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25. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG//EF.
（1）求证：四边形OEFG是矩形.
（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长.
（1）求证：四边形OEFG是矩形.
（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长.
答案
OE的长为5，BG的长为2。
解析
【分析】
（1）要证明四边形OEFG是矩形，可先判定它是平行四边形，再证明其中一个内角为直角即可。首先根据菱形的性质得出O是BD中点，结合E是AD中点，可得OE是△ABD的中位线，推出OE//AB，再结合已知OG//EF，即可判定四边形OEFG是平行四边形，最后由EF⊥AB得到∠EFG=90°，即可证得该平行四边形是矩形。
（2）求OE的长：菱形对角线互相垂直，因此△AOD是直角三角形，E是斜边AD的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求出OE；求BG的长：先在Rt△AEF中用勾股定理求出AF的长度，再根据矩形的性质得FG=OE，结合菱形边长AB=AD，用AB减去AF和FG的长度即可得到BG的长。
【解析】
（1）证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD，AB=AD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE//AB，
又
∵OG//EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG=90°，
∴平行四边形OEFG是矩形。
（2）解：①求OE的长度：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠AOD=90°，
∵E是AD的中点，
∴OE=½AD（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∵AD=10，
∴OE=½×10=5。
②求BG的长度：
∵E是AD中点，AD=10，
∴AE=½AD=5，
在Rt△AEF中，EF=4，AE=5，由勾股定理可得：
$AF=\sqrt{AE^2-EF^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
∵四边形OEFG是矩形，
∴FG=OE=5，
∵菱形ABCD中AB=AD=10，
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2。
【答案】
OE的长为5，BG的长为2。
【知识点】
菱形的性质；矩形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于四边形基础综合题，解题的关键是灵活运用菱形、矩形的性质定理，结合直角三角形的相关性质和勾股定理逐步推导线段长度，对几何图形的性质识记和应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
（1）要证明四边形OEFG是矩形，可先判定它是平行四边形，再证明其中一个内角为直角即可。首先根据菱形的性质得出O是BD中点，结合E是AD中点，可得OE是△ABD的中位线，推出OE//AB，再结合已知OG//EF，即可判定四边形OEFG是平行四边形，最后由EF⊥AB得到∠EFG=90°，即可证得该平行四边形是矩形。
（2）求OE的长：菱形对角线互相垂直，因此△AOD是直角三角形，E是斜边AD的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求出OE；求BG的长：先在Rt△AEF中用勾股定理求出AF的长度，再根据矩形的性质得FG=OE，结合菱形边长AB=AD，用AB减去AF和FG的长度即可得到BG的长。
【解析】
（1）证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD，AB=AD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE//AB，
又
∵OG//EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG=90°，
∴平行四边形OEFG是矩形。
（2）解：①求OE的长度：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠AOD=90°，
∵E是AD的中点，
∴OE=½AD（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∵AD=10，
∴OE=½×10=5。
②求BG的长度：
∵E是AD中点，AD=10，
∴AE=½AD=5，
在Rt△AEF中，EF=4，AE=5，由勾股定理可得：
$AF=\sqrt{AE^2-EF^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
∵四边形OEFG是矩形，
∴FG=OE=5，
∵菱形ABCD中AB=AD=10，
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2。
【答案】
OE的长为5，BG的长为2。
【知识点】
菱形的性质；矩形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于四边形基础综合题，解题的关键是灵活运用菱形、矩形的性质定理，结合直角三角形的相关性质和勾股定理逐步推导线段长度，对几何图形的性质识记和应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
26. 如图，直线 $ l_1: y=2x+1 $ 与直线 $ l_2: y=mx+4 $ 相交于点 $ P(1, b) $.
（1）求 $ b $，$ m $ 的值.
（2）若垂直于 $ x $ 轴的直线 $ x=a $ 与直线 $ l_1 $，$ l_2 $ 分别交于点 $ C $，$ D $，线段 $ CD $ 的长为 2，求 $ a $ 的值.
（1）求 $ b $，$ m $ 的值.
（2）若垂直于 $ x $ 轴的直线 $ x=a $ 与直线 $ l_1 $，$ l_2 $ 分别交于点 $ C $，$ D $，线段 $ CD $ 的长为 2，求 $ a $ 的值.
答案
（1）$ b=3 $，$ m=-1 $；（2）$ a $的值为$ \frac{1}{3} $或$ \frac{5}{3} $。
解析
【分析】
（1）解题思路：函数图象上的点的坐标满足对应函数的解析式，首先将点P的横坐标x=1代入直线l₁的解析式，即可求出b的值，得到点P的完整坐标；再将点P的坐标代入直线l₂的解析式，构造关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值。
（2）解题思路：垂直于x轴的直线上所有点的横坐标相等，因此将x=a分别代入两条直线的解析式，可得到交点C、D的纵坐标；线段CD的长度为两点纵坐标差的绝对值，结合CD长为2列绝对值方程，分两种情况解方程即可得到a的取值，注意不要漏解。
【解析】
（1）求解b和m的值：
∵ 点$P(1,b)$在直线$l_1:y=2x+1$上
∴ 将$x=1$代入$y=2x+1$，得：
$b=2×1+1=3$
∴ 点P的坐标为$(1,3)$
又
∵ 点$P(1,3)$在直线$l_2:y=mx+4$上
∴ 将$x=1,y=3$代入$y=mx+4$，得：
$3=m×1+4$
解得：$m=-1$
（2）求解a的值：
由（1）可知直线$l_2$的解析式为$y=-x+4$
当$x=a$时，代入$l_1$得点C的纵坐标为$2a+1$，即$C(a,2a+1)$
代入$l_2$得点D的纵坐标为$-a+4$，即$D(a,-a+4)$
∵ 线段CD的长为2，且C、D横坐标相等
∴ $CD=|(2a+1)-(-a+4)|=|3a-3|=2$
分两种情况解方程：
① 当$3a-3=2$时，$3a=5$，解得$a=\frac{5}{3}$
② 当$3a-3=-2$时，$3a=1$，解得$a=\frac{1}{3}$
综上，a的值为$\frac{1}{3}$或$\frac{5}{3}$
【答案】
（1）$ b=3 $，$ m=-1 $；（2）$ a $的值为$ \frac{1}{3} $或$ \frac{5}{3} $
【知识点】
1. 一次函数点坐标特征
2. 待定系数法求解析式
3. 绝对值方程应用
【点评】
本题围绕一次函数的交点性质展开考察，解题核心是理解函数图象上的点与解析式的对应关系，计算线段长度时注意借助绝对值处理正负情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
（1）解题思路：函数图象上的点的坐标满足对应函数的解析式，首先将点P的横坐标x=1代入直线l₁的解析式，即可求出b的值，得到点P的完整坐标；再将点P的坐标代入直线l₂的解析式，构造关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值。
（2）解题思路：垂直于x轴的直线上所有点的横坐标相等，因此将x=a分别代入两条直线的解析式，可得到交点C、D的纵坐标；线段CD的长度为两点纵坐标差的绝对值，结合CD长为2列绝对值方程，分两种情况解方程即可得到a的取值，注意不要漏解。
【解析】
（1）求解b和m的值：
∵ 点$P(1,b)$在直线$l_1:y=2x+1$上
∴ 将$x=1$代入$y=2x+1$，得：
$b=2×1+1=3$
∴ 点P的坐标为$(1,3)$
又
∵ 点$P(1,3)$在直线$l_2:y=mx+4$上
∴ 将$x=1,y=3$代入$y=mx+4$，得：
$3=m×1+4$
解得：$m=-1$
（2）求解a的值：
由（1）可知直线$l_2$的解析式为$y=-x+4$
当$x=a$时，代入$l_1$得点C的纵坐标为$2a+1$，即$C(a,2a+1)$
代入$l_2$得点D的纵坐标为$-a+4$，即$D(a,-a+4)$
∵ 线段CD的长为2，且C、D横坐标相等
∴ $CD=|(2a+1)-(-a+4)|=|3a-3|=2$
分两种情况解方程：
① 当$3a-3=2$时，$3a=5$，解得$a=\frac{5}{3}$
② 当$3a-3=-2$时，$3a=1$，解得$a=\frac{1}{3}$
综上，a的值为$\frac{1}{3}$或$\frac{5}{3}$
【答案】
（1）$ b=3 $，$ m=-1 $；（2）$ a $的值为$ \frac{1}{3} $或$ \frac{5}{3} $
【知识点】
1. 一次函数点坐标特征
2. 待定系数法求解析式
3. 绝对值方程应用
【点评】
本题围绕一次函数的交点性质展开考察，解题核心是理解函数图象上的点与解析式的对应关系，计算线段长度时注意借助绝对值处理正负情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
