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23. 阅读下列材料，然后回答问题.
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：$[\mathrm{图1}]$
以上这种化简的步骤叫作分母有理化.
（1）化简：$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$.
（2）已知$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$的整数部分为$a$，小数部分为$b$，求$a^2+b^2$的值.
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：$[\mathrm{图1}]$
以上这种化简的步骤叫作分母有理化.
（1）化简：$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$.
（2）已知$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$的整数部分为$a$，小数部分为$b$，求$a^2+b^2$的值.
答案
（1）$\sqrt{5}-\sqrt{3}$；（2）$13-2\sqrt{3}$
解析
【分析】
（1）本题考查分母有理化的应用，解题思路是利用平方差公式，给分子分母同乘分母的有理化因式$\sqrt{5}-\sqrt{3}$，将分母化为有理数后约分即可得到化简结果。
（2）首先先对$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$进行分母有理化，再根据$\sqrt{3}$的取值范围估算化简后结果的大小，确定其整数部分$a$和小数部分$b$，最后将$a$、$b$代入$a^2+b^2$计算即可。
【解析】
（1）化简$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$：
给分子分母同乘$\sqrt{5}-\sqrt{3}$，得：
$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{2×(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}$
根据平方差公式，分母$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})=(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2=5-3=2$，代入得：
$\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{2}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$
（2）先化简$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$：
给分子分母同乘$2+\sqrt{3}$，得：
$\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{1×(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}$
因为$1＜\sqrt{3}＜2$，所以$3＜2+\sqrt{3}＜4$，因此它的整数部分$a=3$，小数部分$b=(2+\sqrt{3})-3=\sqrt{3}-1$。
代入$a^2+b^2$计算：
$a^2+b^2=3^2+(\sqrt{3}-1)^2=9 + [(\sqrt{3})^2 - 2×\sqrt{3}×1 +1^2]=9 + (3-2\sqrt{3}+1)=13-2\sqrt{3}$
【答案】
（1）$\sqrt{5}-\sqrt{3}$；（2）$13-2\sqrt{3}$
【知识点】
分母有理化，二次根式运算，无理数估算
【点评】
本题属于二次根式的综合应用题型，核心考点为分母有理化的运算方法和无理数的整数、小数部分的判定，解题的关键是熟练掌握平方差公式在分母有理化中的应用，同时要注意无理数的小数部分等于该数减去其整数部分，是二次根式章节的常规考法。
【难度系数】
0.7
（1）本题考查分母有理化的应用，解题思路是利用平方差公式，给分子分母同乘分母的有理化因式$\sqrt{5}-\sqrt{3}$，将分母化为有理数后约分即可得到化简结果。
（2）首先先对$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$进行分母有理化，再根据$\sqrt{3}$的取值范围估算化简后结果的大小，确定其整数部分$a$和小数部分$b$，最后将$a$、$b$代入$a^2+b^2$计算即可。
【解析】
（1）化简$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$：
给分子分母同乘$\sqrt{5}-\sqrt{3}$，得：
$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{2×(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}$
根据平方差公式，分母$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})=(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2=5-3=2$，代入得：
$\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{2}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$
（2）先化简$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$：
给分子分母同乘$2+\sqrt{3}$，得：
$\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{1×(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}$
因为$1＜\sqrt{3}＜2$，所以$3＜2+\sqrt{3}＜4$，因此它的整数部分$a=3$，小数部分$b=(2+\sqrt{3})-3=\sqrt{3}-1$。
代入$a^2+b^2$计算：
$a^2+b^2=3^2+(\sqrt{3}-1)^2=9 + [(\sqrt{3})^2 - 2×\sqrt{3}×1 +1^2]=9 + (3-2\sqrt{3}+1)=13-2\sqrt{3}$
【答案】
（1）$\sqrt{5}-\sqrt{3}$；（2）$13-2\sqrt{3}$
【知识点】
分母有理化，二次根式运算，无理数估算
【点评】
本题属于二次根式的综合应用题型，核心考点为分母有理化的运算方法和无理数的整数、小数部分的判定，解题的关键是熟练掌握平方差公式在分母有理化中的应用，同时要注意无理数的小数部分等于该数减去其整数部分，是二次根式章节的常规考法。
【难度系数】
0.7
24. 如图，四边形ABCD是矩形，把$△ ACD$沿AC折叠到$△ ACD'$，$AD'$与BC交于点E. 若$AD=4$，$DC=3$，求BE的长.
答案
$\frac{7}{8}$
解析
【分析】
解题时首先结合矩形的性质得到边和角的关系，再利用折叠前后对应角相等的性质，推导得出AE=EC，将问题转化到直角三角形ABE中，最后设未知数结合勾股定理列方程求解即可。具体思考步骤：1. 回忆矩形性质：对边平行且相等，四个角为直角，可得到AD//BC，∠B=90°，AB=3，BC=4；2. 折叠后∠DAC=∠D'AC，结合AD//BC的内错角相等，可得∠EAC=∠ECA，即AE=CE；3. 设BE为x，用含x的式子表示AE，在Rt△ABE中用勾股定理列方程求解。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC=3，BC=AD=4，AD//BC，∠B=90°，
∴∠DAC=∠ACB（两直线平行，内错角相等）。
由折叠的性质可得：∠DAC=∠D'AC，
∴∠D'AC=∠ACB，
∴AE=EC（等角对等边）。
设BE的长为x，则EC=BC - BE=4 - x，
∴AE=4 - x。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AB^2 + BE^2 = AE^2$，
代入数值得：$3^2 + x^2 = (4 - x)^2$，
展开得：$9 + x^2 = 16 - 8x + x^2$，
消去$x^2$后整理得：$8x = 7$，
解得：$x=\frac{7}{8}$。
【答案】
$\frac{7}{8}$
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题是典型的几何折叠类计算题，解题核心是利用折叠的对称性和矩形的性质推导出线段相等关系，再通过勾股定理建立方程求解，很好地体现了数形结合和方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合矩形的性质得到边和角的关系，再利用折叠前后对应角相等的性质，推导得出AE=EC，将问题转化到直角三角形ABE中，最后设未知数结合勾股定理列方程求解即可。具体思考步骤：1. 回忆矩形性质：对边平行且相等，四个角为直角，可得到AD//BC，∠B=90°，AB=3，BC=4；2. 折叠后∠DAC=∠D'AC，结合AD//BC的内错角相等，可得∠EAC=∠ECA，即AE=CE；3. 设BE为x，用含x的式子表示AE，在Rt△ABE中用勾股定理列方程求解。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC=3，BC=AD=4，AD//BC，∠B=90°，
∴∠DAC=∠ACB（两直线平行，内错角相等）。
由折叠的性质可得：∠DAC=∠D'AC，
∴∠D'AC=∠ACB，
∴AE=EC（等角对等边）。
设BE的长为x，则EC=BC - BE=4 - x，
∴AE=4 - x。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AB^2 + BE^2 = AE^2$，
代入数值得：$3^2 + x^2 = (4 - x)^2$，
展开得：$9 + x^2 = 16 - 8x + x^2$，
消去$x^2$后整理得：$8x = 7$，
解得：$x=\frac{7}{8}$。
【答案】
$\frac{7}{8}$
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题是典型的几何折叠类计算题，解题核心是利用折叠的对称性和矩形的性质推导出线段相等关系，再通过勾股定理建立方程求解，很好地体现了数形结合和方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
