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1.若分式$\frac{2m+1}{m^2 - 1}$无意义，则$m$的值是 （
A.1
B.$-1$
C.$\pm1$
D.$-\frac{1}{2}$
C
）A.1
B.$-1$
C.$\pm1$
D.$-\frac{1}{2}$
答案
1.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确分式无意义的判定规则：分式的分母等于0时，分式无意义。接下来我们只需要找到题中分式的分母，令分母等于0，求解对应的方程就能得到m的取值。
【解析】
分式无意义的条件是分母为0。
本题中分式$\frac{2m+1}{m^2 - 1}$的分母为$m^2-1$，令$m^2 - 1 = 0$，
移项得$m^2=1$，解得$m=1$或$m=-1$，即$m=\pm1$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.分式无意义的判定
2.平方根的计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查分式有无意义的判断规则，解题时注意不要只考虑单个解，要注意二次式对应的方程通常有两个解，避免漏解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确分式无意义的判定规则：分式的分母等于0时，分式无意义。接下来我们只需要找到题中分式的分母，令分母等于0，求解对应的方程就能得到m的取值。
【解析】
分式无意义的条件是分母为0。
本题中分式$\frac{2m+1}{m^2 - 1}$的分母为$m^2-1$，令$m^2 - 1 = 0$，
移项得$m^2=1$，解得$m=1$或$m=-1$，即$m=\pm1$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.分式无意义的判定
2.平方根的计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查分式有无意义的判断规则，解题时注意不要只考虑单个解，要注意二次式对应的方程通常有两个解，避免漏解。
【难度系数】
0.8
2. 若把分式$\dfrac{4m - a}{5n}$中的$m$，$n$同时扩大为原来的3倍，分式的值不改变，则$a$的值可以是 （
A.$2$
B.$mn$
C.$\dfrac{m}{3}$
D.$m^2$
C
）A.$2$
B.$mn$
C.$\dfrac{m}{3}$
D.$m^2$
答案
2.C
解析
【分析】
本题可根据分式的基本性质求解：分式的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。首先将m、n同时替换为原来的3倍代入分式，再根据“分式值不变”的条件列等式，推导出a需要满足的变化规律，最后逐一验证选项即可。
【解析】
根据题意，将m、n同时扩大为原来的3倍，代入原分式得新分式：
$\dfrac{4× 3m - a'}{5× 3n}$，其中$a'$是将$a$中的$m$替换为$3m$后得到的代数式。
已知新分式与原分式值相等，原分式可变形为：
$\dfrac{4m - a}{5n} = \dfrac{3×(4m - a)}{3× 5n} = \dfrac{12m - 3a}{15n}$
新分式化简为：
$\dfrac{12m - a'}{15n}$
因为两个分式分母相同且分式值相等，所以分子必须相等，即：
$12m - a' = 12m - 3a$，化简得$a' = 3a$，也就是当$m$扩大为原来的3倍时，$a$的值要变为原来的3倍。
逐一验证选项：
A. 若$a=2$（常数），扩大后$a'=2$，$2≠3×2$，不符合；
B. 若$a=mn$，扩大后$a'=3m·3n=9mn$，$9mn≠3× mn$，不符合；
C. 若$a=\dfrac{m}{3}$，扩大后$a'=\dfrac{3m}{3}=m$，$3a=3×\dfrac{m}{3}=m$，$a'=3a$，符合要求；
D. 若$a=m^2$，扩大后$a'=(3m)^2=9m^2$，$9m^2≠3× m^2$，不符合。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质；代数式代入求值
【点评】
本题重点考查分式基本性质的应用，解题时需注意不仅分母要按规则变化，分子中含有变量的代数式也要同步替换变量后计算，易错点是忽略a中含变量的情况，误选常数选项。
【难度系数】
0.7
本题可根据分式的基本性质求解：分式的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。首先将m、n同时替换为原来的3倍代入分式，再根据“分式值不变”的条件列等式，推导出a需要满足的变化规律，最后逐一验证选项即可。
【解析】
根据题意，将m、n同时扩大为原来的3倍，代入原分式得新分式：
$\dfrac{4× 3m - a'}{5× 3n}$，其中$a'$是将$a$中的$m$替换为$3m$后得到的代数式。
已知新分式与原分式值相等，原分式可变形为：
$\dfrac{4m - a}{5n} = \dfrac{3×(4m - a)}{3× 5n} = \dfrac{12m - 3a}{15n}$
新分式化简为：
$\dfrac{12m - a'}{15n}$
因为两个分式分母相同且分式值相等，所以分子必须相等，即：
$12m - a' = 12m - 3a$，化简得$a' = 3a$，也就是当$m$扩大为原来的3倍时，$a$的值要变为原来的3倍。
逐一验证选项：
A. 若$a=2$（常数），扩大后$a'=2$，$2≠3×2$，不符合；
B. 若$a=mn$，扩大后$a'=3m·3n=9mn$，$9mn≠3× mn$，不符合；
C. 若$a=\dfrac{m}{3}$，扩大后$a'=\dfrac{3m}{3}=m$，$3a=3×\dfrac{m}{3}=m$，$a'=3a$，符合要求；
D. 若$a=m^2$，扩大后$a'=(3m)^2=9m^2$，$9m^2≠3× m^2$，不符合。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质；代数式代入求值
【点评】
本题重点考查分式基本性质的应用，解题时需注意不仅分母要按规则变化，分子中含有变量的代数式也要同步替换变量后计算，易错点是忽略a中含变量的情况，误选常数选项。
【难度系数】
0.7
3. 下列运算正确的是 （
A.$a÷ b· \dfrac{1}{b}=a$
B.$8a^{2}b^{2}÷ (-\dfrac{3a}{4b^{2}})=-6a^{3}b$
C.$(-\dfrac{b}{a})^{3}· a^{4}=ab^{3}$
D.$\dfrac{1}{a-1}-\dfrac{1}{a+1}=\dfrac{2}{a^{2}-1}$
D
）A.$a÷ b· \dfrac{1}{b}=a$
B.$8a^{2}b^{2}÷ (-\dfrac{3a}{4b^{2}})=-6a^{3}b$
C.$(-\dfrac{b}{a})^{3}· a^{4}=ab^{3}$
D.$\dfrac{1}{a-1}-\dfrac{1}{a+1}=\dfrac{2}{a^{2}-1}$
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查分式的四则运算及乘方运算，解题思路为逐一根据分式相关运算法则计算每个选项的结果，再与选项给出的结果对比，最终选出运算正确的选项。计算时要注意运算顺序、符号处理以及通分约分的规范。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：分式乘除为同级运算，从左到右依次计算，$a÷ b· \dfrac{1}{b}=a· \dfrac{1}{b}· \dfrac{1}{b}=\dfrac{a}{b^2}≠ a$，故A错误。
选项B：除以分式等于乘以该分式的倒数，$8a^{2}b^{2}÷ (-\dfrac{3a}{4b^{2}})=8a^2b^2× (-\dfrac{4b^2}{3a})=-\dfrac{32ab^4}{3}≠ -6a^3b$，故B错误。
选项C：先算分式乘方，再算乘法，$(-\dfrac{b}{a})^3· a^4=-\dfrac{b^3}{a^3}· a^4=-ab^3≠ ab^3$，故C错误。
选项D：异分母分式相减先通分，公分母为$(a-1)(a+1)=a^2-1$，$\dfrac{1}{a-1}-\dfrac{1}{a+1}=\dfrac{a+1-(a-1)}{(a-1)(a+1)}=\dfrac{2}{a^2-1}$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
分式的乘除运算，分式的乘方运算，分式的加减运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查分式运算法则的掌握情况，易错点在于忽略同级运算的顺序、乘方的符号处理以及通分计算时分子的化简，熟练掌握相关运算规则就能快速准确解题。
【难度系数】
0.7
本题考查分式的四则运算及乘方运算，解题思路为逐一根据分式相关运算法则计算每个选项的结果，再与选项给出的结果对比，最终选出运算正确的选项。计算时要注意运算顺序、符号处理以及通分约分的规范。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：分式乘除为同级运算，从左到右依次计算，$a÷ b· \dfrac{1}{b}=a· \dfrac{1}{b}· \dfrac{1}{b}=\dfrac{a}{b^2}≠ a$，故A错误。
选项B：除以分式等于乘以该分式的倒数，$8a^{2}b^{2}÷ (-\dfrac{3a}{4b^{2}})=8a^2b^2× (-\dfrac{4b^2}{3a})=-\dfrac{32ab^4}{3}≠ -6a^3b$，故B错误。
选项C：先算分式乘方，再算乘法，$(-\dfrac{b}{a})^3· a^4=-\dfrac{b^3}{a^3}· a^4=-ab^3≠ ab^3$，故C错误。
选项D：异分母分式相减先通分，公分母为$(a-1)(a+1)=a^2-1$，$\dfrac{1}{a-1}-\dfrac{1}{a+1}=\dfrac{a+1-(a-1)}{(a-1)(a+1)}=\dfrac{2}{a^2-1}$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
分式的乘除运算，分式的乘方运算，分式的加减运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查分式运算法则的掌握情况，易错点在于忽略同级运算的顺序、乘方的符号处理以及通分计算时分子的化简，熟练掌握相关运算规则就能快速准确解题。
【难度系数】
0.7
4. 已知关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{k}{x - 2} - \frac{3}{2 - x} = 1$ 有增根，则 $ k $ 的值为（
A.$ 2 $
B.$ -2 $
C.$ -3 $
D.$ 3 $
C
）A.$ 2 $
B.$ -2 $
C.$ -3 $
D.$ 3 $
答案
4.C
解析
【分析】
要解决分式方程有增根求参数的问题，首先要明确增根的含义：增根是分式方程去分母后得到的整式方程的根，但会使原分式方程的分母为0，不满足原分式方程。解题思路分三步：①先确定原分式方程的增根，即令分母为0求出x的值；②将分式方程去分母转化为整式方程；③把增根代入整式方程，即可求出参数k的值。
【解析】
步骤1：确定增根
原分式方程的分母为$x-2$和$2-x$，令分母为0，即$x-2=0$，解得$x=2$，因此该分式方程的增根为$x=2$。
步骤2：将分式方程化为整式方程
先对原方程变形，$\frac{3}{2-x}=\frac{3}{-(x-2)}=-\frac{3}{x-2}$，因此原方程可写为：
$\frac{k}{x-2}+\frac{3}{x-2}=1$
方程两边同时乘以最简公分母$(x-2)$（$x≠2$）去分母得：
$k + 3 = x - 2$
步骤3：代入增根求k
因为增根$x=2$是去分母后整式方程的根，将$x=2$代入$k + 3 = x - 2$得：
$k + 3 = 2 - 2$
解得$k=-3$
【答案】
C
【知识点】
分式方程的增根；解分式方程；一元一次方程求解
【点评】
本题是分式方程部分的常考题型，核心考查对增根概念的理解，解题时注意去分母过程中的符号变化，避免因符号处理错误失分，掌握增根的两个属性即可快速解题。
【难度系数】
0.7
要解决分式方程有增根求参数的问题，首先要明确增根的含义：增根是分式方程去分母后得到的整式方程的根，但会使原分式方程的分母为0，不满足原分式方程。解题思路分三步：①先确定原分式方程的增根，即令分母为0求出x的值；②将分式方程去分母转化为整式方程；③把增根代入整式方程，即可求出参数k的值。
【解析】
步骤1：确定增根
原分式方程的分母为$x-2$和$2-x$，令分母为0，即$x-2=0$，解得$x=2$，因此该分式方程的增根为$x=2$。
步骤2：将分式方程化为整式方程
先对原方程变形，$\frac{3}{2-x}=\frac{3}{-(x-2)}=-\frac{3}{x-2}$，因此原方程可写为：
$\frac{k}{x-2}+\frac{3}{x-2}=1$
方程两边同时乘以最简公分母$(x-2)$（$x≠2$）去分母得：
$k + 3 = x - 2$
步骤3：代入增根求k
因为增根$x=2$是去分母后整式方程的根，将$x=2$代入$k + 3 = x - 2$得：
$k + 3 = 2 - 2$
解得$k=-3$
【答案】
C
【知识点】
分式方程的增根；解分式方程；一元一次方程求解
【点评】
本题是分式方程部分的常考题型，核心考查对增根概念的理解，解题时注意去分母过程中的符号变化，避免因符号处理错误失分，掌握增根的两个属性即可快速解题。
【难度系数】
0.7
5. 已知$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1(a+b≠0)$，则$\frac{a+ab}{a+b}=$
2
.答案
5.2
解析
【分析】
我们可以先处理已知的分式等式，通过通分去分母得到a、b与ab的数量关系，再将这个关系整体代入待求的分式中进行化简，结合题目给出的a+b≠0的条件约分即可求出结果。
【解析】
步骤1：对已知等式变形
已知$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1$，对左边通分可得：
$\frac{2b + a}{ab}=1$
等式两边同时乘ab（由原式有意义可知a≠0、b≠0），得：
$a + 2b = ab$
步骤2：代入待求式化简
将$ab=a+2b$代入$\frac{a+ab}{a+b}$的分子中：
分子$a+ab = a + (a+2b) = 2a + 2b = 2(a+b)$
因此待求式可化为：
$\frac{2(a+b)}{a+b}$
已知$a+b≠0$，约分后得结果为2。
【答案】
2
【知识点】
分式的通分约分；分式化简求值；整体代入思想
【点评】
本题核心是利用已知条件变形得到等量关系，再通过整体代入的方法简化计算，解题时要注意分式约分的前提是分母不为0，题目已经给出a+b≠0的条件，可直接约分。
【难度系数】
0.7
我们可以先处理已知的分式等式，通过通分去分母得到a、b与ab的数量关系，再将这个关系整体代入待求的分式中进行化简，结合题目给出的a+b≠0的条件约分即可求出结果。
【解析】
步骤1：对已知等式变形
已知$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1$，对左边通分可得：
$\frac{2b + a}{ab}=1$
等式两边同时乘ab（由原式有意义可知a≠0、b≠0），得：
$a + 2b = ab$
步骤2：代入待求式化简
将$ab=a+2b$代入$\frac{a+ab}{a+b}$的分子中：
分子$a+ab = a + (a+2b) = 2a + 2b = 2(a+b)$
因此待求式可化为：
$\frac{2(a+b)}{a+b}$
已知$a+b≠0$，约分后得结果为2。
【答案】
2
【知识点】
分式的通分约分；分式化简求值；整体代入思想
【点评】
本题核心是利用已知条件变形得到等量关系，再通过整体代入的方法简化计算，解题时要注意分式约分的前提是分母不为0，题目已经给出a+b≠0的条件，可直接约分。
【难度系数】
0.7
6. 为落实节约用水政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头.已知该景点的设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20 t水可以比原来多用5天.该景点在设施改造后平均每天用水
2
t.答案
6.2
解析
【分析】
解题时首先明确已知条件：改造后日均用水量为原来的一半，20t水改造后比改造前多用5天，所求为改造后日均用水量。我们可以通过设未知数的方式求解：首先设改造后平均每天用水x t，可推出改造前日均用水量为2x t；再根据“天数=总水量÷日均用水量”分别表示出20t水改造前后的使用天数，结合“改造后使用天数-改造前使用天数=5天”的等量关系列分式方程，最后解方程并检验根是否符合实际意义即可。
【解析】
设该景点在设施改造后平均每天用水$ x $ t，则改造前平均每天用水$ 2x $ t。
根据题意，20t水改造后比改造前多用5天，可列方程：
$\frac{20}{x} - \frac{20}{2x} = 5$
化简方程：
$\frac{20}{x} - \frac{10}{x} = 5$
$\frac{10}{x} = 5$
两边同乘$ x $得：
$5x = 10$
解得：$ x = 2 $
检验：当$ x = 2 $时，$ 2x = 4 ≠ 0 $，$ x = 2 $是原分式方程的解，且符合实际用水的意义。
【答案】
2
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 解分式方程
3. 列方程解应用题
【点评】
本题是分式方程的常见生活应用题，解题核心是准确找到天数差的等量关系，设出合适的未知数列方程求解，注意求解分式方程后要检验根是否满足实际意义，整体解题思路清晰，难度不高。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确已知条件：改造后日均用水量为原来的一半，20t水改造后比改造前多用5天，所求为改造后日均用水量。我们可以通过设未知数的方式求解：首先设改造后平均每天用水x t，可推出改造前日均用水量为2x t；再根据“天数=总水量÷日均用水量”分别表示出20t水改造前后的使用天数，结合“改造后使用天数-改造前使用天数=5天”的等量关系列分式方程，最后解方程并检验根是否符合实际意义即可。
【解析】
设该景点在设施改造后平均每天用水$ x $ t，则改造前平均每天用水$ 2x $ t。
根据题意，20t水改造后比改造前多用5天，可列方程：
$\frac{20}{x} - \frac{20}{2x} = 5$
化简方程：
$\frac{20}{x} - \frac{10}{x} = 5$
$\frac{10}{x} = 5$
两边同乘$ x $得：
$5x = 10$
解得：$ x = 2 $
检验：当$ x = 2 $时，$ 2x = 4 ≠ 0 $，$ x = 2 $是原分式方程的解，且符合实际用水的意义。
【答案】
2
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 解分式方程
3. 列方程解应用题
【点评】
本题是分式方程的常见生活应用题，解题核心是准确找到天数差的等量关系，设出合适的未知数列方程求解，注意求解分式方程后要检验根是否满足实际意义，整体解题思路清晰，难度不高。
【难度系数】
0.7
7. 小苗探究了一道有关分式的规律题：$\frac{1}{x+3},\frac{3}{x+5},\frac{4}{x+7},\frac{7}{x+9},\frac{11}{x+11},\_\_\_\_\_\_,\frac{29}{x+15},···$，请按照此规律在横线上补写出第6个分式。
答案
7.$\frac{18}{x+13}$
解析
【分析】
要找这组分式的规律，我们可以把分式拆成分子和分母两部分分别观察：首先观察分母的变化特征，再观察分子的变化特征，找到对应规律后分别计算第6个分式的分子和分母，最后验证规律是否和已知的后续项吻合即可。
【解析】
1. 找分母的规律：
观察已知分式的分母常数项：第1个是3，第2个是5，第3个是7，第4个是9，第5个是11，可发现规律：后一个分母的常数项比前一个大2，第n个分式的分母常数项为$2n+1$。
那么第6个分式的分母常数项为$2×6+1=13$，即分母为$x+13$。
2. 找分子的规律：
观察已知分式的分子：1，3，4，7，11，可发现规律：从第3项开始，每一项的分子等于它前两项分子的和：$1+3=4$，$3+4=7$，$4+7=11$。
验证这个规律：题目给出第7个分子是29，按规律第7个分子=第5个分子+第6个分子，所以第6个分子$=29-11=18$，也符合$7+11=18$的计算结果，规律成立。
综上，第6个分式是$\frac{18}{x+13}$。
【答案】
$\frac{18}{x+13}$
【知识点】
分式规律探究，数字递推规律
【点评】
本题是典型的代数式规律探究题，解题核心是将复杂的分式规律拆解为分子、分母两个独立的简单规律分别分析，得出结果后注意结合已知的后续项验证规律的正确性，避免找错规律。
【难度系数】
0.7
要找这组分式的规律，我们可以把分式拆成分子和分母两部分分别观察：首先观察分母的变化特征，再观察分子的变化特征，找到对应规律后分别计算第6个分式的分子和分母，最后验证规律是否和已知的后续项吻合即可。
【解析】
1. 找分母的规律：
观察已知分式的分母常数项：第1个是3，第2个是5，第3个是7，第4个是9，第5个是11，可发现规律：后一个分母的常数项比前一个大2，第n个分式的分母常数项为$2n+1$。
那么第6个分式的分母常数项为$2×6+1=13$，即分母为$x+13$。
2. 找分子的规律：
观察已知分式的分子：1，3，4，7，11，可发现规律：从第3项开始，每一项的分子等于它前两项分子的和：$1+3=4$，$3+4=7$，$4+7=11$。
验证这个规律：题目给出第7个分子是29，按规律第7个分子=第5个分子+第6个分子，所以第6个分子$=29-11=18$，也符合$7+11=18$的计算结果，规律成立。
综上，第6个分式是$\frac{18}{x+13}$。
【答案】
$\frac{18}{x+13}$
【知识点】
分式规律探究，数字递推规律
【点评】
本题是典型的代数式规律探究题，解题核心是将复杂的分式规律拆解为分子、分母两个独立的简单规律分别分析，得出结果后注意结合已知的后续项验证规律的正确性，避免找错规律。
【难度系数】
0.7
