登录
7.如图,若$∠A+∠ABC=180°$,则下列结论一定正确的是 (
A.$∠1=∠2$
B.$∠2=∠3$
C.$∠1=∠3$
D.$∠2=∠4$
一练一得
运用平行线的判定时,要明确相应角的关系,
正确判断出平行线;运用平行线的性质时,要
明确平行直线与截线,正确推导出角的关系.
D
)A.$∠1=∠2$
B.$∠2=∠3$
C.$∠1=∠3$
D.$∠2=∠4$
一练一得
运用平行线的判定时,要明确相应角的关系,
正确判断出平行线;运用平行线的性质时,要
明确平行直线与截线,正确推导出角的关系.
答案
7.D
解析
【分析】
首先观察已知条件∠A+∠ABC=180°，这两个角是直线AD、BC被直线AB所截形成的同旁内角，根据平行线的判定“同旁内角互补，两直线平行”，可推出AD//BC。接下来AD和BC被BD所截，形成的内错角∠2和∠4相等，对应选项D。再逐一排除其他选项：∠1=∠2需要AB//CD，题干没有给出该条件；∠2=∠3、∠1=∠3均没有对应的平行或其他条件支持，无法推出。
【解析】
解：
∵∠A+∠ABC=180°（已知），
∴AD//BC（同旁内角互补，两直线平行）。
∵AD、BC被BD所截，
∴∠2=∠4（两直线平行，内错角相等），故D选项正确。
对其余选项分析：
A选项：若要∠1=∠2，需满足AB//CD，题干无相关条件，无法推出；
B、C选项：∠2和∠3、∠1和∠3不存在可推导相等的条件，均错误。
【答案】
D
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；内错角识别
【点评】
本题是平行线判定与性质的基础应用类题目，解题时要先根据已知角的关系判断平行直线，再结合截线分析对应角的关系，注意不要混淆判定和性质的逻辑顺序，避免随意推导无依据的角相等关系。
【难度系数】
0.8
首先观察已知条件∠A+∠ABC=180°，这两个角是直线AD、BC被直线AB所截形成的同旁内角，根据平行线的判定“同旁内角互补，两直线平行”，可推出AD//BC。接下来AD和BC被BD所截，形成的内错角∠2和∠4相等，对应选项D。再逐一排除其他选项：∠1=∠2需要AB//CD，题干没有给出该条件；∠2=∠3、∠1=∠3均没有对应的平行或其他条件支持，无法推出。
【解析】
解：
∵∠A+∠ABC=180°（已知），
∴AD//BC（同旁内角互补，两直线平行）。
∵AD、BC被BD所截，
∴∠2=∠4（两直线平行，内错角相等），故D选项正确。
对其余选项分析：
A选项：若要∠1=∠2，需满足AB//CD，题干无相关条件，无法推出；
B、C选项：∠2和∠3、∠1和∠3不存在可推导相等的条件，均错误。
【答案】
D
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；内错角识别
【点评】
本题是平行线判定与性质的基础应用类题目，解题时要先根据已知角的关系判断平行直线，再结合截线分析对应角的关系，注意不要混淆判定和性质的逻辑顺序，避免随意推导无依据的角相等关系。
【难度系数】
0.8
8.如图,在三角形ABC中,D为AB上一点,过点D作DE//BC交AC于点E,F是线段DE的延长线上一点,连接BE,CF.已知∠BCF+∠ADE=180°.
(1)试说明:CF//AB;
(2)若∠ABE=40°,∠ACF=60°,且∠EBC:∠ECB=7:13,求∠BED的度数.
(1)试说明:CF//AB;
(2)若∠ABE=40°,∠ACF=60°,且∠EBC:∠ECB=7:13,求∠BED的度数.
答案
8.解:(1)$\because DE// BC$,
$\therefore ∠ ADE=∠ ABC.$
$\because ∠ BCF+∠ ADE=180°,$
$\therefore ∠ BCF+∠ ABC=180°,$
$\therefore CF// AB.$
(2)$\because ∠ EBC:∠ ECB=7:13,$
$\therefore$ 设 $∠ EBC=(7x)°$, 则 $∠ ECB=(13x)°.$
由(1)知$∠ ABC+∠ BCF=180°,$
即$∠ ABE+∠ EBC+∠ ECB+∠ ACF=180°,$
$\therefore 40+7x+13x+60=180,$ 解得 $x=4.$
$\therefore ∠ EBC=(7x)°=28°.$
$\because DE// BC,$
$\therefore ∠ BED=∠ EBC=28°.$
$\therefore ∠ ADE=∠ ABC.$
$\because ∠ BCF+∠ ADE=180°,$
$\therefore ∠ BCF+∠ ABC=180°,$
$\therefore CF// AB.$
(2)$\because ∠ EBC:∠ ECB=7:13,$
$\therefore$ 设 $∠ EBC=(7x)°$, 则 $∠ ECB=(13x)°.$
由(1)知$∠ ABC+∠ BCF=180°,$
即$∠ ABE+∠ EBC+∠ ECB+∠ ACF=180°,$
$\therefore 40+7x+13x+60=180,$ 解得 $x=4.$
$\therefore ∠ EBC=(7x)°=28°.$
$\because DE// BC,$
$\therefore ∠ BED=∠ EBC=28°.$
解析
【分析】
(1)要证明CF//AB，可通过证明同旁内角互补推导。已知DE//BC，先利用平行线的性质得到∠ADE=∠ABC，再结合已知∠BCF+∠ADE=180°，等量代换得到∠ABC+∠BCF=180°，即可判定CF//AB。
(2)要求∠BED的度数，已知DE//BC，根据平行线的内错角相等可知∠BED=∠EBC，因此只需要求出∠EBC的度数即可。根据∠EBC和∠ECB的比例关系设未知数，再结合(1)中CF//AB得到的同旁内角互补关系，将已知角和设出的角代入求和等于180°，列方程求解得到x的值，就能算出∠EBC的度数，最终得到∠BED的度数。
【解析】
(1)
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠ABC（两直线平行，同位角相等）。
∵∠BCF+∠ADE=180°，
∴∠BCF+∠ABC=180°（等量代换），
∴CF//AB（同旁内角互补，两直线平行）。
(2)
∵∠EBC:∠ECB=7:13，
∴设∠EBC=(7x)°，则∠ECB=(13x)°。
由(1)知CF//AB，可得∠ABC+∠BCF=180°，
其中∠ABC=∠ABE+∠EBC，∠BCF=∠ECB+∠ACF，
代入得：$40+7x+13x+60=180$，
合并同类项得$20x=80$，
解得$x=4$。
∴∠EBC=$7×4°=28°$。
又
∵DE//BC，
∴∠BED=∠EBC=28°（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
(1)CF//AB，证明如上；(2)$28°$
【知识点】
平行线的性质，平行线的判定，角度计算
【点评】
本题综合考查平行线的判定与性质的应用，通过等量代换转化角的关系，结合比例设未知数列方程求解角度，解题的关键是准确梳理图形中角的和差关系，熟练运用平行线的相关定理。
【难度系数】
0.7
(1)要证明CF//AB，可通过证明同旁内角互补推导。已知DE//BC，先利用平行线的性质得到∠ADE=∠ABC，再结合已知∠BCF+∠ADE=180°，等量代换得到∠ABC+∠BCF=180°，即可判定CF//AB。
(2)要求∠BED的度数，已知DE//BC，根据平行线的内错角相等可知∠BED=∠EBC，因此只需要求出∠EBC的度数即可。根据∠EBC和∠ECB的比例关系设未知数，再结合(1)中CF//AB得到的同旁内角互补关系，将已知角和设出的角代入求和等于180°，列方程求解得到x的值，就能算出∠EBC的度数，最终得到∠BED的度数。
【解析】
(1)
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠ABC（两直线平行，同位角相等）。
∵∠BCF+∠ADE=180°，
∴∠BCF+∠ABC=180°（等量代换），
∴CF//AB（同旁内角互补，两直线平行）。
(2)
∵∠EBC:∠ECB=7:13，
∴设∠EBC=(7x)°，则∠ECB=(13x)°。
由(1)知CF//AB，可得∠ABC+∠BCF=180°，
其中∠ABC=∠ABE+∠EBC，∠BCF=∠ECB+∠ACF，
代入得：$40+7x+13x+60=180$，
合并同类项得$20x=80$，
解得$x=4$。
∴∠EBC=$7×4°=28°$。
又
∵DE//BC，
∴∠BED=∠EBC=28°（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
(1)CF//AB，证明如上；(2)$28°$
【知识点】
平行线的性质，平行线的判定，角度计算
【点评】
本题综合考查平行线的判定与性质的应用，通过等量代换转化角的关系，结合比例设未知数列方程求解角度，解题的关键是准确梳理图形中角的和差关系，熟练运用平行线的相关定理。
【难度系数】
0.7
