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【典例1】$\frac{3}{x-2} - \frac{x}{2-x} = -2$
变式.
= 2.
变式.
= 2.答案
【典例1】解:$x=\frac{1}{3}$.
变式.解:$x=-\frac{1}{2}$.
变式.解:$x=-\frac{1}{2}$.
解析
典例1
【分析】这是一道分式方程求解题目，解题思路是先将分式方程转化为整式方程再求解。首先观察到分母$x-2$和$2-x$互为相反数，可先将分母统一为$x-2$，再确定最简公分母为$(x-2)$；方程两边同乘最简公分母消去分母得到整式方程，解整式方程后必须检验根是否使原分式分母为0，分母不为0的根才是原方程的有效解。
【解析】
解：原方程可变形为$\frac{3}{x-2}+\frac{x}{x-2}=-2$
方程两边同时乘最简公分母$(x-2)$，得：
$3 + x = -2(x-2)$
去括号，得：$3 + x = -2x + 4$
移项，得：$x + 2x = 4 - 3$
合并同类项，得：$3x = 1$
系数化为1，得：$x=\frac{1}{3}$
检验：当$x=\frac{1}{3}$时，$x-2=\frac{1}{3}-2=-\frac{5}{3}≠0$，因此$x=\frac{1}{3}$是原分式方程的解。
【答案】$x=\frac{1}{3}$
【知识点】分式方程的解法，分式方程验根
【点评】本题考查分式方程的基础求解，解题关键是正确处理互为相反数的分母，牢记解分式方程必须验根，避免增根错误。
【难度系数】0.7
---
变式
【分析】这是分式方程求解问题，解题遵循“去分母→解整式方程→验根”的步骤。首先确定两个分母$x-1$和$x+2$的最简公分母为$(x-1)(x+2)$，方程两边同乘最简公分母消去分母，得到一元一次方程，求解后代入最简公分母检验，判断是否为增根即可。
【解析】
解：方程两边同时乘最简公分母$(x-1)(x+2)$，得：
$2x(x+2) + 2(x-1) = 2(x-1)(x+2)$
展开并整理：
左边：$2x^2 +4x + 2x -2 = 2x^2 +6x -2$
右边：$2(x^2 +x -2) = 2x^2 +2x -4$
移项合并同类项，得：
$2x^2 +6x -2 - 2x^2 -2x +4 = 0$
$4x +2 =0$
系数化为1，得：$x=-\frac{1}{2}$
检验：当$x=-\frac{1}{2}$时，$(x-1)(x+2)=(-\frac{3}{2})×\frac{3}{2}=-\frac{9}{4}≠0$，因此$x=-\frac{1}{2}$是原分式方程的解。
【答案】$x=-\frac{1}{2}$
【知识点】分式方程的解法，分式方程验根
【点评】本题属于基础分式方程求解题型，去分母时注意不要漏乘常数项，解完后务必验根，排除使分母为0的增根。
【难度系数】0.65
【分析】这是一道分式方程求解题目，解题思路是先将分式方程转化为整式方程再求解。首先观察到分母$x-2$和$2-x$互为相反数，可先将分母统一为$x-2$，再确定最简公分母为$(x-2)$；方程两边同乘最简公分母消去分母得到整式方程，解整式方程后必须检验根是否使原分式分母为0，分母不为0的根才是原方程的有效解。
【解析】
解：原方程可变形为$\frac{3}{x-2}+\frac{x}{x-2}=-2$
方程两边同时乘最简公分母$(x-2)$，得：
$3 + x = -2(x-2)$
去括号，得：$3 + x = -2x + 4$
移项，得：$x + 2x = 4 - 3$
合并同类项，得：$3x = 1$
系数化为1，得：$x=\frac{1}{3}$
检验：当$x=\frac{1}{3}$时，$x-2=\frac{1}{3}-2=-\frac{5}{3}≠0$，因此$x=\frac{1}{3}$是原分式方程的解。
【答案】$x=\frac{1}{3}$
【知识点】分式方程的解法，分式方程验根
【点评】本题考查分式方程的基础求解，解题关键是正确处理互为相反数的分母，牢记解分式方程必须验根，避免增根错误。
【难度系数】0.7
---
变式
【分析】这是分式方程求解问题，解题遵循“去分母→解整式方程→验根”的步骤。首先确定两个分母$x-1$和$x+2$的最简公分母为$(x-1)(x+2)$，方程两边同乘最简公分母消去分母，得到一元一次方程，求解后代入最简公分母检验，判断是否为增根即可。
【解析】
解：方程两边同时乘最简公分母$(x-1)(x+2)$，得：
$2x(x+2) + 2(x-1) = 2(x-1)(x+2)$
展开并整理：
左边：$2x^2 +4x + 2x -2 = 2x^2 +6x -2$
右边：$2(x^2 +x -2) = 2x^2 +2x -4$
移项合并同类项，得：
$2x^2 +6x -2 - 2x^2 -2x +4 = 0$
$4x +2 =0$
系数化为1，得：$x=-\frac{1}{2}$
检验：当$x=-\frac{1}{2}$时，$(x-1)(x+2)=(-\frac{3}{2})×\frac{3}{2}=-\frac{9}{4}≠0$，因此$x=-\frac{1}{2}$是原分式方程的解。
【答案】$x=-\frac{1}{2}$
【知识点】分式方程的解法，分式方程验根
【点评】本题属于基础分式方程求解题型，去分母时注意不要漏乘常数项，解完后务必验根，排除使分母为0的增根。
【难度系数】0.65
【典例2】关于$x$的分式方程$\frac{3x - 2}{x + 1}=2+\frac{m}{x + 1}$无解，求$m$的值.
答案
解:去分母得 $x=m+4$,
$\because$方程无解,
$\therefore m+4=-1$,
$m=-5$.
$\because$方程无解,
$\therefore m+4=-1$,
$m=-5$.
解析
【分析】
要解决分式方程无解求参数的问题，首先明确八年级阶段分式方程无解的核心原因是去分母后得到的整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值）。解题思路可分为三步：第一步先确定原分式方程的增根，令分母为0即可得到；第二步将分式方程去分母转化为整式方程，用含参数m的式子表示x；第三步把增根代入整式方程的解，即可求出m的值。
【解析】
解：给方程两边同时乘以最简公分母$x+1$（默认$x≠-1$），去分母得：
$3x-2=2(x+1)+m$
整理等式：
$3x-2=2x+2+m$
移项合并同类项得：
$x=m+4$
$\because$原分式方程无解，说明整式方程的解是原方程的增根
$\therefore$原方程分母为0，即$x+1=0$，增根为$x=-1$
将$x=-1$代入$x=m+4$得：
$-1=m+4$
解得$m=-5$
【答案】
$m=-5$
【知识点】
分式方程的增根；解分式方程；分式方程无解条件
【点评】
本题是分式方程章节的典型常考题，核心考查对增根含义的理解，解题关键是明确分式方程无解时对应的增根满足分母为0，再代入整式方程求解参数，掌握该解题逻辑可快速解决同类含参分式方程无解问题。
【难度系数】
0.6
要解决分式方程无解求参数的问题，首先明确八年级阶段分式方程无解的核心原因是去分母后得到的整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值）。解题思路可分为三步：第一步先确定原分式方程的增根，令分母为0即可得到；第二步将分式方程去分母转化为整式方程，用含参数m的式子表示x；第三步把增根代入整式方程的解，即可求出m的值。
【解析】
解：给方程两边同时乘以最简公分母$x+1$（默认$x≠-1$），去分母得：
$3x-2=2(x+1)+m$
整理等式：
$3x-2=2x+2+m$
移项合并同类项得：
$x=m+4$
$\because$原分式方程无解，说明整式方程的解是原方程的增根
$\therefore$原方程分母为0，即$x+1=0$，增根为$x=-1$
将$x=-1$代入$x=m+4$得：
$-1=m+4$
解得$m=-5$
【答案】
$m=-5$
【知识点】
分式方程的增根；解分式方程；分式方程无解条件
【点评】
本题是分式方程章节的典型常考题，核心考查对增根含义的理解，解题关键是明确分式方程无解时对应的增根满足分母为0，再代入整式方程求解参数，掌握该解题逻辑可快速解决同类含参分式方程无解问题。
【难度系数】
0.6
变式.关于$x$的分式方程$\frac{ax}{x-2}=\frac{4}{x-2}+1$无解,求$a$的值.
答案
解:去分母得$(a-1)x=2$,
当$x=2$时无解,$a=2$;
当$a=1$时无解,
故$a=2$或1.
当$x=2$时无解,$a=2$;
当$a=1$时无解,
故$a=2$或1.
解析
【分析】
要解决分式方程无解求参数的问题，首先需明确分式方程无解包含两种情况：①去分母后得到的整式方程本身无解；②整式方程有解，但该解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数取值）。解题时先将分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论计算a的值即可。
【解析】
第一步：确定原分式方程的增根，要使分式有意义，则分母$x-2≠0$，即$x≠2$，因此原方程的增根为$x=2$。
第二步：去分母，将分式方程转化为整式方程，方程两边同时乘以最简公分母$(x-2)$，得：
$ax = 4 + (x - 2)$
第三步：整理整式方程，移项合并同类项得：
$(a - 1)x = 2$
第四步：分两种情况讨论方程无解的条件：
① 当整式方程$(a - 1)x = 2$本身无解时，一次项系数为0且常数项不为0，即$a - 1 = 0$，解得$a=1$，此时方程变为$0=2$，等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程无解。
② 当整式方程的解是原分式方程的增根时，将增根$x=2$代入$(a - 1)x = 2$，得：
$2(a - 1) = 2$
解得$a=2$，此时整式方程的解为$x=2$，代入原分式方程分母为0，是增根，因此原分式方程无解。
综上，a的值为1或2。
【答案】
$a=1$或$a=2$
【知识点】
分式方程无解的判定；分式方程的增根；解一元一次方程
【点评】
本题是分式方程部分的典型题型，核心考查分类讨论思想，解题时需注意不要遗漏整式方程本身无解的情况，也需熟练掌握增根的含义及应用，避免漏解。
【难度系数】
0.6
要解决分式方程无解求参数的问题，首先需明确分式方程无解包含两种情况：①去分母后得到的整式方程本身无解；②整式方程有解，但该解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数取值）。解题时先将分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论计算a的值即可。
【解析】
第一步：确定原分式方程的增根，要使分式有意义，则分母$x-2≠0$，即$x≠2$，因此原方程的增根为$x=2$。
第二步：去分母，将分式方程转化为整式方程，方程两边同时乘以最简公分母$(x-2)$，得：
$ax = 4 + (x - 2)$
第三步：整理整式方程，移项合并同类项得：
$(a - 1)x = 2$
第四步：分两种情况讨论方程无解的条件：
① 当整式方程$(a - 1)x = 2$本身无解时，一次项系数为0且常数项不为0，即$a - 1 = 0$，解得$a=1$，此时方程变为$0=2$，等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程无解。
② 当整式方程的解是原分式方程的增根时，将增根$x=2$代入$(a - 1)x = 2$，得：
$2(a - 1) = 2$
解得$a=2$，此时整式方程的解为$x=2$，代入原分式方程分母为0，是增根，因此原分式方程无解。
综上，a的值为1或2。
【答案】
$a=1$或$a=2$
【知识点】
分式方程无解的判定；分式方程的增根；解一元一次方程
【点评】
本题是分式方程部分的典型题型，核心考查分类讨论思想，解题时需注意不要遗漏整式方程本身无解的情况，也需熟练掌握增根的含义及应用，避免漏解。
【难度系数】
0.6
【典例3】已知关于$x$的方程$\frac{2x - m}{x - 2}=3$的解是正数，则$m$的取值范围为
$m＜6$ 且 $m≠4$
。答案
$m＜6$ 且 $m≠4$
解析
【分析】
本题是已知分式方程的解为正数，求参数取值范围的问题。解题思路分三步：第一步，先将分式方程去分母转化为整式方程，用含m的代数式表示出方程的解x；第二步，根据“解是正数”列不等式，求出m的初步范围；第三步，结合分式方程分母不为0（即解不能是增根）的隐含条件，排除不符合要求的m值，最终得到m的取值范围。
【解析】
解：给方程$\frac{2x - m}{x - 2}=3$两边同时乘$(x-2)$（此时需满足$x ≠ 2$，避免分母为0），得：
$2x - m = 3(x - 2)$
展开右侧：$2x - m = 3x - 6$
移项合并同类项：$x = 6 - m$
∵ 方程的解是正数
∴ $x ＞ 0$，即$6 - m ＞ 0$，解得$m ＜ 6$
又
∵ 原分式方程分母不能为0，即$x ≠ 2$
∴ $6 - m ≠ 2$，解得$m ≠ 4$
综上，$m$的取值范围是$m ＜ 6$且$m ≠ 4$。
【答案】
$m＜6$ 且 $m≠4$
【知识点】
分式方程的解，分式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题属于分式方程参数取值问题的基础常考题，解题的易错点是容易忽略分式方程分母不为0的隐含条件，仅根据解为正数求范围，导致漏写$m ≠ 4$的限制，解题时需注意考虑全面，保证原分式方程有意义。
【难度系数】
0.7
本题是已知分式方程的解为正数，求参数取值范围的问题。解题思路分三步：第一步，先将分式方程去分母转化为整式方程，用含m的代数式表示出方程的解x；第二步，根据“解是正数”列不等式，求出m的初步范围；第三步，结合分式方程分母不为0（即解不能是增根）的隐含条件，排除不符合要求的m值，最终得到m的取值范围。
【解析】
解：给方程$\frac{2x - m}{x - 2}=3$两边同时乘$(x-2)$（此时需满足$x ≠ 2$，避免分母为0），得：
$2x - m = 3(x - 2)$
展开右侧：$2x - m = 3x - 6$
移项合并同类项：$x = 6 - m$
∵ 方程的解是正数
∴ $x ＞ 0$，即$6 - m ＞ 0$，解得$m ＜ 6$
又
∵ 原分式方程分母不能为0，即$x ≠ 2$
∴ $6 - m ≠ 2$，解得$m ≠ 4$
综上，$m$的取值范围是$m ＜ 6$且$m ≠ 4$。
【答案】
$m＜6$ 且 $m≠4$
【知识点】
分式方程的解，分式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题属于分式方程参数取值问题的基础常考题，解题的易错点是容易忽略分式方程分母不为0的隐含条件，仅根据解为正数求范围，导致漏写$m ≠ 4$的限制，解题时需注意考虑全面，保证原分式方程有意义。
【难度系数】
0.7
变式.分式方程$\frac{3}{x}+\frac{6}{x-1}-\frac{x+m}{x(x-1)}=0$有解，求$m$的取值范围.
答案
解:去分母得:
$3(x-1)+6x-x-m=0$,
$8x=3+m$,
$\therefore x=\frac{m+3}{8}$.
$\because$方程有解,故$x(x-1)≠0$,
$\therefore \frac{m+3}{8}≠0,\frac{m+3}{8}≠1$,
$\therefore m≠-3$且$m≠5$.
$3(x-1)+6x-x-m=0$,
$8x=3+m$,
$\therefore x=\frac{m+3}{8}$.
$\because$方程有解,故$x(x-1)≠0$,
$\therefore \frac{m+3}{8}≠0,\frac{m+3}{8}≠1$,
$\therefore m≠-3$且$m≠5$.
解析
【分析】
要解决分式方程有解求参数取值范围的问题，首先需将分式方程转化为整式方程，求出用参数表示的整式方程的解，再结合分式方程有解的前提：原分式的分母不能为0，即整式方程的解不能是原方程的增根，由此列出关于参数的不等式，求解即可得到参数的取值范围。具体步骤为：第一步去分母化分式方程为整式方程；第二步解整式方程，用含m的式子表示x；第三步根据分母不为0排除增根，得到m的限制条件。
【解析】
解：方程两边同时乘最简公分母$x(x-1)$，去分母得：
$3(x-1)+6x-(x+m)=0$
展开括号得：$3x-3+6x-x-m=0$
合并同类项得：$8x = 3 + m$
系数化为1得：$x=\frac{m+3}{8}$
∵ 原分式方程有解，
∴ 最简公分母不为0，即$x(x-1)≠0$
∴ $x≠0$且$x≠1$
当$x≠0$时，$\frac{m+3}{8}≠0$，解得$m≠-3$
当$x≠1$时，$\frac{m+3}{8}≠1$，解得$m≠5$
综上，m的取值范围为$m≠-3$且$m≠5$
【答案】
$m≠-3$且$m≠5$
【知识点】
分式方程解的条件、分式有意义的条件、解一元一次方程
【点评】
本题是分式方程含参问题的基础题型，解题核心是牢记分式方程有解时，所得的解必须保证原方程所有分母有意义，不要忽略排除增根对应的参数取值，这是这类题目的易错点。
【难度系数】
0.6
要解决分式方程有解求参数取值范围的问题，首先需将分式方程转化为整式方程，求出用参数表示的整式方程的解，再结合分式方程有解的前提：原分式的分母不能为0，即整式方程的解不能是原方程的增根，由此列出关于参数的不等式，求解即可得到参数的取值范围。具体步骤为：第一步去分母化分式方程为整式方程；第二步解整式方程，用含m的式子表示x；第三步根据分母不为0排除增根，得到m的限制条件。
【解析】
解：方程两边同时乘最简公分母$x(x-1)$，去分母得：
$3(x-1)+6x-(x+m)=0$
展开括号得：$3x-3+6x-x-m=0$
合并同类项得：$8x = 3 + m$
系数化为1得：$x=\frac{m+3}{8}$
∵ 原分式方程有解，
∴ 最简公分母不为0，即$x(x-1)≠0$
∴ $x≠0$且$x≠1$
当$x≠0$时，$\frac{m+3}{8}≠0$，解得$m≠-3$
当$x≠1$时，$\frac{m+3}{8}≠1$，解得$m≠5$
综上，m的取值范围为$m≠-3$且$m≠5$
【答案】
$m≠-3$且$m≠5$
【知识点】
分式方程解的条件、分式有意义的条件、解一元一次方程
【点评】
本题是分式方程含参问题的基础题型，解题核心是牢记分式方程有解时，所得的解必须保证原方程所有分母有意义，不要忽略排除增根对应的参数取值，这是这类题目的易错点。
【难度系数】
0.6
