可能情况，避免漏解，属于基础易错题。
【难度系数】
0.5