如图，四边形ABCD为矩形纸片，E， F分别为AB，DC上的点，将此矩形两次翻折，EM和FN为折痕，其中 $ A^{\prime} $ $ D^{\prime} $分别为 A，D的对应点，且点 $ A^{\prime} $在射线EF上； $ B^{\prime} $ $ C^{\prime} $分别为B，C的对应点，且点 $ C^{\prime} $在射线 FE上.
(1) 求证：四边形ENFM为平行四边形；
(2) 若四边形 ENFM为菱形，求 $ ∠ E M F $的度数.

(1) 证明 因为四边形ABCD是矩形，所以 AB//CD. 所以 $ ∠ C F E=∠ A E F. $
由翻折可得 $ ∠ A E M=∠ M E F $ ， $ ∠ C F N=∠ E F N. $
所以 $ ∠ M E F=∠ E F N $ ，所以ME//FN.
所以四边形 ENFM为平行四边形.
(2) 解 因为四边形ENFM为菱形，所以 MF=ME.所以 $ ∠ M F E=∠ M E F. $
因为 $ AB / / CD $ ，所以 $ ∠ MFE=∠ FEN $ $ ∠ AEM=∠ EMF. $
因为 $ ∠ A E M=∠ M E F $ ， $ ∠ A E M+∠ M E F+∠ F E N=1 8 0° $
所以 $ ∠ A E M=6 0° $所以 $ ∠ E M F=6 0°. $

(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB//CD，
∴ ∠CFE=∠AEF.
由翻折的性质得：∠AEM=∠MEF，∠CFN=∠EFN，
∴ ∠MEF=∠EFN，
∴ ME//FN.
又∵ AB//CD，即EN//FM，
∴ 四边形ENFM为平行四边形.
(2) 解：
∵ 四边形ENFM为菱形，
∴ MF=ME，
∴ ∠MFE=∠MEF.
∵ AB//CD，
∴ ∠MFE=∠FEN，∠EMF=∠AEM.
由翻折的性质得∠AEM=∠MEF，
∴ ∠AEM=∠MEF=∠FEN.
∵ ∠AEM+∠MEF+∠FEN=180°，
∴ ∠AEM=60°，
∴ ∠EMF=60°.

8. 如图，在矩形纸片 ABCD中， $ AD= 1 8 $ ， $ AB=6 $ ，将其折叠，使点 D与点 B重合，折痕为 EF，那么折痕 EF的长为( )


A.3
B.$ \sqrt{6} $
C.$ \sqrt{1 0} $
D.$ 2 \sqrt{1 0} $

8. D

9. 如图，在矩形 ABCD中， $ A B=4 $ $ B C=8 $ . 将该矩形沿对角线 BD折叠，则图中阴影部分的面积是_______.

专题六 四边形动点问题

9. 10

如图， $ \Box ABCD $的对角线AC，BD相交于点O， $ AC=20\mathrm{cm} $ $ BD=12\mathrm{cm} $ E，F是对角线AC上的两个动点，点E从点A开始向点C匀速运动，点F从点C开始向点A匀速运动，点E和点F同时出发，且运动速度均为 $ 2\mathrm{cm / s}. $
(1) 求证：当点 E，F运动过程中不与点 O重合时，四边形BEDF是平行四边形；
(2) 若四边形 BEDF为矩形，求动点 E，F运动的时间.

(1) 证明如图，连接BE，BF，DE，DF.

根据题意，得 $ A E=C F. $
因为 $ \Box ABCD $的对角线AC，BD相交于点O，所以 OD=OB，OA=OC.
当点 F在OC上，点 E在OA上时， $ OA-AE=OC-CF $ ，即 OE=OF，所以四边形 BEDF是平行四边形.
当点 F在 OA上，点 E在 OC上时， $ A E-O A=C F-O C $ ，即 OE=OF，所以四边形 BEDF是平行四边形.
所以当点 E，F运动过程中不与点 O重合时，四边形 BEDF是平行四边形.
(2) 解 当点 E在 OA上，点 F在 OC上，且 EF=BD=12 cm时，四边形 BEDF为矩形.
设运动时间为 t s，所以 $ A E=C F= 2 t $ cm.所以 $ E F=(2 0-4 t) $ cm.即 $ 2 0-4 t= 1 2. $ 解得 t=2.
当点 F在 OA上，点 E在 OC上，且 EF=BD=12 cm时，四边形 BEDF为矩形所以 EF=（4t-20）cm。即 4t-20=12.解得 t=8.
所以当四边形 BEDF为矩形时，动点 E，F运动的时间为2s或8s.

(1) 证明：
连接$BE$，$BF$，$DE$，$DF$。
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$OD=OB$，$OA=OC$。
∵点$E$、$F$同时出发且运动速度均为$2\mathrm{cm/s}$，
∴$AE=CF$。
当点$F$在$OC$上，点$E$在$OA$上时，
$OA-AE=OC-CF$，即$OE=OF$，
又∵$OD=OB$，
∴四边形$BEDF$是平行四边形。
当点$F$在$OA$上，点$E$在$OC$上时，
$AE-OA=CF-OC$，即$OE=OF$，
又∵$OD=OB$，
∴四边形$BEDF$是平行四边形。
综上，当点$E$，$F$运动过程中不与点$O$重合时，四边形$BEDF$是平行四边形。
(2) 解：
设运动时间为$t\ \mathrm{s}$，则$AE=CF=2t\ \mathrm{cm}$。
∵四边形$BEDF$为矩形，
∴$EF=BD=12\mathrm{cm}$。
①当点$E$在$OA$上，点$F$在$OC$上时，
$EF=AC-AE-CF=20-4t$，
则$20-4t=12$，
解得$t=2$。
②当点$F$在$OA$上，点$E$在$OC$上时，
$EF=AE+CF-AC=4t-20$，
则$4t-20=12$，
解得$t=8$。
综上，当四边形$BEDF$为矩形时，动点$E$，$F$运动的时间为$2\mathrm{s}$或$8\mathrm{s}$。