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7.(○)已知$a=(\frac{1}{5})^0$，$b=(\frac{1}{10})^{-1}$，$c=(-\frac{1}{2})^{-2}$，则$a,b,c$的大小关系为 （
A.$b＜a＜c$
B.$a＜c＜b$
C.$c＜b＜a$
D.$a＜b＜c$
B
）A.$b＜a＜c$
B.$a＜c＜b$
C.$c＜b＜a$
D.$a＜b＜c$
答案
7.B
解析
【分析】
要比较a、b、c的大小，首先需要根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则，分别计算出a、b、c三个数的具体数值，再按照有理数大小比较的规则比较三者大小即可得到答案。
【解析】
第一步：计算a的值
根据零指数幂的运算法则：任何非零数的0次幂都等于1，可得：
$a=(\frac{1}{5})^0=1$
第二步：计算b的值
根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，p为正整数），可得：
$b=(\frac{1}{10})^{-1}=\frac{1}{(\frac{1}{10})^1}=10$
第三步：计算c的值
同样根据负整数指数幂的运算法则：
$c=(-\frac{1}{2})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^2}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$
第四步：比较大小
因为$1＜4＜10$，所以$a＜c＜b$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
零指数幂运算；负整数指数幂运算；有理数大小比较
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查指数幂的相关运算法则，只要熟练掌握零指数、负整数指数幂的运算规则，准确计算出各数值后即可快速比较大小得出结果。
【难度系数】
0.8
要比较a、b、c的大小，首先需要根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则，分别计算出a、b、c三个数的具体数值，再按照有理数大小比较的规则比较三者大小即可得到答案。
【解析】
第一步：计算a的值
根据零指数幂的运算法则：任何非零数的0次幂都等于1，可得：
$a=(\frac{1}{5})^0=1$
第二步：计算b的值
根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，p为正整数），可得：
$b=(\frac{1}{10})^{-1}=\frac{1}{(\frac{1}{10})^1}=10$
第三步：计算c的值
同样根据负整数指数幂的运算法则：
$c=(-\frac{1}{2})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^2}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$
第四步：比较大小
因为$1＜4＜10$，所以$a＜c＜b$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
零指数幂运算；负整数指数幂运算；有理数大小比较
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查指数幂的相关运算法则，只要熟练掌握零指数、负整数指数幂的运算规则，准确计算出各数值后即可快速比较大小得出结果。
【难度系数】
0.8
8.已知$3m+2n-3=0$，则$2^{3m} × 4^n$的值是 （
A.$-\dfrac{1}{8}$
B.$\dfrac{1}{8}$
C.$-8$
D.$8$
D
）A.$-\dfrac{1}{8}$
B.$\dfrac{1}{8}$
C.$-8$
D.$8$
答案
8.D
解析
【分析】
解题时首先从已知等式入手，通过移项求出3m+2n的值；再观察所求代数式的底数，发现4可以写成2的平方，利用幂的乘方的性质把4ⁿ转化为以2为底的幂，再根据同底数幂的乘法法则将两个同底数幂合并，最后把3m+2n的值整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：由已知条件$3m+2n-3=0$，移项可得：
$3m+2n=3$
对所求代数式变形：
$\because 4=2^2$
$\therefore 4^n=(2^2)^n=2^{2n}$
代入原式可得：
$2^{3m} × 4^n=2^{3m} × 2^{2n}$
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得：
$2^{3m} × 2^{2n}=2^{3m+2n}$
将$3m+2n=3$代入上式：
$2^{3m+2n}=2^3=8$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；整体代入求值
【点评】
本题是幂的运算的基础应用类题目，解题的核心是熟练掌握幂的相关运算法则，将不同底数的幂转化为同底数幂，再结合已知条件整体代入计算，运算量小，思路清晰，是幂运算章节的典型考题。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知等式入手，通过移项求出3m+2n的值；再观察所求代数式的底数，发现4可以写成2的平方，利用幂的乘方的性质把4ⁿ转化为以2为底的幂，再根据同底数幂的乘法法则将两个同底数幂合并，最后把3m+2n的值整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：由已知条件$3m+2n-3=0$，移项可得：
$3m+2n=3$
对所求代数式变形：
$\because 4=2^2$
$\therefore 4^n=(2^2)^n=2^{2n}$
代入原式可得：
$2^{3m} × 4^n=2^{3m} × 2^{2n}$
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得：
$2^{3m} × 2^{2n}=2^{3m+2n}$
将$3m+2n=3$代入上式：
$2^{3m+2n}=2^3=8$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；整体代入求值
【点评】
本题是幂的运算的基础应用类题目，解题的核心是熟练掌握幂的相关运算法则，将不同底数的幂转化为同底数幂，再结合已知条件整体代入计算，运算量小，思路清晰，是幂运算章节的典型考题。
【难度系数】
0.8
9.在数学中,我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题.在解题过程中,根据算式的结构特征,逆向运用幂的运算法则,常可化繁为简,化难为易,使问题巧妙获解.如:
根据上述材料,解决下列问题:
(1)若$3^{a+2}×6^{a+2}=18^{2a-4}$,求$a$的值;
(2)已知$x^a=2,x^b=4,x^c=8$,求$x^{a+2b-c}$的值.
根据上述材料,解决下列问题:
(1)若$3^{a+2}×6^{a+2}=18^{2a-4}$,求$a$的值;
(2)已知$x^a=2,x^b=4,x^c=8$,求$x^{a+2b-c}$的值.
答案
9.解:(1)因为$3^{a+2}×6^{a+2}=(3×6)^{a+2}=18^{a+2}=18^{2a-4}$,
所以$a+2=2a-4$,解得$a=6$。
(2)因为$x^a=2,x^b=4,x^c=8$,
所以$x^{a+2b-c}=x^a · x^{2b} ÷ x^c =x^a · (x^b)^2 ÷ x^c =2×4^2 ÷8=4$。
所以$a+2=2a-4$,解得$a=6$。
(2)因为$x^a=2,x^b=4,x^c=8$,
所以$x^{a+2b-c}=x^a · x^{2b} ÷ x^c =x^a · (x^b)^2 ÷ x^c =2×4^2 ÷8=4$。
解析
【分析】
(1) 观察等式左边是底数不同、指数相同的两个幂相乘，可逆向运用积的乘方法则将左边合并为底数为18的幂，此时等式左右两边底数相同，根据“同底数的幂相等时指数相等”，列一元一次方程即可求出a的值。
(2) 要求$x^{a+2b-c}$的值，可逆向运用同底数幂的乘除法则与幂的乘方法则，将所求式子拆分为$x^a·(x^b)^2÷x^c$的形式，再代入已知数值计算即可。
【解析】
(1) 逆用积的乘方法则，可得：
$3^{a+2}×6^{a+2}=(3×6)^{a+2}=18^{a+2}$
结合题意得$18^{a+2}=18^{2a-4}$
因为底数相同的幂相等时，指数相等，所以：
$a+2=2a-4$
移项解得：$a=6$
(2) 逆用同底数幂的乘除法则和幂的乘方法则，将所求式子变形：
$x^{a+2b-c}=x^a · x^{2b} ÷ x^c =x^a · (x^b)^2 ÷ x^c$
把$x^a=2,x^b=4,x^c=8$代入上式：
原式$=2×4^2 ÷8=2×16÷8=4$
【答案】
(1) $\boldsymbol{a=6}$；(2) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
积的乘方运算、同底数幂乘除运算、幂的乘方运算
【点评】
本题核心考查幂的运算法则的逆向运用，解题时需要根据式子的结构特征灵活选择合适的幂运算法则变形，熟练掌握各类幂运算公式是解题的前提，这类题型能有效锻炼逆向思维能力。
【难度系数】
0.7
(1) 观察等式左边是底数不同、指数相同的两个幂相乘，可逆向运用积的乘方法则将左边合并为底数为18的幂，此时等式左右两边底数相同，根据“同底数的幂相等时指数相等”，列一元一次方程即可求出a的值。
(2) 要求$x^{a+2b-c}$的值，可逆向运用同底数幂的乘除法则与幂的乘方法则，将所求式子拆分为$x^a·(x^b)^2÷x^c$的形式，再代入已知数值计算即可。
【解析】
(1) 逆用积的乘方法则，可得：
$3^{a+2}×6^{a+2}=(3×6)^{a+2}=18^{a+2}$
结合题意得$18^{a+2}=18^{2a-4}$
因为底数相同的幂相等时，指数相等，所以：
$a+2=2a-4$
移项解得：$a=6$
(2) 逆用同底数幂的乘除法则和幂的乘方法则，将所求式子变形：
$x^{a+2b-c}=x^a · x^{2b} ÷ x^c =x^a · (x^b)^2 ÷ x^c$
把$x^a=2,x^b=4,x^c=8$代入上式：
原式$=2×4^2 ÷8=2×16÷8=4$
【答案】
(1) $\boldsymbol{a=6}$；(2) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
积的乘方运算、同底数幂乘除运算、幂的乘方运算
【点评】
本题核心考查幂的运算法则的逆向运用，解题时需要根据式子的结构特征灵活选择合适的幂运算法则变形，熟练掌握各类幂运算公式是解题的前提，这类题型能有效锻炼逆向思维能力。
【难度系数】
0.7
