5. 如图,矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为$A(1,3),B(4,3),C(4,1)$.若直线$y=x+b$平分矩形ABCD的周长,则$b$的值为()

A.$-\dfrac{1}{2}$
B.$-1$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$2$

A

1. 由矩形顶点A(1,3)、B(4,3)、C(4,1)，可得第四个顶点D的坐标为(1,1)。
2. 矩形是中心对称图形，平分矩形周长的直线必经过矩形的对称中心（对角线交点）。
3. 计算矩形对角线的中点坐标：横坐标为$\frac{1+4}{2}=\frac{5}{2}$，纵坐标为$\frac{3+1}{2}=2$，即对称中心为$(\frac{5}{2},2)$。
4. 将点$(\frac{5}{2},2)$代入直线$y=x+b$，得$2=\frac{5}{2}+b$，解得$b=-\frac{1}{2}$。

6. 如图,在矩形ABCD中,AB=30 cm,动点P从点A出发沿AB边以5 cm/s的速度向点B运动,动点Q从点C出发沿CD边以1 cm/s的速度向点D运动,点P和点Q同时出发,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设运动时间为t,则当t=()s时,四边形APQD是矩形.


A.3
B.4
C.5
D.6

C

在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB//CD，CD=AB=30cm。要使四边形APQD为矩形，只需满足AP=DQ即可。由运动速度可得：AP=5t cm，CQ=t cm，因此DQ=(30 - t)cm。列方程：5t = 30 - t，解得t=5，该值在运动时间的取值范围内，符合要求。

二、填空题
1. 如图，在菱形ABCD中，两条对角线$AC=4\sqrt{3}$，$BD=4$，点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则$\frac{1}{2}AP + PD$的最小值为。

解：
设菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，OA = $\frac{1}{2}$AC = $2\sqrt{3}$，OD = $\frac{1}{2}$BD = 2。
在Rt△AOD中，AD = $\sqrt{OA^2 + OD^2}$ = $\sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 2^2}$ = 4，
∴ OD = $\frac{1}{2}$AD，可得∠OAD = 30°。
过点P作PE⊥AB于E，在Rt△APE中，PE = AP·sin30° = $\frac{1}{2}$AP，
因此$\frac{1}{2}AP + PD$ = PE + PD。
由垂线段最短可知，当D、P、E三点共线，且DE⊥AB时，PE+PD取得最小值，该最小值为DE的长度。
由菱形面积公式：$S_{菱形ABCD}$ = $\frac{1}{2}$·AC·BD = AB·DE，
代入数值：$\frac{1}{2} × 4\sqrt{3} × 4$ = 4·DE，
解得DE = $2\sqrt{3}$。
∴ $\frac{1}{2}AP + PD$的最小值为$2\sqrt{3}$。

2. 如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=5,把矩形ABCD绕点C旋转,得到矩形CEFG且点B的对应点E恰好落在AD上,连接BG交CE于点H,则BH的长为.

$\boldsymbol{\sqrt{13}}$

解：
连接BE，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $AB=CD=3$，$AD=BC=5$，$∠ A=∠ D=90°$，
由旋转性质得：$CE=BC=5$，$CG=CD=3$，$∠ ECG=∠ BCD=90°$。
在$Rt△ CDE$中，
$DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
$\therefore AE=AD-DE=5-4=1$。
建立平面直角坐标系：设$B(0,0)$，$A(0,3)$，$C(5,0)$，$D(5,3)$，
则点E在AD上，坐标为$(1,3)$。
设直线CE的解析式为$y=kx+b$，代入$C(5,0)$、$E(1,3)$得：
$\begin{cases} 0=5k+b \\ 3=k+b \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=-\dfrac{3}{4} \\ b=\dfrac{15}{4} \end{cases}$，
即直线CE的解析式为$y=-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{15}{4}$。
过G作$GN⊥ BC$交BC延长线于N，
由$∠ GCN+∠ ECD=90°$，$∠ CED+∠ ECD=90°$，得$∠ GCN=∠ CED$，
又$∠ GNC=∠ D=90°$，$CG=CD=3$，
$\therefore △ GCN ∼ △ CED$，
$\therefore \dfrac{CN}{ED}=\dfrac{GN}{CD}=\dfrac{CG}{CE}=\dfrac{3}{5}$，
$\therefore CN=\dfrac{12}{5}$？不对，修正得$CN=\dfrac{9}{5}$，$GN=\dfrac{12}{5}$，
$\therefore G$点坐标为$(5+\dfrac{9}{5},\dfrac{12}{5})=(\dfrac{34}{5},\dfrac{12}{5})$。
直线BG过原点，解析式为$y=\dfrac{6}{17}x$，
联立两直线方程：
$\begin{cases} y=\dfrac{6}{17}x \\ y=-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{15}{4} \end{cases}$，
解得$\begin{cases} x=\dfrac{17}{5} \\ y=\dfrac{6}{5} \end{cases}$，即$H(\dfrac{17}{5},\dfrac{6}{5})$。
$\therefore BH=\sqrt{(\dfrac{17}{5})^2+(\dfrac{6}{5})^2}=\sqrt{\dfrac{289+36}{25}}=\sqrt{13}$。
最终

3. 如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,矩形OBCD的顶点C的坐标为(6,4),反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过对角线OC的中点A,分别交边CD,BC于E,F,则$△ OEF$的面积为.

解：
∵ 矩形OBCD顶点C的坐标为$(6,4)$，O为坐标原点，A是OC的中点
∴ 点A的坐标为$(3,2)$
将$A(3,2)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$2=\frac{k}{3}$，解得$k=6$
∴ 反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$
∵ 点E在边CD上，CD上所有点的纵坐标为4
令$y=4$，代入$y=\frac{6}{x}$，得$x=\frac{3}{2}$，即$E(\frac{3}{2},4)$
∵ 点F在边BC上，BC上所有点的横坐标为6
令$x=6$，代入$y=\frac{6}{x}$，得$y=1$，即$F(6,1)$
矩形OBCD的面积为$6×4=24$
$S_{△ ODE}=\frac{1}{2}×4×\frac{3}{2}=3$
$S_{△ OBF}=\frac{1}{2}×6×1=3$
$S_{△ ECF}=\frac{1}{2}×(6-\frac{3}{2})×(4-1)=\frac{27}{4}$
∴ $S_{△ OEF}=24 - 3 - 3 - \frac{27}{4}=\frac{45}{4}$
$\frac{45}{4}$

4. 如图,矩形ABCD的边AB在x轴上,且过原点,连接OC.将△OBC沿OC翻折,点B的对应点B'恰好落在边AD上.若点B'的坐标为(3,4),则点C的坐标为.

解：
∵ 点B'的坐标为(3,4)，由勾股定理得 $OB' = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。
由翻折的性质可知：$OB = OB' = 5$，$BC = B'C$。
∵ 四边形ABCD是矩形，边AB在x轴上，B'在AD上，
∴ $AD ⊥ x$轴，点A的横坐标与B'的横坐标相同，即$A(3,0)$，且$BC ⊥ AB$。
∵ 边AB过原点，$OB=5$，点B在x轴负半轴，
∴ 点B的坐标为$(-5, 0)$。
设点C的坐标为$(-5, b)$，则$BC = b$，$B'C = b$。
列方程得：$\sqrt{(-5-3)^2 + (b-4)^2} = b$，
两边平方：$64 + (b-4)^2 = b^2$，
展开化简：$80 - 8b = 0$，
解得：$b=10$。
∴ 点C的坐标为 $\boldsymbol{(-5, 10)}$。