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【典例1】$\frac{2x}{x^2 -1} - \frac{1}{x+1}$
答案
解:原式$=\frac{2x-(x-1)}{x^2-1}=\frac{x+1}{x^2-1}=\frac{1}{x-1}$。
解析
【分析】
本题是异分母分式的减法运算，解题思路如下：第一步先对分母因式分解找最简公分母：第一个分式的分母$x^2-1$符合平方差公式，可分解为$(x+1)(x-1)$，因此两个分式的最简公分母为$x^2-1$；第二步将异分母分式通分为同分母分式，把第二个分式的分子、分母同乘$(x-1)$，使它的分母变为$x^2-1$；第三步按照同分母分式减法法则，分母不变，分子相减，计算分子时要注意去括号的符号变化；第四步对得到的分式约分，化为最简分式即可。
【解析】
解：先利用平方差公式因式分解分母，得$x^2-1=(x+1)(x-1)$，因此最简公分母为$x^2-1$。
将第二个分式通分：$\frac{1}{x+1}=\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}=\frac{x-1}{x^2-1}$，
则原式$=\frac{2x}{x^2 -1} - \frac{x-1}{x^2-1}=\frac{2x-(x-1)}{x^2-1}$，
计算分子：$2x-(x-1)=2x-x+1=x+1$，
因此原式$=\frac{x+1}{x^2-1}=\frac{x+1}{(x+1)(x-1)}$，
约去分子分母的公因式$x+1$（$x≠-1$），得$\frac{1}{x-1}$。
【答案】
$\frac{1}{x-1}$
【知识点】
分式的加减运算、平方差公式、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查异分母分式减法的计算流程，解题时要注意通分的正确性，以及去括号时的符号变化，最终结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.8
本题是异分母分式的减法运算，解题思路如下：第一步先对分母因式分解找最简公分母：第一个分式的分母$x^2-1$符合平方差公式，可分解为$(x+1)(x-1)$，因此两个分式的最简公分母为$x^2-1$；第二步将异分母分式通分为同分母分式，把第二个分式的分子、分母同乘$(x-1)$，使它的分母变为$x^2-1$；第三步按照同分母分式减法法则，分母不变，分子相减，计算分子时要注意去括号的符号变化；第四步对得到的分式约分，化为最简分式即可。
【解析】
解：先利用平方差公式因式分解分母，得$x^2-1=(x+1)(x-1)$，因此最简公分母为$x^2-1$。
将第二个分式通分：$\frac{1}{x+1}=\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}=\frac{x-1}{x^2-1}$，
则原式$=\frac{2x}{x^2 -1} - \frac{x-1}{x^2-1}=\frac{2x-(x-1)}{x^2-1}$，
计算分子：$2x-(x-1)=2x-x+1=x+1$，
因此原式$=\frac{x+1}{x^2-1}=\frac{x+1}{(x+1)(x-1)}$，
约去分子分母的公因式$x+1$（$x≠-1$），得$\frac{1}{x-1}$。
【答案】
$\frac{1}{x-1}$
【知识点】
分式的加减运算、平方差公式、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查异分母分式减法的计算流程，解题时要注意通分的正确性，以及去括号时的符号变化，最终结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.8
变式.(1)$\frac{a^2 + 2ab + b^2}{a^2 - b^2} - \frac{b}{a - b} =$
(2)$\frac{2a}{a^2 - 4} - \frac{1}{a - 2} =$
$\frac{a}{a-b}$
.(2)$\frac{2a}{a^2 - 4} - \frac{1}{a - 2} =$
$\frac{1}{a+2}$
.答案
(1)$\frac{a}{a-b}$ (2)$\frac{1}{a+2}$
解析
【分析】
这两道题均属于分式减法运算，解题遵循分式加减的通用思路：①先对各分式的分子、分母因式分解，能约分的先约分，简化运算量；②判断分母是否相同，异分母分式需先通分转化为同分母分式，同分母分式相减时分母不变、分子相减；③对运算结果的分子、分母再次因式分解，约分为最简分式，计算时注意去括号的符号规则，避免符号错误。
【解析】
(1) 先对第一个分式的分子、分母因式分解：
原式=$\frac{(a+b)^2}{(a+b)(a-b)} - \frac{b}{a-b}$
约分后得到同分母分式相减：
=$\frac{a+b}{a-b} - \frac{b}{a-b}$
分母不变，分子相减并化简：
=$\frac{(a+b)-b}{a-b}=\frac{a}{a-b}$
(2) 先对分母因式分解，确定最简公分母为$(a+2)(a-2)$：
原式=$\frac{2a}{(a+2)(a-2)} - \frac{1}{a-2}$
对第二个分式通分：
=$\frac{2a}{(a+2)(a-2)} - \frac{a+2}{(a+2)(a-2)}$
分母不变，分子相减并化简：
=$\frac{2a-(a+2)}{(a+2)(a-2)}=\frac{a-2}{(a+2)(a-2)}$
约分得：
=$\frac{1}{a+2}$
【答案】
(1)$\frac{a}{a-b}$ (2)$\frac{1}{a+2}$
【知识点】
分式的加减运算、因式分解、约分
【点评】
本题是分式化简的常规基础题型，核心考查分式加减的运算逻辑，需要熟练掌握常用因式分解公式、通分约分的规则，运算时注意符号变化，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
这两道题均属于分式减法运算，解题遵循分式加减的通用思路：①先对各分式的分子、分母因式分解，能约分的先约分，简化运算量；②判断分母是否相同，异分母分式需先通分转化为同分母分式，同分母分式相减时分母不变、分子相减；③对运算结果的分子、分母再次因式分解，约分为最简分式，计算时注意去括号的符号规则，避免符号错误。
【解析】
(1) 先对第一个分式的分子、分母因式分解：
原式=$\frac{(a+b)^2}{(a+b)(a-b)} - \frac{b}{a-b}$
约分后得到同分母分式相减：
=$\frac{a+b}{a-b} - \frac{b}{a-b}$
分母不变，分子相减并化简：
=$\frac{(a+b)-b}{a-b}=\frac{a}{a-b}$
(2) 先对分母因式分解，确定最简公分母为$(a+2)(a-2)$：
原式=$\frac{2a}{(a+2)(a-2)} - \frac{1}{a-2}$
对第二个分式通分：
=$\frac{2a}{(a+2)(a-2)} - \frac{a+2}{(a+2)(a-2)}$
分母不变，分子相减并化简：
=$\frac{2a-(a+2)}{(a+2)(a-2)}=\frac{a-2}{(a+2)(a-2)}$
约分得：
=$\frac{1}{a+2}$
【答案】
(1)$\frac{a}{a-b}$ (2)$\frac{1}{a+2}$
【知识点】
分式的加减运算、因式分解、约分
【点评】
本题是分式化简的常规基础题型，核心考查分式加减的运算逻辑，需要熟练掌握常用因式分解公式、通分约分的规则，运算时注意符号变化，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
【典例2】先化简：$(1 - \dfrac{1}{a - 1}) ÷ \dfrac{a^2 - 4a + 4}{a^2 - a}$，其中$a = -1$。
答案
解:原式$=\frac{a}{a-2}$，
当$a=-1$时，
原式$=\frac{1}{3}$。
当$a=-1$时，
原式$=\frac{1}{3}$。
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路分三步：第一步先计算括号内的分式减法，将1通分转化为分母为$a-1$的分式，合并得到括号内的结果；第二步将分式除法转化为乘法，同时对分子分母中的多项式分别因式分解；第三步约分化为最简分式，最后将$a=-1$代入最简分式计算结果即可，计算过程中要注意分式分母不为0的隐含要求。
【解析】
解：先对原式化简：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=( \frac{a-1}{a-1} - \frac{1}{a-1} ) ÷ \frac{(a-2)^2}{a(a-1)} \\&=\frac{a-1-1}{a-1} × \frac{a(a-1)}{(a-2)^2} \\&=\frac{a-2}{a-1} × \frac{a(a-1)}{(a-2)^2} \\&=\frac{a}{a-2}\end{aligned}$
当$a=-1$时，代入最简式得：
$\mathrm{原式}=\frac{-1}{-1-2}=\frac{-1}{-3}=\frac{1}{3}$
【答案】
化简结果为$\frac{a}{a-2}$，当$a=-1$时，原式的值为$\frac{1}{3}$
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，分式化简求值
【点评】
本题属于分式运算的常规题型，核心考查分式运算的基本法则和因式分解的熟练应用，计算时需注意通分、约分的规则，代入数值前要验证所给数值是否使原分式有意义。
【难度系数】
0.7
这是分式化简求值类题目，解题思路分三步：第一步先计算括号内的分式减法，将1通分转化为分母为$a-1$的分式，合并得到括号内的结果；第二步将分式除法转化为乘法，同时对分子分母中的多项式分别因式分解；第三步约分化为最简分式，最后将$a=-1$代入最简分式计算结果即可，计算过程中要注意分式分母不为0的隐含要求。
【解析】
解：先对原式化简：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=( \frac{a-1}{a-1} - \frac{1}{a-1} ) ÷ \frac{(a-2)^2}{a(a-1)} \\&=\frac{a-1-1}{a-1} × \frac{a(a-1)}{(a-2)^2} \\&=\frac{a-2}{a-1} × \frac{a(a-1)}{(a-2)^2} \\&=\frac{a}{a-2}\end{aligned}$
当$a=-1$时，代入最简式得：
$\mathrm{原式}=\frac{-1}{-1-2}=\frac{-1}{-3}=\frac{1}{3}$
【答案】
化简结果为$\frac{a}{a-2}$，当$a=-1$时，原式的值为$\frac{1}{3}$
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，分式化简求值
【点评】
本题属于分式运算的常规题型，核心考查分式运算的基本法则和因式分解的熟练应用，计算时需注意通分、约分的规则，代入数值前要验证所给数值是否使原分式有意义。
【难度系数】
0.7
变式1.先化简,再求值: $( \dfrac{x+1}{x^2 - x} - \dfrac{x}{x^2 - 2x +1} ) ÷ \dfrac{1}{x}$, 其中 $x=\sqrt{2}+1$.
答案
解:原式$=\frac{-1}{(x-1)^2}$。
当$x=\sqrt{2}+1$时，
原式$=-\frac{1}{2}$。
当$x=\sqrt{2}+1$时，
原式$=-\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
本题是分式化简求值类题目，解题思路可分为三步：第一步，先对括号内两个分式的分母进行因式分解，确定最简公分母，对括号内的分式通分后计算减法；第二步，将除法运算转化为乘法运算，通过约分得到最简的化简结果；第三步，将给定的x的值代入最简式，计算得到最终数值。计算时要注意运算顺序，先算括号内，再算括号外的乘除，通分、约分过程要避免符号错误。
【解析】
解：先对各分母因式分解：
$x^2-x=x(x-1)$，$x^2-2x+1=(x-1)^2$
原式$=[ \dfrac{x+1}{x(x-1)} - \dfrac{x}{(x-1)^2} ] × x$
对括号内分式通分，最简公分母为$x(x-1)^2$：
$=[ \dfrac{(x+1)(x-1)}{x(x-1)^2} - \dfrac{x· x}{x(x-1)^2} ] × x$
计算括号内分子的减法：
$=\dfrac{x^2-1 - x^2}{x(x-1)^2} × x$
$=\dfrac{-1}{x(x-1)^2} × x$
约分后得化简结果：
$=\dfrac{-1}{(x-1)^2}$
将$x=\sqrt{2}+1$代入上式：
$x-1=\sqrt{2}+1-1=\sqrt{2}$，则$(x-1)^2=(\sqrt{2})^2=2$
原式$=-\dfrac{1}{2}$
【答案】
化简结果为$\dfrac{-1}{(x-1)^2}$，求值结果为$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式化简求值
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，核心考查分式通分、约分的规则以及混合运算的运算顺序，解题时需注意通分过程中分子的符号变化，代入二次根式计算时要准确计算平方项，避免运算失误。
【难度系数】
0.7
本题是分式化简求值类题目，解题思路可分为三步：第一步，先对括号内两个分式的分母进行因式分解，确定最简公分母，对括号内的分式通分后计算减法；第二步，将除法运算转化为乘法运算，通过约分得到最简的化简结果；第三步，将给定的x的值代入最简式，计算得到最终数值。计算时要注意运算顺序，先算括号内，再算括号外的乘除，通分、约分过程要避免符号错误。
【解析】
解：先对各分母因式分解：
$x^2-x=x(x-1)$，$x^2-2x+1=(x-1)^2$
原式$=[ \dfrac{x+1}{x(x-1)} - \dfrac{x}{(x-1)^2} ] × x$
对括号内分式通分，最简公分母为$x(x-1)^2$：
$=[ \dfrac{(x+1)(x-1)}{x(x-1)^2} - \dfrac{x· x}{x(x-1)^2} ] × x$
计算括号内分子的减法：
$=\dfrac{x^2-1 - x^2}{x(x-1)^2} × x$
$=\dfrac{-1}{x(x-1)^2} × x$
约分后得化简结果：
$=\dfrac{-1}{(x-1)^2}$
将$x=\sqrt{2}+1$代入上式：
$x-1=\sqrt{2}+1-1=\sqrt{2}$，则$(x-1)^2=(\sqrt{2})^2=2$
原式$=-\dfrac{1}{2}$
【答案】
化简结果为$\dfrac{-1}{(x-1)^2}$，求值结果为$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式化简求值
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，核心考查分式通分、约分的规则以及混合运算的运算顺序，解题时需注意通分过程中分子的符号变化，代入二次根式计算时要准确计算平方项，避免运算失误。
【难度系数】
0.7
变式2.先化简，再求值：$\frac{x^2 + 2x + 1}{x + 2} ÷ \frac{x^2 - 1}{x - 1} - \frac{1}{x + 2}$，其中$x=2$。
答案
解:原式$=\frac{x}{x+2}$。
当$x=2$时，原式$=\frac{1}{2}$。
当$x=2$时，原式$=\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
本题考查分式的化简求值，解题遵循“先化简，再求值”的原则：首先按照分式混合运算顺序，先计算除法，将除法转化为乘法后，对分子分母的多项式因式分解、约分，再计算分式减法，将原式化为最简分式，最后代入x=2计算数值即可。
【解析】
解：先处理分式除法，将除法转化为乘法，同时对多项式因式分解：
原式$=\frac{(x+1)^2}{x+2} × \frac{x-1}{(x+1)(x-1)} - \frac{1}{x+2}$
约分后得：
$=\frac{x+1}{x+2} - \frac{1}{x+2}$
同分母分式相减，分母不变，分子相减：
$=\frac{x+1-1}{x+2}=\frac{x}{x+2}$
将$x=2$代入化简后的式子：
原式$=\frac{2}{2+2}=\frac{1}{2}$
【答案】
化简结果为$\frac{x}{x+2}$，当$x=2$时，原式的值为$\frac{1}{2}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式化简求值
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查分式运算的基本法则，解题时要注意先将除法转化为乘法，因式分解正确后再约分，运算过程中要保证分式有意义，计算时需细心避免约分或通分错误。
【难度系数】
0.8
本题考查分式的化简求值，解题遵循“先化简，再求值”的原则：首先按照分式混合运算顺序，先计算除法，将除法转化为乘法后，对分子分母的多项式因式分解、约分，再计算分式减法，将原式化为最简分式，最后代入x=2计算数值即可。
【解析】
解：先处理分式除法，将除法转化为乘法，同时对多项式因式分解：
原式$=\frac{(x+1)^2}{x+2} × \frac{x-1}{(x+1)(x-1)} - \frac{1}{x+2}$
约分后得：
$=\frac{x+1}{x+2} - \frac{1}{x+2}$
同分母分式相减，分母不变，分子相减：
$=\frac{x+1-1}{x+2}=\frac{x}{x+2}$
将$x=2$代入化简后的式子：
原式$=\frac{2}{2+2}=\frac{1}{2}$
【答案】
化简结果为$\frac{x}{x+2}$，当$x=2$时，原式的值为$\frac{1}{2}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式化简求值
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查分式运算的基本法则，解题时要注意先将除法转化为乘法，因式分解正确后再约分，运算过程中要保证分式有意义，计算时需细心避免约分或通分错误。
【难度系数】
0.8
