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15. 某经销商从市场得知如下信息：
现有40 000元资金可用来一次性购进该品牌空调扇和电风扇共100台，设该经销商购进空调扇x台，空调扇和电风扇全部销售完后获得的利润为y元.
（1）求y关于x的函数解析式.
（2）利用函数性质，说明该经销商如何进货可获得最大利润？最大利润是多少元？
现有40 000元资金可用来一次性购进该品牌空调扇和电风扇共100台，设该经销商购进空调扇x台，空调扇和电风扇全部销售完后获得的利润为y元.
（1）求y关于x的函数解析式.
（2）利用函数性质，说明该经销商如何进货可获得最大利润？最大利润是多少元？
答案
（1）$y = 140x + 6000$（$0 ≤ x ≤ 50$，$x$为整数）；（2）购进空调扇50台、电风扇50台时可获得最大利润，最大利润为13000元。
解析
【分析】
对于第（1）问，首先明确总利润=空调扇总利润+电风扇总利润，先算出单台空调扇和单台电风扇的利润，结合购进空调扇x台、总台数100台表示出电风扇的数量，即可列出利润y与x的关系式，再根据总资金限制、台数非负的条件求出x的取值范围。对于第（2）问，根据一次函数的增减性，结合x的取值范围即可找到获得最大利润的进货方案和最大利润值。
【解析】
（1）计算单台利润：每台空调扇利润为$900-700=200$元，每台电风扇利润为$160-100=60$元。
已知购进空调扇x台，则购进电风扇$(100-x)$台，总利润：
$y=200x+60(100-x)=140x+6000$
再根据总资金不超过40000元列不等式：
$700x+100(100-x)≤40000$
解得$x≤50$，结合台数非负得$0≤ x≤50$，且x为整数。
故y关于x的函数解析式为$y=140x+6000$（$0≤ x≤50$，x为整数）。
（2）在一次函数$y=140x+6000$中，$k=140＞0$，因此y随x的增大而增大。
所以当x取最大值50时，y取得最大值，此时购进电风扇数量为$100-50=50$台，
最大利润$y=140×50+6000=13000$元。
【答案】
（1）$y = 140x + 6000$（$0 ≤ x ≤ 50$，$x$为整数）；（2）购进空调扇50台、电风扇50台时可获得最大利润，最大利润为13000元。
【知识点】
一次函数的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的性质
【点评】
本题属于一次函数实际应用的常规题型，核心是理清实际问题中的数量关系，正确建立函数模型，结合不等式求出自变量取值范围后，利用一次函数增减性求解最值，能够很好地考察学生数学建模的能力。
【难度系数】
0.7
对于第（1）问，首先明确总利润=空调扇总利润+电风扇总利润，先算出单台空调扇和单台电风扇的利润，结合购进空调扇x台、总台数100台表示出电风扇的数量，即可列出利润y与x的关系式，再根据总资金限制、台数非负的条件求出x的取值范围。对于第（2）问，根据一次函数的增减性，结合x的取值范围即可找到获得最大利润的进货方案和最大利润值。
【解析】
（1）计算单台利润：每台空调扇利润为$900-700=200$元，每台电风扇利润为$160-100=60$元。
已知购进空调扇x台，则购进电风扇$(100-x)$台，总利润：
$y=200x+60(100-x)=140x+6000$
再根据总资金不超过40000元列不等式：
$700x+100(100-x)≤40000$
解得$x≤50$，结合台数非负得$0≤ x≤50$，且x为整数。
故y关于x的函数解析式为$y=140x+6000$（$0≤ x≤50$，x为整数）。
（2）在一次函数$y=140x+6000$中，$k=140＞0$，因此y随x的增大而增大。
所以当x取最大值50时，y取得最大值，此时购进电风扇数量为$100-50=50$台，
最大利润$y=140×50+6000=13000$元。
【答案】
（1）$y = 140x + 6000$（$0 ≤ x ≤ 50$，$x$为整数）；（2）购进空调扇50台、电风扇50台时可获得最大利润，最大利润为13000元。
【知识点】
一次函数的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的性质
【点评】
本题属于一次函数实际应用的常规题型，核心是理清实际问题中的数量关系，正确建立函数模型，结合不等式求出自变量取值范围后，利用一次函数增减性求解最值，能够很好地考察学生数学建模的能力。
【难度系数】
0.7
16. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学参加区级演讲比赛的相关数据. 根据表中数据，从平均成绩优秀且成绩稳定的角度，选择甲同学参加市级比赛，则可以判断a，b的值可能是（）.
A.95，6
B.95，2
C.85，2
D.85，6
A.95，6
B.95，2
C.85，2
D.85，6
答案
B
解析
【分析】
解题需紧扣“平均成绩优秀”“成绩稳定”两个核心要求：首先，平均成绩优秀意味着甲的平均分要高于其他三人的最高平均分，其他三人中丙的平均分最高为90分，因此a需大于90；其次，成绩稳定说明甲的成绩波动更小，而方差越小数据越稳定，其他三人中方差最小为2.2，因此b需小于2.2，再结合选项筛选即可得到答案。
【解析】
要选择平均成绩优秀且成绩稳定的甲参加比赛：
1. 判断平均成绩：乙、丁平均分为80分，丙平均分为90分，要甲平均成绩优秀，则甲的平均分$a＞90$，因此排除平均分为85的C、D选项；
2. 判断稳定性：方差越小，数据波动越小，成绩越稳定。其他三人中方差最小为乙的2.2，要甲成绩更稳定，则甲的方差$b＜2.2$，A选项中方差为6＞2.2，不符合要求，B选项中方差为2＜2.2，符合要求。
综上，选择B选项。
【答案】
B
【知识点】
平均数的意义；方差的意义
【点评】
本题是统计知识的实际应用题，解题的核心是明确平均数反映数据的整体平均水平、方差反映数据的波动程度，结合题目给出的选择标准筛选参数即可，解题时注意不要弄反方差大小和稳定性的对应关系。
【难度系数】
0.7
解题需紧扣“平均成绩优秀”“成绩稳定”两个核心要求：首先，平均成绩优秀意味着甲的平均分要高于其他三人的最高平均分，其他三人中丙的平均分最高为90分，因此a需大于90；其次，成绩稳定说明甲的成绩波动更小，而方差越小数据越稳定，其他三人中方差最小为2.2，因此b需小于2.2，再结合选项筛选即可得到答案。
【解析】
要选择平均成绩优秀且成绩稳定的甲参加比赛：
1. 判断平均成绩：乙、丁平均分为80分，丙平均分为90分，要甲平均成绩优秀，则甲的平均分$a＞90$，因此排除平均分为85的C、D选项；
2. 判断稳定性：方差越小，数据波动越小，成绩越稳定。其他三人中方差最小为乙的2.2，要甲成绩更稳定，则甲的方差$b＜2.2$，A选项中方差为6＞2.2，不符合要求，B选项中方差为2＜2.2，符合要求。
综上，选择B选项。
【答案】
B
【知识点】
平均数的意义；方差的意义
【点评】
本题是统计知识的实际应用题，解题的核心是明确平均数反映数据的整体平均水平、方差反映数据的波动程度，结合题目给出的选择标准筛选参数即可，解题时注意不要弄反方差大小和稳定性的对应关系。
【难度系数】
0.7
17. 一次函数$y_1=mx+n$与$y_2=-x+a$的图象如图所示，则$mx+n＞-x+a$的解集为（）.
A.$x＞3$
B.$x＜3$
C.$x＜2$
D.$x＞2$
A.$x＞3$
B.$x＜3$
C.$x＜2$
D.$x＞2$
答案
A
解析
【分析】
要解不等式$mx+n ＞ -x+a$，本质是找一次函数$y_1=mx+n$的函数值大于$y_2=-x+a$的函数值时对应的$x$的取值范围。从一次函数图象的性质来看，哪个函数的图象在上方，对应的函数值就更大，因此我们只需要先找到两个函数图象的交点，再观察交点哪一侧$y_1$的图象在$y_2$上方，就能得到不等式的解集。
【解析】
不等式$mx+n ＞ -x+a$的几何意义是：一次函数$y_1=mx+n$的图象位于$y_2=-x+a$图象上方时，对应的自变量$x$的取值范围。
由图象可知，两个一次函数图象的交点坐标为$(3,2)$，在交点右侧（即$x＞3$时），$y_1=mx+n$的图象在$y_2=-x+a$的图象上方，此时满足$y_1＞y_2$，也就是$mx+n ＞ -x+a$。
因此不等式的解集为$x＞3$。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的图象；一次函数与一元一次不等式；函数图象交点意义
【点评】
本题考查数形结合思想在一次函数问题中的应用，解题的关键是明确函数值的大小关系和图象上下位置的对应关系，无需计算解析式，直接观察图象即可得到结果，降低了解题难度。
【难度系数】
0.8
要解不等式$mx+n ＞ -x+a$，本质是找一次函数$y_1=mx+n$的函数值大于$y_2=-x+a$的函数值时对应的$x$的取值范围。从一次函数图象的性质来看，哪个函数的图象在上方，对应的函数值就更大，因此我们只需要先找到两个函数图象的交点，再观察交点哪一侧$y_1$的图象在$y_2$上方，就能得到不等式的解集。
【解析】
不等式$mx+n ＞ -x+a$的几何意义是：一次函数$y_1=mx+n$的图象位于$y_2=-x+a$图象上方时，对应的自变量$x$的取值范围。
由图象可知，两个一次函数图象的交点坐标为$(3,2)$，在交点右侧（即$x＞3$时），$y_1=mx+n$的图象在$y_2=-x+a$的图象上方，此时满足$y_1＞y_2$，也就是$mx+n ＞ -x+a$。
因此不等式的解集为$x＞3$。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的图象；一次函数与一元一次不等式；函数图象交点意义
【点评】
本题考查数形结合思想在一次函数问题中的应用，解题的关键是明确函数值的大小关系和图象上下位置的对应关系，无需计算解析式，直接观察图象即可得到结果，降低了解题难度。
【难度系数】
0.8
