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18. 如图，在$□ ABCD$中，$∠ B=42°$，$E$为$AD$上一点，且$DE=DC$，过点$D$作$DF ⊥ EC$交$BC$于点$F$，则$∠ DFC$的度数为（）.
A.$14°$
B.$18°$
C.$21°$
D.$22°$
A.$14°$
B.$18°$
C.$21°$
D.$22°$
答案
C
解析
【分析】
解题时先利用平行四边形的性质得到对角相等、对边平行的关系，再结合等腰三角形“三线合一”的性质得到角平分线，最后利用平行线的内错角相等推导所求角的度数。第一步，根据平行四边形性质得到∠ADC=∠B，且AD//BC；第二步，由DE=DC可知△DEC是等腰三角形，结合DF⊥EC，根据等腰三角形三线合一可得DF平分∠EDC；第三步，由AD//BC的内错角相等关系，将∠DFC转化为角平分线分出的半角，代入角度计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠B=42°，AD//BC，
根据两直线平行，内错角相等，可得∠DFC=∠EDF。
∵DE=DC，DF⊥EC，
根据等腰三角形三线合一的性质，可知DF平分∠EDC，
∴$∠ EDF=\frac{1}{2}∠ EDC=\frac{1}{2}∠ ADC=\frac{1}{2}×42°=21°$，
∴∠DFC=∠EDF=21°。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题是几何性质的综合应用题，解题关键是通过等腰三角形三线合一得到角平分线，再结合平行线的性质完成角度的转化，整体逻辑链条清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
解题时先利用平行四边形的性质得到对角相等、对边平行的关系，再结合等腰三角形“三线合一”的性质得到角平分线，最后利用平行线的内错角相等推导所求角的度数。第一步，根据平行四边形性质得到∠ADC=∠B，且AD//BC；第二步，由DE=DC可知△DEC是等腰三角形，结合DF⊥EC，根据等腰三角形三线合一可得DF平分∠EDC；第三步，由AD//BC的内错角相等关系，将∠DFC转化为角平分线分出的半角，代入角度计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠B=42°，AD//BC，
根据两直线平行，内错角相等，可得∠DFC=∠EDF。
∵DE=DC，DF⊥EC，
根据等腰三角形三线合一的性质，可知DF平分∠EDC，
∴$∠ EDF=\frac{1}{2}∠ EDC=\frac{1}{2}∠ ADC=\frac{1}{2}×42°=21°$，
∴∠DFC=∠EDF=21°。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题是几何性质的综合应用题，解题关键是通过等腰三角形三线合一得到角平分线，再结合平行线的性质完成角度的转化，整体逻辑链条清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
19. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.
如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它是用八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKI的面积分别为$ S_1 $，$ S_2 $，$ S_3 $.若$ S_1 + S_2 + S_3 = 30 $，则$ S_2 $的值是（）.
A.12
B.10
C.9
D.8
如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它是用八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKI的面积分别为$ S_1 $，$ S_2 $，$ S_3 $.若$ S_1 + S_2 + S_3 = 30 $，则$ S_2 $的值是（）.
A.12
B.10
C.9
D.8
答案
B
解析
【分析】
设八个全等直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，结合图形分别表示出三个正方形的面积：正方形ABCD的边长为两条直角边的和a+b，正方形EFGH的边长为直角三角形的斜边，正方形MNKI的边长为两条直角边的差a-b。将三个面积相加后化简，可得到三个面积和与$S_2$的数量关系，代入已知条件即可求出$S_2$的值。
【解析】
设每个全等直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b：
1. 正方形ABCD的边长为$a+b$，因此$S_1=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$；
2. 由勾股定理，直角三角形的斜边长的平方为$a^2+b^2$，即正方形EFGH的面积$S_2=a^2+b^2$；
3. 正方形MNKI的边长为$a-b$，因此$S_3=(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。
已知$S_1+S_2+S_3=30$，代入上述表达式得：
$\begin{aligned}(a^2+2ab+b^2)+(a^2+b^2)+(a^2-2ab+b^2)&=30\\3a^2+3b^2&=30\\3(a^2+b^2)&=30\\3S_2&=30\\S_2&=10\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算，整式化简
【点评】
本题以赵爽弦图的变形为载体，将几何图形性质和代数运算结合，解题的核心是找到三个正方形边长和直角三角形直角边的对应关系，通过代数化简消去参数，快速得到$S_2$的值。
【难度系数】
0.7
设八个全等直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，结合图形分别表示出三个正方形的面积：正方形ABCD的边长为两条直角边的和a+b，正方形EFGH的边长为直角三角形的斜边，正方形MNKI的边长为两条直角边的差a-b。将三个面积相加后化简，可得到三个面积和与$S_2$的数量关系，代入已知条件即可求出$S_2$的值。
【解析】
设每个全等直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b：
1. 正方形ABCD的边长为$a+b$，因此$S_1=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$；
2. 由勾股定理，直角三角形的斜边长的平方为$a^2+b^2$，即正方形EFGH的面积$S_2=a^2+b^2$；
3. 正方形MNKI的边长为$a-b$，因此$S_3=(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。
已知$S_1+S_2+S_3=30$，代入上述表达式得：
$\begin{aligned}(a^2+2ab+b^2)+(a^2+b^2)+(a^2-2ab+b^2)&=30\\3a^2+3b^2&=30\\3(a^2+b^2)&=30\\3S_2&=30\\S_2&=10\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算，整式化简
【点评】
本题以赵爽弦图的变形为载体，将几何图形性质和代数运算结合，解题的核心是找到三个正方形边长和直角三角形直角边的对应关系，通过代数化简消去参数，快速得到$S_2$的值。
【难度系数】
0.7
20. 经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树的主干在地面以上1.3 m处的直径）越大，树就越高. 通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高 y（m）是其胸径 x（m）的一次函数. 已知这种树的胸径为0.2 m时，树高为20 m；这种树的胸径为0.28 m时，树高为22 m. 由题意可得：y与x之间的函数解析式为.
答案
$y = 25x + 15$
解析
【分析】
题目明确告知y是x的一次函数，我们可采用待定系数法求解解析式：首先回忆一次函数的一般形式为$y=kx+b$（k、b为常数，$k\ne0$），再将题干给出的两组x、y的对应值代入一般式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值后代回一般式，即可得到所求函数解析式。
【解析】
解：设y与x之间的函数解析式为$y=kx+b$（$k\ne0$，k、b为常数）。
将$x=0.2,y=20$和$x=0.28,y=22$分别代入解析式，可得方程组：
$\begin{cases}0.2k + b = 20 \\0.28k + b = 22\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，得$0.08k=2$，解得$k=25$。
把$k=25$代入$0.2k + b = 20$，得$0.2×25 + b = 20$，解得$b=15$。
因此y与x的函数解析式为$y=25x+15$。
【答案】
$y = 25x + 15$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二元一次方程组的解法；一次函数的定义
【点评】
本题属于一次函数基础应用题，核心考查待定系数法的应用，只要熟练掌握一次函数的形式，能准确代入已知条件建立方程组并求解，就能顺利作答。
【难度系数】
0.8
题目明确告知y是x的一次函数，我们可采用待定系数法求解解析式：首先回忆一次函数的一般形式为$y=kx+b$（k、b为常数，$k\ne0$），再将题干给出的两组x、y的对应值代入一般式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值后代回一般式，即可得到所求函数解析式。
【解析】
解：设y与x之间的函数解析式为$y=kx+b$（$k\ne0$，k、b为常数）。
将$x=0.2,y=20$和$x=0.28,y=22$分别代入解析式，可得方程组：
$\begin{cases}0.2k + b = 20 \\0.28k + b = 22\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，得$0.08k=2$，解得$k=25$。
把$k=25$代入$0.2k + b = 20$，得$0.2×25 + b = 20$，解得$b=15$。
因此y与x的函数解析式为$y=25x+15$。
【答案】
$y = 25x + 15$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二元一次方程组的解法；一次函数的定义
【点评】
本题属于一次函数基础应用题，核心考查待定系数法的应用，只要熟练掌握一次函数的形式，能准确代入已知条件建立方程组并求解，就能顺利作答。
【难度系数】
0.8
21. 若最简二次根式$\sqrt{m-2}$能与$\sqrt{18}$合并，则$m$的值为________.
答案
4
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确两个能合并的二次根式的性质：如果两个最简二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，即化简后的被开方数相同。解题思路分两步：第一步先将$\sqrt{18}$化为最简二次根式，确定它的被开方数；第二步根据同类二次根式的被开方数相等列方程，求解$m$的值即可。
【解析】
1. 先化简$\sqrt{18}$：
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，可知$\sqrt{18}$化简后被开方数为2。
2. 因为最简二次根式$\sqrt{m-2}$能与$\sqrt{18}$合并，说明二者是同类二次根式，最简形式下被开方数相同，因此可得方程：
$m-2=2$
3. 解方程得：$m=2+2=4$。
【答案】
4
【知识点】
最简二次根式；同类二次根式；二次根式化简
【点评】
本题考查同类二次根式的相关应用，解题关键是先将非最简的二次根式化为最简，再结合同类二次根式的性质列等式求解，注意题干已经明确$\sqrt{m-2}$是最简二次根式，无需额外对其化简。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确两个能合并的二次根式的性质：如果两个最简二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，即化简后的被开方数相同。解题思路分两步：第一步先将$\sqrt{18}$化为最简二次根式，确定它的被开方数；第二步根据同类二次根式的被开方数相等列方程，求解$m$的值即可。
【解析】
1. 先化简$\sqrt{18}$：
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，可知$\sqrt{18}$化简后被开方数为2。
2. 因为最简二次根式$\sqrt{m-2}$能与$\sqrt{18}$合并，说明二者是同类二次根式，最简形式下被开方数相同，因此可得方程：
$m-2=2$
3. 解方程得：$m=2+2=4$。
【答案】
4
【知识点】
最简二次根式；同类二次根式；二次根式化简
【点评】
本题考查同类二次根式的相关应用，解题关键是先将非最简的二次根式化为最简，再结合同类二次根式的性质列等式求解，注意题干已经明确$\sqrt{m-2}$是最简二次根式，无需额外对其化简。
【难度系数】
0.8
22. 如图，菱形ABCD的周长为40 cm，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AB，垂足为点E，DE：AB=4：5. 有下列结论：
①$DE=8\ \mathrm{cm}$；②$BE=4\ \mathrm{cm}$；③$BD=4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$；④$AC=8\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$；
⑤$S_{\mathrm{菱形}ABCD}=80\ \mathrm{cm}^2$.
其中正确的是________.（填序号）
①$DE=8\ \mathrm{cm}$；②$BE=4\ \mathrm{cm}$；③$BD=4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$；④$AC=8\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$；
⑤$S_{\mathrm{菱形}ABCD}=80\ \mathrm{cm}^2$.
其中正确的是________.（填序号）
答案
①②③④⑤
解析
【分析】
解题时首先利用菱形四边相等的性质，由周长先求出菱形的边长；再结合DE与AB的比例关系求出DE长度，判断①；随后在直角三角形ADE中用勾股定理求出AE长，进而得到BE长判断②；接着在直角三角形DEB中用勾股定理求出BD长度判断③；再用底乘高求出菱形面积判断⑤；最后根据菱形面积等于对角线乘积的一半，代入已知的面积和BD长度求出AC，判断④即可。
【解析】
解：
∵ 菱形ABCD的周长为40 cm，菱形四条边长度相等
∴ AB = AD = 40÷4 = 10 cm
①
∵ DE:AB = 4:5，
∴ DE = $10×\frac{4}{5}=8\ \mathrm{cm}$，故①正确；
∵ DE⊥AB，
∴ △ADE是直角三角形
在Rt△ADE中，由勾股定理得：$AE=\sqrt{AD^2-DE^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6\ \mathrm{cm}$
② $BE=AB-AE=10-6=4\ \mathrm{cm}$，故②正确；
在Rt△DEB中，由勾股定理得：
③ $BD=\sqrt{DE^2+BE^2}=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，故③正确；
⑤ $S_{\mathrm{菱形}ABCD}=\mathrm{底}×\mathrm{高}=AB× DE=10×8=80\ \mathrm{cm}^2$，故⑤正确；
∵ 菱形面积也可表示为$S=\frac{1}{2}AC· BD$，代入$S=80$，$BD=4\sqrt{5}$得：
$80=\frac{1}{2}× AC×4\sqrt{5}$，解得$AC=\frac{160}{4\sqrt{5}}=8\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，故④正确。
综上，①②③④⑤均正确。
【答案】
①②③④⑤
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，菱形面积计算
【点评】
本题是菱形性质的综合应用题，解题的核心是熟练运用菱形边长相等、面积的两种计算方法，结合勾股定理逐步求解各线段长度，计算过程中注意根式化简的准确性即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用菱形四边相等的性质，由周长先求出菱形的边长；再结合DE与AB的比例关系求出DE长度，判断①；随后在直角三角形ADE中用勾股定理求出AE长，进而得到BE长判断②；接着在直角三角形DEB中用勾股定理求出BD长度判断③；再用底乘高求出菱形面积判断⑤；最后根据菱形面积等于对角线乘积的一半，代入已知的面积和BD长度求出AC，判断④即可。
【解析】
解：
∵ 菱形ABCD的周长为40 cm，菱形四条边长度相等
∴ AB = AD = 40÷4 = 10 cm
①
∵ DE:AB = 4:5，
∴ DE = $10×\frac{4}{5}=8\ \mathrm{cm}$，故①正确；
∵ DE⊥AB，
∴ △ADE是直角三角形
在Rt△ADE中，由勾股定理得：$AE=\sqrt{AD^2-DE^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6\ \mathrm{cm}$
② $BE=AB-AE=10-6=4\ \mathrm{cm}$，故②正确；
在Rt△DEB中，由勾股定理得：
③ $BD=\sqrt{DE^2+BE^2}=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，故③正确；
⑤ $S_{\mathrm{菱形}ABCD}=\mathrm{底}×\mathrm{高}=AB× DE=10×8=80\ \mathrm{cm}^2$，故⑤正确；
∵ 菱形面积也可表示为$S=\frac{1}{2}AC· BD$，代入$S=80$，$BD=4\sqrt{5}$得：
$80=\frac{1}{2}× AC×4\sqrt{5}$，解得$AC=\frac{160}{4\sqrt{5}}=8\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，故④正确。
综上，①②③④⑤均正确。
【答案】
①②③④⑤
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，菱形面积计算
【点评】
本题是菱形性质的综合应用题，解题的核心是熟练运用菱形边长相等、面积的两种计算方法，结合勾股定理逐步求解各线段长度，计算过程中注意根式化简的准确性即可。
【难度系数】
0.7
