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1. 如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,P为矩形边上的一个动点,运动路线是A→B→C→D→A,设P点经过的路程为x,以A,P,B为顶点的三角形面积为y,则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是()
答案
$\boldsymbol{B}$
解析
解：分阶段分析函数关系：
1. 当$0 ≤ x ≤ 2$时，点$P$在$AB$上运动，$A,P,B$三点共线，无法构成三角形，此时$y=0$。
2. 当$2 ＜ x ≤ 6$时，点$P$在$BC$上运动，$BP = x-2$，可得：
$y = \frac{1}{2} · AB · BP = \frac{1}{2} × 2 × (x-2) = x-2$，
$y$随$x$增大而增大，当$x=6$时，$y=4$。
3. 当$6 ＜ x ≤ 8$时，点$P$在$CD$上运动，$△ APB$的底为$AB=2$，高等于$BC=4$，因此：
$y = \frac{1}{2} × 2 × 4 = 4$，$y$的值保持恒定。
4. 当$8 ＜ x ≤ 12$时，点$P$在$DA$上运动，$AP = 12-x$，可得：
$y = \frac{1}{2} · AB · AP = \frac{1}{2} × 2 × (12-x) = 12-x$，
$y$随$x$增大而减小，当$x=12$时，$y=0$。
对照选项特征，符合上述规律的是选项B。
1. 当$0 ≤ x ≤ 2$时，点$P$在$AB$上运动，$A,P,B$三点共线，无法构成三角形，此时$y=0$。
2. 当$2 ＜ x ≤ 6$时，点$P$在$BC$上运动，$BP = x-2$，可得：
$y = \frac{1}{2} · AB · BP = \frac{1}{2} × 2 × (x-2) = x-2$，
$y$随$x$增大而增大，当$x=6$时，$y=4$。
3. 当$6 ＜ x ≤ 8$时，点$P$在$CD$上运动，$△ APB$的底为$AB=2$，高等于$BC=4$，因此：
$y = \frac{1}{2} × 2 × 4 = 4$，$y$的值保持恒定。
4. 当$8 ＜ x ≤ 12$时，点$P$在$DA$上运动，$AP = 12-x$，可得：
$y = \frac{1}{2} · AB · AP = \frac{1}{2} × 2 × (12-x) = 12-x$，
$y$随$x$增大而减小，当$x=12$时，$y=0$。
对照选项特征，符合上述规律的是选项B。
2. 如图,在菱形ABCD中,AB=3,∠DAB=60°,AE=1,点P为对角线AC上的一个动点,则PE+PB的最小值为()
A.2
B.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
C.$\sqrt{7}$
D.$2\sqrt{2}$
A.2
B.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
C.$\sqrt{7}$
D.$2\sqrt{2}$
答案
C
解析
1. 根据菱形的性质，点B与点D关于对角线AC对称，因此PB=PD，可得PE+PB=PE+PD，当D、P、E三点共线时，PE+PD取得最小值，该最小值即为线段DE的长度。
2. 过点D作DF⊥AB于点F，在Rt△ADF中，AD=AB=3，∠DAB=60°，计算得AF=AD·cos60°= 3/2，DF=AD·sin60°= 3√3/2。
3. 已知AE=1，因此EF=AF - AE= 3/2 -1= 1/2。
4. 在Rt△DEF中，由勾股定理得DE=√(DF² + EF²)=√[( (3√3)/2 )² + (1/2)² ]=√7，即PE+PB的最小值为√7。
2. 过点D作DF⊥AB于点F，在Rt△ADF中，AD=AB=3，∠DAB=60°，计算得AF=AD·cos60°= 3/2，DF=AD·sin60°= 3√3/2。
3. 已知AE=1，因此EF=AF - AE= 3/2 -1= 1/2。
4. 在Rt△DEF中，由勾股定理得DE=√(DF² + EF²)=√[( (3√3)/2 )² + (1/2)² ]=√7，即PE+PB的最小值为√7。
3. 如图，$△ ABC$的边$BC$的长为$\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$. 将$△ ABC$向上平移$\frac{\sqrt{5}}{2}\ \mathrm{cm}$得到$△ A'B'C'$，且$BB' ⊥ BC$，则阴影部分的面积为()
A.$\frac{3\sqrt{5}}{2}\ \mathrm{cm}^2$
B.$\frac{5\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}^2$
C.$\frac{3}{2}\ \mathrm{cm}^2$
D.$\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}^2$
A.$\frac{3\sqrt{5}}{2}\ \mathrm{cm}^2$
B.$\frac{5\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}^2$
C.$\frac{3}{2}\ \mathrm{cm}^2$
D.$\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}^2$
答案
D
解析
根据平移的性质，可得△A'B'C'≌△ABC，因此$S_{△ A'B'C'}=S_{△ ABC}$。
由平移可知$B'C'=BC=\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，且$B'C'// BC$，结合已知$BB'⊥ BC$，$BB'=\frac{\sqrt{5}}{2}\ \mathrm{cm}$，可得四边形$B'BCC'$是矩形。
阴影部分面积$=S_{△ A'B'C'}+S_{\mathrm{矩形}B'BCC'}-S_{△ ABC}=S_{\mathrm{矩形}B'BCC'}=BC× BB'=\sqrt{5}×\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}^2$。
由平移可知$B'C'=BC=\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，且$B'C'// BC$，结合已知$BB'⊥ BC$，$BB'=\frac{\sqrt{5}}{2}\ \mathrm{cm}$，可得四边形$B'BCC'$是矩形。
阴影部分面积$=S_{△ A'B'C'}+S_{\mathrm{矩形}B'BCC'}-S_{△ ABC}=S_{\mathrm{矩形}B'BCC'}=BC× BB'=\sqrt{5}×\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}^2$。
4. 如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,且$AE=\frac{1}{3}AB$. 将矩形ABCD沿直线EF折叠,使点B恰好落在边AD上的点P处,连接BP交EF于点Q. 现有下列结论:①$EF=2BE$;②$PF=2PE$;③$FQ=4EQ$;④$△ PBF$是等边三角形. 正确的有()
A.①②
B.②③
C.①③
D.①④
A.①②
B.②③
C.①③
D.①④
答案
D
解析
由已知$AE=\frac{1}{3}AB$，得$BE=2AE$，根据折叠性质得$PE=BE$，因此$PE=2AE$。
在$Rt△ AEP$中，$∠ A=90°$，$PE=2AE$，可得$∠ APE=30°$，$∠ AEP=60°$，进而得$∠ BEP=120°$。
由折叠性质，$∠ PEF=∠ BEF=60°$，在$Rt△ EBF$中，$∠ EBF=90°$，$∠ BEF=60°$，得$∠ EFB=30°$，因此$EF=2BE$，结论①正确。
由折叠得$PF=BF$，在$Rt△ EBF$中，$BF=\sqrt{3}BE=\sqrt{3}PE$，即$PF=\sqrt{3}PE\ne2PE$，结论②错误。
由折叠性质，$∠ PFE=∠ BFE=30°$，得$∠ PFB=60°$，又$PF=BF$，因此$△ PBF$是等边三角形，结论④正确。
由折叠得$EF⊥ BP$，在$Rt△ BEQ$中，$∠ BEQ=60°$，得$EQ=\frac{1}{2}BE$，又$EF=2BE$，因此$FQ=EF-EQ=\frac{3}{2}BE$，即$FQ=3EQ\ne4EQ$，结论③错误。
综上正确的是①④。
在$Rt△ AEP$中，$∠ A=90°$，$PE=2AE$，可得$∠ APE=30°$，$∠ AEP=60°$，进而得$∠ BEP=120°$。
由折叠性质，$∠ PEF=∠ BEF=60°$，在$Rt△ EBF$中，$∠ EBF=90°$，$∠ BEF=60°$，得$∠ EFB=30°$，因此$EF=2BE$，结论①正确。
由折叠得$PF=BF$，在$Rt△ EBF$中，$BF=\sqrt{3}BE=\sqrt{3}PE$，即$PF=\sqrt{3}PE\ne2PE$，结论②错误。
由折叠性质，$∠ PFE=∠ BFE=30°$，得$∠ PFB=60°$，又$PF=BF$，因此$△ PBF$是等边三角形，结论④正确。
由折叠得$EF⊥ BP$，在$Rt△ BEQ$中，$∠ BEQ=60°$，得$EQ=\frac{1}{2}BE$，又$EF=2BE$，因此$FQ=EF-EQ=\frac{3}{2}BE$，即$FQ=3EQ\ne4EQ$，结论③错误。
综上正确的是①④。
