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1.计算$(-a)·(-a)^4$的结果是 （
A.$a^4$
B.$-a^4$
C.$a^5$
D.$-a^5$
D
）A.$a^4$
B.$-a^4$
C.$a^5$
D.$-a^5$
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先观察算式特征，发现两个因式的底数都是(-a)，符合同底数幂相乘的运算条件。首先要明确单独一个因式(-a)的指数是1，再根据同底数幂的乘法法则计算，最后根据负数乘方的符号规则化简结果即可。
【解析】
第一步：根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$(-a)·(-a)^4=(-a)^{1+4}=(-a)^5$
第二步：根据负数的奇次幂是负数，可得：
$(-a)^5=-a^5$
因此结果为$-a^5$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法；乘方的符号判定
【点评】
本题属于基础运算题，易错点有两处：一是容易忽略$(-a)$的隐含指数为1，导致指数相加错误；二是计算$(-a)^5$时符号判断错误，需牢记负数的奇次幂为负，偶次幂为正。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察算式特征，发现两个因式的底数都是(-a)，符合同底数幂相乘的运算条件。首先要明确单独一个因式(-a)的指数是1，再根据同底数幂的乘法法则计算，最后根据负数乘方的符号规则化简结果即可。
【解析】
第一步：根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$(-a)·(-a)^4=(-a)^{1+4}=(-a)^5$
第二步：根据负数的奇次幂是负数，可得：
$(-a)^5=-a^5$
因此结果为$-a^5$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法；乘方的符号判定
【点评】
本题属于基础运算题，易错点有两处：一是容易忽略$(-a)$的隐含指数为1，导致指数相加错误；二是计算$(-a)^5$时符号判断错误，需牢记负数的奇次幂为负，偶次幂为正。
【难度系数】
0.7
2.(○)可乐中含有大量的咖啡因，13—17岁青少年每天咖啡因的摄入量不能超过0.000085 kg.则数0.000085用科学记数法可表示为 （
A.$8.5× 10^{-5}$
B.$0.85× 10^{-4}$
C.$8.5× 10^{5}$
D.$85× 10^{-6}$
A
）A.$8.5× 10^{-5}$
B.$0.85× 10^{-4}$
C.$8.5× 10^{5}$
D.$85× 10^{-6}$
答案
2.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆科学记数法表示小于1的正数的相关规则：科学记数法的标准形式为$a×10^n$，其中要求$1≤ |a|＜10$，n为整数。解题时可以分三步判断：第一步先根据a的取值范围排除不符合的选项；第二步根据原数大小判断指数n的正负，原数小于1时n为负数，原数大于1时n为正数，进一步排除错误选项；第三步验证剩余选项是否和原数相等即可。
【解析】
科学记数法表示小于1的正数的形式为$a×10^{-n}$，其中$1≤ a＜10$，n等于原数左起第一个非零数字前所有0的个数（包含小数点前的0）。
对于0.000085：
1. 确定a的值：将小数点移动到第一个非零数字8的后面，得到$a=8.5$，满足$1≤ 8.5＜10$，由此可排除a不符合要求的B选项（$a=0.85＜1$）和D选项（$a=85＞10$）；
2. 确定n的值：原数中8前面共有5个0，因此$n=5$，且原数小于1，指数为负，即最终表示为$8.5×10^{-5}$，可排除指数为正的C选项。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
科学记数法表示较小的数
【点评】
本题考查科学记数法的基本应用，牢记科学记数法中a的取值范围和指数n的确定方法是解题的关键，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆科学记数法表示小于1的正数的相关规则：科学记数法的标准形式为$a×10^n$，其中要求$1≤ |a|＜10$，n为整数。解题时可以分三步判断：第一步先根据a的取值范围排除不符合的选项；第二步根据原数大小判断指数n的正负，原数小于1时n为负数，原数大于1时n为正数，进一步排除错误选项；第三步验证剩余选项是否和原数相等即可。
【解析】
科学记数法表示小于1的正数的形式为$a×10^{-n}$，其中$1≤ a＜10$，n等于原数左起第一个非零数字前所有0的个数（包含小数点前的0）。
对于0.000085：
1. 确定a的值：将小数点移动到第一个非零数字8的后面，得到$a=8.5$，满足$1≤ 8.5＜10$，由此可排除a不符合要求的B选项（$a=0.85＜1$）和D选项（$a=85＞10$）；
2. 确定n的值：原数中8前面共有5个0，因此$n=5$，且原数小于1，指数为负，即最终表示为$8.5×10^{-5}$，可排除指数为正的C选项。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
科学记数法表示较小的数
【点评】
本题考查科学记数法的基本应用，牢记科学记数法中a的取值范围和指数n的确定方法是解题的关键，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
3.下列计算正确的是 （
A.$(x^4)^3=x^7$
B.$x^2 · x^6=x^{12}$
C.$(3a)^2=9a^2$
D.$(-x^2) · (2x)^2=4x^4$
C
）A.$(x^4)^3=x^7$
B.$x^2 · x^6=x^{12}$
C.$(3a)^2=9a^2$
D.$(-x^2) · (2x)^2=4x^4$
答案
3.C
解析
【分析】
本题考查幂的相关运算，解题思路为：先回忆幂的乘方、同底数幂乘法、积的乘方的运算法则，再逐一计算每个选项的结果，和选项给出的结果对比，判断对错即可选出正确答案。
【解析】
我们先明确幂运算的基本规则：
1. 幂的乘方：$(a^m)^n=a^{mn}$（底数不变，指数相乘）
2. 同底数幂相乘：$a^m· a^n=a^{m+n}$（底数不变，指数相加）
3. 积的乘方：$(ab)^n=a^n b^n$（把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘）
我们逐个分析选项：
选项A：$(x^4)^3=x^{4×3}=x^{12}≠ x^7$，计算错误，排除A；
选项B：$x^2· x^6=x^{2+6}=x^8≠ x^{12}$，计算错误，排除B；
选项C：$(3a)^2=3^2· a^2=9a^2$，计算正确；
选项D：先算$(2x)^2=2^2· x^2=4x^2$，再算$(-x^2)·4x^2=-4x^4≠4x^4$，计算错误，排除D。
综上，计算正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂的乘法，积的乘方运算
【点评】
本题属于幂运算的基础常考题，核心考查对幂运算规则的掌握熟练度，解题时要注意指数的计算规则以及符号的处理，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
本题考查幂的相关运算，解题思路为：先回忆幂的乘方、同底数幂乘法、积的乘方的运算法则，再逐一计算每个选项的结果，和选项给出的结果对比，判断对错即可选出正确答案。
【解析】
我们先明确幂运算的基本规则：
1. 幂的乘方：$(a^m)^n=a^{mn}$（底数不变，指数相乘）
2. 同底数幂相乘：$a^m· a^n=a^{m+n}$（底数不变，指数相加）
3. 积的乘方：$(ab)^n=a^n b^n$（把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘）
我们逐个分析选项：
选项A：$(x^4)^3=x^{4×3}=x^{12}≠ x^7$，计算错误，排除A；
选项B：$x^2· x^6=x^{2+6}=x^8≠ x^{12}$，计算错误，排除B；
选项C：$(3a)^2=3^2· a^2=9a^2$，计算正确；
选项D：先算$(2x)^2=2^2· x^2=4x^2$，再算$(-x^2)·4x^2=-4x^4≠4x^4$，计算错误，排除D。
综上，计算正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂的乘法，积的乘方运算
【点评】
本题属于幂运算的基础常考题，核心考查对幂运算规则的掌握熟练度，解题时要注意指数的计算规则以及符号的处理，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
4.(○)若$(3m - 2)^0 = 1$有意义，则m的取值范围是
$m≠\dfrac{2}{3}$
。答案
4.$m≠\dfrac{2}{3}$
解析
【分析】
要解决本题，首先需要明确零指数幂有意义的前提条件：我们规定，任何不等于0的数的0次幂都等于1，也就是说若$a^0=1$有意义，必须满足底数$a≠0$。所以本题只需让底数$3m-2$不等于0，解出对应的不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
根据零指数幂的性质：$a^0 = 1$（$a ≠ 0$），要使$(3m - 2)^0 = 1$有意义，需满足底数不为0，即：
$3m - 2 ≠ 0$
移项得：$3m ≠ 2$
系数化为1得：$m ≠ \dfrac{2}{3}$
【答案】
$m ≠ \dfrac{2}{3}$
【知识点】
零指数幂的性质，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心考点是零指数幂成立的限制条件，解题时牢记底数不能为0的要求即可顺利求解，易错点是容易忽略底数为0的特殊情况。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需要明确零指数幂有意义的前提条件：我们规定，任何不等于0的数的0次幂都等于1，也就是说若$a^0=1$有意义，必须满足底数$a≠0$。所以本题只需让底数$3m-2$不等于0，解出对应的不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
根据零指数幂的性质：$a^0 = 1$（$a ≠ 0$），要使$(3m - 2)^0 = 1$有意义，需满足底数不为0，即：
$3m - 2 ≠ 0$
移项得：$3m ≠ 2$
系数化为1得：$m ≠ \dfrac{2}{3}$
【答案】
$m ≠ \dfrac{2}{3}$
【知识点】
零指数幂的性质，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心考点是零指数幂成立的限制条件，解题时牢记底数不能为0的要求即可顺利求解，易错点是容易忽略底数为0的特殊情况。
【难度系数】
0.8
5.计算：
(1)(○)$x^{9}· x^{2}÷ x$；
(2)$(-\dfrac{1}{2}a^{3}b)^{3}$；
(3)(○)$-x^{11}÷ x^{2}+(-x^{4})^{2}· x$；
(4)$(-a^{3}b)^{4}-(2a^{6}b^{2})^{2}$。
(1)(○)$x^{9}· x^{2}÷ x$；
(2)$(-\dfrac{1}{2}a^{3}b)^{3}$；
(3)(○)$-x^{11}÷ x^{2}+(-x^{4})^{2}· x$；
(4)$(-a^{3}b)^{4}-(2a^{6}b^{2})^{2}$。
答案
5.解:(1)原式$=x^{10}$；
(2)原式$=-\dfrac{1}{8}a^{9}b^{3}$；
(3)原式$=0$；
(4)原式$=-3a^{12}b^{4}$。
(2)原式$=-\dfrac{1}{8}a^{9}b^{3}$；
(3)原式$=0$；
(4)原式$=-3a^{12}b^{4}$。
解析
【分析】
这四道题均考查幂的运算与整式的混合运算，解题思路如下：首先回忆幂运算的核心法则：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；②同底数幂相除，底数不变，指数相减；③幂的乘方，底数不变，指数相乘；④积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。运算时严格遵循“先算乘方，再算乘除，最后算加减”的顺序，同时注意判断符号：负数的奇次幂为负，偶次幂为正，避免符号出错。
【解析】
(1) 先算同底数幂的乘法，再算同底数幂的除法：
原式$=x^{9+2} ÷ x = x^{11} ÷ x = x^{11-1} = x^{10}$
(2) 利用积的乘方和幂的乘方法则计算：
原式$=(-\dfrac{1}{2})^{3} · (a^{3})^{3} · b^{3} = -\dfrac{1}{8}a^{9}b^{3}$
(3) 先算除法和乘方，再算加法：
第一步：计算除法：$-x^{11} ÷ x^{2} = -x^{11-2} = -x^{9}$
第二步：计算乘方和乘法：$(-x^{4})^{2} · x = x^{8} · x = x^{9}$
第三步：求和：原式$=-x^{9} + x^{9} = 0$
(4) 先算两个乘方，再算减法：
第一步：计算$(-a^{3}b)^{4} = (-1)^{4} · (a^{3})^{4} · b^{4} = a^{12}b^{4}$
第二步：计算$(2a^{6}b^{2})^{2} = 2^{2} · (a^{6})^{2} · (b^{2})^{2} = 4a^{12}b^{4}$
第三步：求差：原式$=a^{12}b^{4} - 4a^{12}b^{4} = -3a^{12}b^{4}$
【答案】
(1)$x^{10}$；(2)$-\dfrac{1}{8}a^{9}b^{3}$；(3)$0$；(4)$-3a^{12}b^{4}$
【知识点】
同底数幂乘除；积的乘方与幂的乘方；整式混合运算
【点评】
本组题目属于幂运算的基础练习题，核心考查对幂运算各类法则的掌握程度，解题时需注意运算顺序和符号处理，尤其是负数乘方的符号变化，熟练记忆法则、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
这四道题均考查幂的运算与整式的混合运算，解题思路如下：首先回忆幂运算的核心法则：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；②同底数幂相除，底数不变，指数相减；③幂的乘方，底数不变，指数相乘；④积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。运算时严格遵循“先算乘方，再算乘除，最后算加减”的顺序，同时注意判断符号：负数的奇次幂为负，偶次幂为正，避免符号出错。
【解析】
(1) 先算同底数幂的乘法，再算同底数幂的除法：
原式$=x^{9+2} ÷ x = x^{11} ÷ x = x^{11-1} = x^{10}$
(2) 利用积的乘方和幂的乘方法则计算：
原式$=(-\dfrac{1}{2})^{3} · (a^{3})^{3} · b^{3} = -\dfrac{1}{8}a^{9}b^{3}$
(3) 先算除法和乘方，再算加法：
第一步：计算除法：$-x^{11} ÷ x^{2} = -x^{11-2} = -x^{9}$
第二步：计算乘方和乘法：$(-x^{4})^{2} · x = x^{8} · x = x^{9}$
第三步：求和：原式$=-x^{9} + x^{9} = 0$
(4) 先算两个乘方，再算减法：
第一步：计算$(-a^{3}b)^{4} = (-1)^{4} · (a^{3})^{4} · b^{4} = a^{12}b^{4}$
第二步：计算$(2a^{6}b^{2})^{2} = 2^{2} · (a^{6})^{2} · (b^{2})^{2} = 4a^{12}b^{4}$
第三步：求差：原式$=a^{12}b^{4} - 4a^{12}b^{4} = -3a^{12}b^{4}$
【答案】
(1)$x^{10}$；(2)$-\dfrac{1}{8}a^{9}b^{3}$；(3)$0$；(4)$-3a^{12}b^{4}$
【知识点】
同底数幂乘除；积的乘方与幂的乘方；整式混合运算
【点评】
本组题目属于幂运算的基础练习题，核心考查对幂运算各类法则的掌握程度，解题时需注意运算顺序和符号处理，尤其是负数乘方的符号变化，熟练记忆法则、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
6.计算：
(1)$-3^2+(-\dfrac{1}{3})^{-1}-(π-5)^0+|-3|$； (2)$(-6)^{20}×(\dfrac{1}{6})^{21}$。
月日 星期 天气
(1)$-3^2+(-\dfrac{1}{3})^{-1}-(π-5)^0+|-3|$； (2)$(-6)^{20}×(\dfrac{1}{6})^{21}$。
月日 星期 天气
答案
6.解:(1)原式$=-10$；
(2)原式$=\dfrac{1}{6}$。
(2)原式$=\dfrac{1}{6}$。
解析
【分析】
(1) 本题属于有理数混合运算题，解题时先分别算出乘方、负整数指数幂、零指数幂、绝对值四个部分的结果，再按从左到右的顺序做加减运算即可，注意要区分$-3^2$和$(-3)^2$的差异，避免符号出错。
(2) 本题考察幂的运算的灵活应用，解题时先把$(\frac{1}{6})^{21}$拆分为$(\frac{1}{6})^{20}×\frac{1}{6}$，再逆用积的乘方公式$a^n×b^n=(ab)^n$先算底数乘积，再计算最终结果，能简化运算过程。
【解析】
(1) 分别计算各项：
$-3^2=-9$（负号不在乘方运算范围内，底数为3），
$(-\frac{1}{3})^{-1}=\frac{1}{-\frac{1}{3}}=-3$（负整数指数幂等于对应正指数幂的倒数），
$(π-5)^0=1$（任意非零数的0次幂均为1），
$|-3|=3$（负数的绝对值是它的相反数），
代入原式计算：
原式$=-9+(-3)-1+3=-10$。
(2) 拆分项逆用积的乘方运算：
原式$=(-6)^{20}×(\frac{1}{6})^{20}×\frac{1}{6}$
$=[(-6)×\frac{1}{6}]^{20}×\frac{1}{6}$
$=(-1)^{20}×\frac{1}{6}$
$=1×\frac{1}{6}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-10}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{1}{6}}$
【知识点】
有理数混合运算，幂的运算性质，零(负)指数幂运算
【点评】
这两道是运算类基础题，核心考察各类运算规则的掌握程度，解题时要注意运算顺序和符号判断，熟练掌握幂运算的正用和逆用可有效提升运算效率和正确率。
【难度系数】
0.7
(1) 本题属于有理数混合运算题，解题时先分别算出乘方、负整数指数幂、零指数幂、绝对值四个部分的结果，再按从左到右的顺序做加减运算即可，注意要区分$-3^2$和$(-3)^2$的差异，避免符号出错。
(2) 本题考察幂的运算的灵活应用，解题时先把$(\frac{1}{6})^{21}$拆分为$(\frac{1}{6})^{20}×\frac{1}{6}$，再逆用积的乘方公式$a^n×b^n=(ab)^n$先算底数乘积，再计算最终结果，能简化运算过程。
【解析】
(1) 分别计算各项：
$-3^2=-9$（负号不在乘方运算范围内，底数为3），
$(-\frac{1}{3})^{-1}=\frac{1}{-\frac{1}{3}}=-3$（负整数指数幂等于对应正指数幂的倒数），
$(π-5)^0=1$（任意非零数的0次幂均为1），
$|-3|=3$（负数的绝对值是它的相反数），
代入原式计算：
原式$=-9+(-3)-1+3=-10$。
(2) 拆分项逆用积的乘方运算：
原式$=(-6)^{20}×(\frac{1}{6})^{20}×\frac{1}{6}$
$=[(-6)×\frac{1}{6}]^{20}×\frac{1}{6}$
$=(-1)^{20}×\frac{1}{6}$
$=1×\frac{1}{6}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-10}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{1}{6}}$
【知识点】
有理数混合运算，幂的运算性质，零(负)指数幂运算
【点评】
这两道是运算类基础题，核心考察各类运算规则的掌握程度，解题时要注意运算顺序和符号判断，熟练掌握幂运算的正用和逆用可有效提升运算效率和正确率。
【难度系数】
0.7
