登录
8. 已知 $ A = \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 - 1} - \frac{x}{x - 1} $。
(1)化简 $ A $；
(2)当 $ x $ 满足不等式组 $ \begin{cases} x - 1 ≥ 0, \\ x - 3 ＜ 0, \end{cases} $ 且 $ x $ 为整数时，求 $ A $ 的值。
(1)化简 $ A $；
(2)当 $ x $ 满足不等式组 $ \begin{cases} x - 1 ≥ 0, \\ x - 3 ＜ 0, \end{cases} $ 且 $ x $ 为整数时，求 $ A $ 的值。
答案
8.解:(1)$A=\frac{1}{x-1}$.
(2)不等式组的解集为$1≤ x＜3$.因为$x$为整数,所以$x=1$或$x=2$.因为$x≠\pm1$,所以$x=2$,所以$A=\frac{1}{2-1}=1$.
(2)不等式组的解集为$1≤ x＜3$.因为$x$为整数,所以$x=1$或$x=2$.因为$x≠\pm1$,所以$x=2$,所以$A=\frac{1}{2-1}=1$.
解析
【分析】
(1)化简A时，先利用因式分解对第一个分式的分子、分母分解，约分后再根据同分母分式减法法则计算即可，注意最后结果要化为最简分式；(2)先分别解不等式组中的两个不等式，得到x的取值范围，找出范围内的整数解，再结合分式有意义的条件（分母不为0）筛选出符合要求的x值，代入化简后的A中计算即可。
【解析】
(1) 对A进行化简：
首先对第一个分式因式分解：
$A = \frac{(x+1)^2}{(x+1)(x-1)} - \frac{x}{x-1}$
由分式有意义可知$x≠\pm1$，约分第一个分式得：
$A = \frac{x+1}{x-1} - \frac{x}{x-1}$
根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减：
$A = \frac{x+1 - x}{x-1} = \frac{1}{x-1}$
(2) 解不等式组$\begin{cases} x - 1 ≥ 0 \\ x - 3 ＜ 0 \end{cases}$
解第一个不等式$x-1≥0$，得$x≥1$；
解第二个不等式$x-3＜0$，得$x＜3$；
所以不等式组的解集为$1≤x＜3$。
因为x为整数，所以x的可能取值为1、2。
又因为分式有意义的条件为$x≠\pm1$，所以舍去x=1，取x=2。
将x=2代入化简后的A中：
$A = \frac{1}{2-1} = 1$
【答案】
(1)$A=\frac{1}{x-1}$；(2)$A$的值为1
【知识点】
分式的化简，一元一次不等式组的解法，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式运算与不等式组结合的基础题型，既考查了分式化简的运算能力，也需要关注分式有意义的隐含限制条件，避免忽略定义域直接代入不符合要求的x值导致错误，是兼顾基础和细心度考查的典型题目。
【难度系数】
0.7
(1)化简A时，先利用因式分解对第一个分式的分子、分母分解，约分后再根据同分母分式减法法则计算即可，注意最后结果要化为最简分式；(2)先分别解不等式组中的两个不等式，得到x的取值范围，找出范围内的整数解，再结合分式有意义的条件（分母不为0）筛选出符合要求的x值，代入化简后的A中计算即可。
【解析】
(1) 对A进行化简：
首先对第一个分式因式分解：
$A = \frac{(x+1)^2}{(x+1)(x-1)} - \frac{x}{x-1}$
由分式有意义可知$x≠\pm1$，约分第一个分式得：
$A = \frac{x+1}{x-1} - \frac{x}{x-1}$
根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减：
$A = \frac{x+1 - x}{x-1} = \frac{1}{x-1}$
(2) 解不等式组$\begin{cases} x - 1 ≥ 0 \\ x - 3 ＜ 0 \end{cases}$
解第一个不等式$x-1≥0$，得$x≥1$；
解第二个不等式$x-3＜0$，得$x＜3$；
所以不等式组的解集为$1≤x＜3$。
因为x为整数，所以x的可能取值为1、2。
又因为分式有意义的条件为$x≠\pm1$，所以舍去x=1，取x=2。
将x=2代入化简后的A中：
$A = \frac{1}{2-1} = 1$
【答案】
(1)$A=\frac{1}{x-1}$；(2)$A$的值为1
【知识点】
分式的化简，一元一次不等式组的解法，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式运算与不等式组结合的基础题型，既考查了分式化简的运算能力，也需要关注分式有意义的隐含限制条件，避免忽略定义域直接代入不符合要求的x值导致错误，是兼顾基础和细心度考查的典型题目。
【难度系数】
0.7
9. 已知分式$\frac{2x+n}{x-m}$（$m,n$为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（
A.$n=2$
B.$m=-2$
C.$p=6$
D.$q$的值不存在
A
）A.$n=2$
B.$m=-2$
C.$p=6$
D.$q$的值不存在
答案
9.A
解析
【分析】
解题时要结合分式的核心性质逐步推导：首先利用分式无意义时分母为0求出m的值；再利用分式值为0时分子为0且分母不为0求出n的值，确定完整的分式表达式；最后分别根据分式值为1、2的要求列方程求解p、q，逐一判断选项正误即可。
【解析】
1. 求m的值
当$x=-2$时分式无意义，此时分母$x-m=0$，代入$x=-2$得：
$-2 - m = 0$，解得$m=-2$，因此B选项正确。
2. 求n的值
当$x=2$时分式值为0，需满足分子为0且分母不为0：
代入$x=2$到分子中得：$2×2 + n = 0$，即$4 + n = 0$，解得$n=-4$，因此A选项错误。
此时完整分式为$\frac{2x-4}{x+2}$，验证$x=2$时分母$2+2=4≠0$，符合分式值为0的条件。
3. 求p的值
当$x=p$时分式值为1，列方程（需满足分母$p+2≠0$，即$p≠-2$）：
$\frac{2p-4}{p+2}=1$
两边同乘$p+2$得：$2p - 4 = p + 2$
移项计算得$p=6$，因此C选项正确。
4. 求q的值
当$x=q$时分式值为2，列方程（需满足分母$q+2≠0$，即$q≠-2$）：
$\frac{2q-4}{q+2}=2$
两边同乘$q+2$得：$2q - 4 = 2(q+2)$
展开化简得：$2q - 4 = 2q + 4$，即$0=8$，等式不成立，没有满足条件的q值，因此D选项正确。
【答案】
A
【知识点】
分式的相关性质；解分式方程
【点评】
本题是分式性质的基础综合应用题，核心是明确分式无意义、值为0的条件，解分式方程时要注意隐含的分母不为0的要求，只要掌握分式基础概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题时要结合分式的核心性质逐步推导：首先利用分式无意义时分母为0求出m的值；再利用分式值为0时分子为0且分母不为0求出n的值，确定完整的分式表达式；最后分别根据分式值为1、2的要求列方程求解p、q，逐一判断选项正误即可。
【解析】
1. 求m的值
当$x=-2$时分式无意义，此时分母$x-m=0$，代入$x=-2$得：
$-2 - m = 0$，解得$m=-2$，因此B选项正确。
2. 求n的值
当$x=2$时分式值为0，需满足分子为0且分母不为0：
代入$x=2$到分子中得：$2×2 + n = 0$，即$4 + n = 0$，解得$n=-4$，因此A选项错误。
此时完整分式为$\frac{2x-4}{x+2}$，验证$x=2$时分母$2+2=4≠0$，符合分式值为0的条件。
3. 求p的值
当$x=p$时分式值为1，列方程（需满足分母$p+2≠0$，即$p≠-2$）：
$\frac{2p-4}{p+2}=1$
两边同乘$p+2$得：$2p - 4 = p + 2$
移项计算得$p=6$，因此C选项正确。
4. 求q的值
当$x=q$时分式值为2，列方程（需满足分母$q+2≠0$，即$q≠-2$）：
$\frac{2q-4}{q+2}=2$
两边同乘$q+2$得：$2q - 4 = 2(q+2)$
展开化简得：$2q - 4 = 2q + 4$，即$0=8$，等式不成立，没有满足条件的q值，因此D选项正确。
【答案】
A
【知识点】
分式的相关性质；解分式方程
【点评】
本题是分式性质的基础综合应用题，核心是明确分式无意义、值为0的条件，解分式方程时要注意隐含的分母不为0的要求，只要掌握分式基础概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
10. 定义运算“※”：$a※b=\begin{cases} \dfrac{a}{a-b}&(a＞b), \\\\ \dfrac{b}{b-a}&(a＜b). \end{cases}$ 若$5※x=2$，则$x$的值为________.
答案
10.$\frac{5}{2}$或10
解析
【分析】
首先要理解新定义运算“※”的分段规则，运算公式由参与运算的两个数的大小关系决定。已知$5※x=2$，因此需要分两种情况讨论：①当$5＞x$时，代入对应的运算公式列分式方程求解；②当$5＜x$时，代入另一部分运算公式列分式方程求解。求解后要做两项检验：一是分式分母不为0，二是解符合对应情况的大小关系，最终得到符合要求的$x$值。
【解析】
根据新定义的运算规则，分两种情况讨论：
1. 当$5 ＞ x$时，代入对应运算公式得：
$5※x = \dfrac{5}{5 - x} = 2$
方程两边同乘$(5 - x)$得：$5 = 2(5 - x)$
去括号得：$5 = 10 - 2x$
移项、合并同类项得：$2x = 5$
解得：$x = \dfrac{5}{2}$
检验：$x = \dfrac{5}{2}$时，分母$5 - x = \dfrac{5}{2} ≠ 0$，且满足$5 ＞ \dfrac{5}{2}$，该解有效。
2. 当$5 ＜ x$时，代入对应运算公式得：
$5※x = \dfrac{x}{x - 5} = 2$
方程两边同乘$(x - 5)$得：$x = 2(x - 5)$
去括号得：$x = 2x - 10$
移项、合并同类项得：$x = 10$
检验：$x = 10$时，分母$x - 5 = 5 ≠ 0$，且满足$5 ＜ 10$，该解有效。
【答案】
$\dfrac{5}{2}$或$10$
【知识点】
新定义运算；分式方程求解；分类讨论思想
【点评】
本题重点考察对分段式新定义运算的理解能力，解题关键是按照两个数的大小关系分情况列方程，同时要注意分式方程必须验根，且解要符合对应分类的前提条件，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
首先要理解新定义运算“※”的分段规则，运算公式由参与运算的两个数的大小关系决定。已知$5※x=2$，因此需要分两种情况讨论：①当$5＞x$时，代入对应的运算公式列分式方程求解；②当$5＜x$时，代入另一部分运算公式列分式方程求解。求解后要做两项检验：一是分式分母不为0，二是解符合对应情况的大小关系，最终得到符合要求的$x$值。
【解析】
根据新定义的运算规则，分两种情况讨论：
1. 当$5 ＞ x$时，代入对应运算公式得：
$5※x = \dfrac{5}{5 - x} = 2$
方程两边同乘$(5 - x)$得：$5 = 2(5 - x)$
去括号得：$5 = 10 - 2x$
移项、合并同类项得：$2x = 5$
解得：$x = \dfrac{5}{2}$
检验：$x = \dfrac{5}{2}$时，分母$5 - x = \dfrac{5}{2} ≠ 0$，且满足$5 ＞ \dfrac{5}{2}$，该解有效。
2. 当$5 ＜ x$时，代入对应运算公式得：
$5※x = \dfrac{x}{x - 5} = 2$
方程两边同乘$(x - 5)$得：$x = 2(x - 5)$
去括号得：$x = 2x - 10$
移项、合并同类项得：$x = 10$
检验：$x = 10$时，分母$x - 5 = 5 ≠ 0$，且满足$5 ＜ 10$，该解有效。
【答案】
$\dfrac{5}{2}$或$10$
【知识点】
新定义运算；分式方程求解；分类讨论思想
【点评】
本题重点考察对分段式新定义运算的理解能力，解题关键是按照两个数的大小关系分情况列方程，同时要注意分式方程必须验根，且解要符合对应分类的前提条件，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
11. 已知关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{2}{x-1} + \frac{mx}{(x-1)(x+2)} = \frac{1}{x+2}$。
(1)若方程的增根为 $ x=1 $，求 $ m $ 的值；
(2)若方程有增根，求 $ m $ 的值；
(3)若方程无解，求 $ m $ 的值。
(1)若方程的增根为 $ x=1 $，求 $ m $ 的值；
(2)若方程有增根，求 $ m $ 的值；
(3)若方程无解，求 $ m $ 的值。
答案
11.解:方程两边同乘以$(x+2)(x-1)$,得$2(x+2)+mx=x-1$,整理得$(m+1)x=-5$.
(1)由题意,将$x=1$代入,得$m=-6$.
(2)由题意,得$x=1$,$x=-2$为方程的增根.将$x=1$,$x=-2$分别代入,得$m=-6$或$m=\frac{3}{2}$.
(3)当$m+1=0$时,该方程无解,此时$m=-1$;当$m+1≠0$时,原分式方程有增根,由(2)得$m=-6$或$m=\frac{3}{2}$.
综上所述,$m$的值为$-1$或$-6$或$\frac{3}{2}$.
(1)由题意,将$x=1$代入,得$m=-6$.
(2)由题意,得$x=1$,$x=-2$为方程的增根.将$x=1$,$x=-2$分别代入,得$m=-6$或$m=\frac{3}{2}$.
(3)当$m+1=0$时,该方程无解,此时$m=-1$;当$m+1≠0$时,原分式方程有增根,由(2)得$m=-6$或$m=\frac{3}{2}$.
综上所述,$m$的值为$-1$或$-6$或$\frac{3}{2}$.
解析
【分析】
解决这类分式方程增根、无解的问题，首先要将分式方程转化为整式方程：先找到原方程的最简公分母，方程两边同乘最简公分母消去分母，得到整式方程。接下来按问题要求分步处理：
(1) 增根是去分母后整式方程的根，已知增根为$x=1$，直接代入整式方程即可求出$m$的值；
(2) 分式方程的增根是使原方程分母为0的$x$值，先求出所有可能的增根，再分别代入整式方程就能得到对应的$m$值；
(3) 分式方程无解分两种情况：一是化简后的整式方程本身无解（一元一次方程一次项系数为0、常数项不为0时无解），二是整式方程的解恰好是原分式方程的增根，合并两种情况的$m$值即可。
【解析】
首先给原方程两边同时乘以最简公分母$(x+2)(x-1)$，去分母得：
$2(x+2)+mx=x-1$
整理整式方程得：$(m+1)x=-5$
(1) 已知方程的增根为$x=1$，将$x=1$代入$(m+1)x=-5$，得：
$m+1=-5$，解得$m=-6$
(2) 若方程有增根，则最简公分母$(x+2)(x-1)=0$，解得增根为$x=1$或$x=-2$
将$x=1$代入$(m+1)x=-5$，得$m=-6$；
将$x=-2$代入$(m+1)x=-5$，得$-2(m+1)=-5$，解得$m=\frac{3}{2}$
故$m$的值为$-6$或$\frac{3}{2}$
(3) 分式方程无解分两种情况讨论：
① 当整式方程$(m+1)x=-5$无解时，此时一次项系数为0，即$m+1=0$，解得$m=-1$；
② 当整式方程有解，但解是原分式方程的增根时，由(2)可知此时$m=-6$或$m=\frac{3}{2}$
综上，$m$的值为$-1$或$-6$或$\frac{3}{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{m=-6}$；
(2) $\boldsymbol{m=-6}$或$\boldsymbol{m=\frac{3}{2}}$；
(3) $\boldsymbol{m=-1}$或$\boldsymbol{m=-6}$或$\boldsymbol{m=\frac{3}{2}}$
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解；一元一次方程的解法
【点评】
本题重点考查分式方程增根和无解的区别，解题的核心是先将分式方程转化为整式方程，求解时注意无解包含整式方程本身无解、整式方程的解为增根两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解决这类分式方程增根、无解的问题，首先要将分式方程转化为整式方程：先找到原方程的最简公分母，方程两边同乘最简公分母消去分母，得到整式方程。接下来按问题要求分步处理：
(1) 增根是去分母后整式方程的根，已知增根为$x=1$，直接代入整式方程即可求出$m$的值；
(2) 分式方程的增根是使原方程分母为0的$x$值，先求出所有可能的增根，再分别代入整式方程就能得到对应的$m$值；
(3) 分式方程无解分两种情况：一是化简后的整式方程本身无解（一元一次方程一次项系数为0、常数项不为0时无解），二是整式方程的解恰好是原分式方程的增根，合并两种情况的$m$值即可。
【解析】
首先给原方程两边同时乘以最简公分母$(x+2)(x-1)$，去分母得：
$2(x+2)+mx=x-1$
整理整式方程得：$(m+1)x=-5$
(1) 已知方程的增根为$x=1$，将$x=1$代入$(m+1)x=-5$，得：
$m+1=-5$，解得$m=-6$
(2) 若方程有增根，则最简公分母$(x+2)(x-1)=0$，解得增根为$x=1$或$x=-2$
将$x=1$代入$(m+1)x=-5$，得$m=-6$；
将$x=-2$代入$(m+1)x=-5$，得$-2(m+1)=-5$，解得$m=\frac{3}{2}$
故$m$的值为$-6$或$\frac{3}{2}$
(3) 分式方程无解分两种情况讨论：
① 当整式方程$(m+1)x=-5$无解时，此时一次项系数为0，即$m+1=0$，解得$m=-1$；
② 当整式方程有解，但解是原分式方程的增根时，由(2)可知此时$m=-6$或$m=\frac{3}{2}$
综上，$m$的值为$-1$或$-6$或$\frac{3}{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{m=-6}$；
(2) $\boldsymbol{m=-6}$或$\boldsymbol{m=\frac{3}{2}}$；
(3) $\boldsymbol{m=-1}$或$\boldsymbol{m=-6}$或$\boldsymbol{m=\frac{3}{2}}$
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解；一元一次方程的解法
【点评】
本题重点考查分式方程增根和无解的区别，解题的核心是先将分式方程转化为整式方程，求解时注意无解包含整式方程本身无解、整式方程的解为增根两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
