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12. 已知分式方程$\frac{2}{x-1}+\frac{x}{1-x}=$■有解，其中“■”表示一个数.
(1)若“■”表示的数为4，求分式方程的解.
(2)小马虎回忆说：抄题时等号右边的数值抄错了，但找不到原题目，可以肯定的是“■”是－1或0.试确定“■”表示的数.
(1)若“■”表示的数为4，求分式方程的解.
(2)小马虎回忆说：抄题时等号右边的数值抄错了，但找不到原题目，可以肯定的是“■”是－1或0.试确定“■”表示的数.
答案
12.解:(1)$x=\frac{6}{5}$
(2)"■"表示的数是0.
(2)"■"表示的数是0.
解析
【分析】
(1) 已知“■”为4，解该分式方程可按照分式方程的常规解题步骤进行：先统一分母形式，去分母转化为整式方程求解，最后检验解是否使原分式的分母不为0即可。
(2) 分别将-1和0代入“■”的位置求解分式方程，结合题目给出的“分式方程有解”的条件，排除导致方程无解的取值，剩余符合要求的就是“■”表示的数，注意求解后必须检验是否存在增根或方程矛盾的情况。
【解析】
(1) 当“■”表示的数为4时，原方程为：
$\frac{2}{x-1}+\frac{x}{1-x}=4$
将第二个分式变形为同分母形式：$\frac{x}{1-x}=-\frac{x}{x-1}$，方程可化为：
$\frac{2}{x-1}-\frac{x}{x-1}=4$
方程两边同时乘以最简公分母$(x-1)$（注意$x≠1$），去分母得：
$2 - x = 4(x - 1)$
展开并移项整理：
$2 - x = 4x - 4$
$5x = 6$
解得$x=\frac{6}{5}$
检验：把$x=\frac{6}{5}$代入$x-1$，得$\frac{6}{5}-1=\frac{1}{5}≠0$，因此$x=\frac{6}{5}$是原分式方程的解。
(2) 分两种情况讨论：
① 若“■”为-1，原方程为：
$\frac{2}{x-1}+\frac{x}{1-x}=-1$
两边同乘$(x-1)$去分母得：
$2 - x = -(x - 1)$
整理得$2 - x = -x + 1$，两边同时加$x$得$2=1$，等式不成立，此时方程无解，不符合题意，排除。
② 若“■”为0，原方程为：
$\frac{2}{x-1}+\frac{x}{1-x}=0$
两边同乘$(x-1)$去分母得：
$2 - x = 0$
解得$x=2$
检验：把$x=2$代入$x-1$，得$2-1=1≠0$，此时方程有解，符合题意。
综上，“■”表示的数是0。
【答案】
(1)$x=\frac{6}{5}$
(2)“■”表示的数是0
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的检验；增根的概念
【点评】
本题重点考查分式方程的求解及解的判定，解题的关键是牢记解分式方程必须检验，第二问需要结合方程有解的条件对取值进行筛选，避免忽略增根或方程无解的情况。
【难度系数】
0.7
(1) 已知“■”为4，解该分式方程可按照分式方程的常规解题步骤进行：先统一分母形式，去分母转化为整式方程求解，最后检验解是否使原分式的分母不为0即可。
(2) 分别将-1和0代入“■”的位置求解分式方程，结合题目给出的“分式方程有解”的条件，排除导致方程无解的取值，剩余符合要求的就是“■”表示的数，注意求解后必须检验是否存在增根或方程矛盾的情况。
【解析】
(1) 当“■”表示的数为4时，原方程为：
$\frac{2}{x-1}+\frac{x}{1-x}=4$
将第二个分式变形为同分母形式：$\frac{x}{1-x}=-\frac{x}{x-1}$，方程可化为：
$\frac{2}{x-1}-\frac{x}{x-1}=4$
方程两边同时乘以最简公分母$(x-1)$（注意$x≠1$），去分母得：
$2 - x = 4(x - 1)$
展开并移项整理：
$2 - x = 4x - 4$
$5x = 6$
解得$x=\frac{6}{5}$
检验：把$x=\frac{6}{5}$代入$x-1$，得$\frac{6}{5}-1=\frac{1}{5}≠0$，因此$x=\frac{6}{5}$是原分式方程的解。
(2) 分两种情况讨论：
① 若“■”为-1，原方程为：
$\frac{2}{x-1}+\frac{x}{1-x}=-1$
两边同乘$(x-1)$去分母得：
$2 - x = -(x - 1)$
整理得$2 - x = -x + 1$，两边同时加$x$得$2=1$，等式不成立，此时方程无解，不符合题意，排除。
② 若“■”为0，原方程为：
$\frac{2}{x-1}+\frac{x}{1-x}=0$
两边同乘$(x-1)$去分母得：
$2 - x = 0$
解得$x=2$
检验：把$x=2$代入$x-1$，得$2-1=1≠0$，此时方程有解，符合题意。
综上，“■”表示的数是0。
【答案】
(1)$x=\frac{6}{5}$
(2)“■”表示的数是0
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的检验；增根的概念
【点评】
本题重点考查分式方程的求解及解的判定，解题的关键是牢记解分式方程必须检验，第二问需要结合方程有解的条件对取值进行筛选，避免忽略增根或方程无解的情况。
【难度系数】
0.7
13. [新课标·综合与实践题]根据以下素材,探索完成任务.
公司为周年庆准备购买奖品的方案设计
素材一 某现代科技产品专卖店销售智能手环与智能手表,已知智能手表的单价是智能手环的2.5倍.小张发现,用1 000元购买智能手环的数量比用2 000元购买智能手表的数量多1个
素材二 某公司计划花费20 000元在该专卖店购买智能手表和智能手环作为奖品颁发给64名优秀经理和优秀员工(每人颁发1个智能手表或1个智能手环)
素材三 公司购买奖品后,专卖店为了回馈公司,赠送了$m$张$(1≤m≤6)$兑换券用于下次购物抵扣.使用这些兑换券后,通过再次购买或兑换,在花费图1的情况下,使购买智能手环的数量比智能手表的数量多20个
素材四 兑换券的使用:一张兑换券可以兑换2个智能手表或5个智能手环
解决问题
任务1 (1)求智能手环与智能手表的单价
任务2 (2)在不使用兑换券的情况下,根据公司的购买情况,求原本购买的智能手环与智能手表的数量
任务3 (3)确定兑换方案,并求$m$的值
公司为周年庆准备购买奖品的方案设计
素材一 某现代科技产品专卖店销售智能手环与智能手表,已知智能手表的单价是智能手环的2.5倍.小张发现,用1 000元购买智能手环的数量比用2 000元购买智能手表的数量多1个
素材二 某公司计划花费20 000元在该专卖店购买智能手表和智能手环作为奖品颁发给64名优秀经理和优秀员工(每人颁发1个智能手表或1个智能手环)
素材三 公司购买奖品后,专卖店为了回馈公司,赠送了$m$张$(1≤m≤6)$兑换券用于下次购物抵扣.使用这些兑换券后,通过再次购买或兑换,在花费图1的情况下,使购买智能手环的数量比智能手表的数量多20个
素材四 兑换券的使用:一张兑换券可以兑换2个智能手表或5个智能手环
解决问题
任务1 (1)求智能手环与智能手表的单价
任务2 (2)在不使用兑换券的情况下,根据公司的购买情况,求原本购买的智能手环与智能手表的数量
任务3 (3)确定兑换方案,并求$m$的值
答案
13.解:(1)设智能手环的单价为$x$元,则智能手表的单价为$2.5x$元.由题意,得$\frac{1000}{x}-\frac{2000}{2.5x}=1$,解得$x=200$.经检验,$x=200$是原方程的解,且符合题意,所以$2.5x=2.5×200=500$(元).
答:智能手环的单价为200元,智能手表的单价为500元.
(2)设原本购买智能手环$a$个,智能手表$b$个.根据题意,得$\begin{cases} a+b=64, \\ 200a+500b=20000, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=40, \\ b=24. \end{cases}$
答:原本购买智能手环40个,智能手表24个.
(3)设使用$c$张兑换券兑换智能手表,则使用$(m-c)$张兑换券兑换智能手环.根据题意,得$24+2c=40+5(m-c)-20$,解得$c=\frac{5m-4}{7}$.因为$c$,$(m-c)$均为非负整数,且$1≤ m≤6$,$c≤ m$,所以$\begin{cases} c=3, \\ m=5. \end{cases}$兑换方案:用3张兑换券兑换智能手表(共兑换$3×2=6$个),用2张兑换券兑换智能手环(共兑换$2×5=10$个).综上可知,$m$的值为5.
答:智能手环的单价为200元,智能手表的单价为500元.
(2)设原本购买智能手环$a$个,智能手表$b$个.根据题意,得$\begin{cases} a+b=64, \\ 200a+500b=20000, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=40, \\ b=24. \end{cases}$
答:原本购买智能手环40个,智能手表24个.
(3)设使用$c$张兑换券兑换智能手表,则使用$(m-c)$张兑换券兑换智能手环.根据题意,得$24+2c=40+5(m-c)-20$,解得$c=\frac{5m-4}{7}$.因为$c$,$(m-c)$均为非负整数,且$1≤ m≤6$,$c≤ m$,所以$\begin{cases} c=3, \\ m=5. \end{cases}$兑换方案:用3张兑换券兑换智能手表(共兑换$3×2=6$个),用2张兑换券兑换智能手环(共兑换$2×5=10$个).综上可知,$m$的值为5.
解析
【分析】
（1）第一问求两种商品的单价，可设智能手环单价为$x$元，根据题意可知智能手表单价为$2.5x$元，再结合“1000元购买智能手环的数量比2000元购买智能手表的数量多1个”的等量关系列分式方程求解，注意分式方程要检验根是否符合实际意义。
（2）第二问求原本购买的两种奖品数量，可设购买智能手环$a$个、智能手表$b$个，根据“总发放人数64人”“总花费20000元”两个等量关系列二元一次方程组，用代入消元法求解即可。
（3）第三问求兑换方案和$m$的值，可设$c$张兑换券兑换智能手表，剩余$(m-c)$张兑换智能手环，结合“兑换后智能手环总数量比智能手表总数量多20个”列等式，整理得到$c$和$m$的关系，再结合$c$、$m$均为非负整数，且$1≤m≤6$的限制条件，筛选出符合要求的取值即可得到兑换方案。
【解析】
(1) 设智能手环的单价为$x$元，则智能手表的单价为$2.5x$元。
由题意得：$\frac{1000}{x}-\frac{2000}{2.5x}=1$
通分化简得：$\frac{500}{2.5x}=1$，解得$x=200$。
经检验，$x=200$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则智能手表单价为$2.5×200=500$（元）。
(2) 设原本购买智能手环$a$个，智能手表$b$个。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} a+b=64 \\ 200a+500b=20000 \end{cases}$
化简第二个方程得$2a+5b=200$，将$a=64-b$代入得：
$2(64-b)+5b=200$，解得$b=24$，则$a=64-24=40$。
(3) 设使用$c$张兑换券兑换智能手表，则使用$(m-c)$张兑换券兑换智能手环。
兑换后智能手表总数量为$24+2c$，智能手环总数量为$40+5(m-c)$，根据题意得：
$40+5(m-c)-(24+2c)=20$
整理得：$7c=5m-4$，即$c=\frac{5m-4}{7}$。
因为$c$、$(m-c)$均为非负整数，且$1≤m≤6$，将$m=1$到$6$依次代入验证，仅当$m=5$时，$c=\frac{25-4}{7}=3$，此时$m-c=2$，符合要求。
兑换方案：用3张兑换券兑换智能手表，共兑换$3×2=6$个；用2张兑换券兑换智能手环，共兑换$2×5=10$个。
【答案】
(1) 智能手环单价为200元，智能手表单价为500元；
(2) 原本购买智能手环40个，智能手表24个；
(3) 兑换方案为用3张兑换券兑换6个智能手表、2张兑换券兑换10个智能手环，$m$的值为5。
【知识点】
分式方程的实际应用；二元一次方程组的实际应用；不定方程的整数解
【点评】
本题结合生活中的购物发奖场景设计问题，层次递进，前两问侧重考查基础方程的建模与求解能力，第三问需要结合实际场景筛选整数解，能有效考查学生的逻辑推理能力和解决实际问题的能力，符合新课标综合实践类题目的考查要求。
【难度系数】
0.6
（1）第一问求两种商品的单价，可设智能手环单价为$x$元，根据题意可知智能手表单价为$2.5x$元，再结合“1000元购买智能手环的数量比2000元购买智能手表的数量多1个”的等量关系列分式方程求解，注意分式方程要检验根是否符合实际意义。
（2）第二问求原本购买的两种奖品数量，可设购买智能手环$a$个、智能手表$b$个，根据“总发放人数64人”“总花费20000元”两个等量关系列二元一次方程组，用代入消元法求解即可。
（3）第三问求兑换方案和$m$的值，可设$c$张兑换券兑换智能手表，剩余$(m-c)$张兑换智能手环，结合“兑换后智能手环总数量比智能手表总数量多20个”列等式，整理得到$c$和$m$的关系，再结合$c$、$m$均为非负整数，且$1≤m≤6$的限制条件，筛选出符合要求的取值即可得到兑换方案。
【解析】
(1) 设智能手环的单价为$x$元，则智能手表的单价为$2.5x$元。
由题意得：$\frac{1000}{x}-\frac{2000}{2.5x}=1$
通分化简得：$\frac{500}{2.5x}=1$，解得$x=200$。
经检验，$x=200$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则智能手表单价为$2.5×200=500$（元）。
(2) 设原本购买智能手环$a$个，智能手表$b$个。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} a+b=64 \\ 200a+500b=20000 \end{cases}$
化简第二个方程得$2a+5b=200$，将$a=64-b$代入得：
$2(64-b)+5b=200$，解得$b=24$，则$a=64-24=40$。
(3) 设使用$c$张兑换券兑换智能手表，则使用$(m-c)$张兑换券兑换智能手环。
兑换后智能手表总数量为$24+2c$，智能手环总数量为$40+5(m-c)$，根据题意得：
$40+5(m-c)-(24+2c)=20$
整理得：$7c=5m-4$，即$c=\frac{5m-4}{7}$。
因为$c$、$(m-c)$均为非负整数，且$1≤m≤6$，将$m=1$到$6$依次代入验证，仅当$m=5$时，$c=\frac{25-4}{7}=3$，此时$m-c=2$，符合要求。
兑换方案：用3张兑换券兑换智能手表，共兑换$3×2=6$个；用2张兑换券兑换智能手环，共兑换$2×5=10$个。
【答案】
(1) 智能手环单价为200元，智能手表单价为500元；
(2) 原本购买智能手环40个，智能手表24个；
(3) 兑换方案为用3张兑换券兑换6个智能手表、2张兑换券兑换10个智能手环，$m$的值为5。
【知识点】
分式方程的实际应用；二元一次方程组的实际应用；不定方程的整数解
【点评】
本题结合生活中的购物发奖场景设计问题，层次递进，前两问侧重考查基础方程的建模与求解能力，第三问需要结合实际场景筛选整数解，能有效考查学生的逻辑推理能力和解决实际问题的能力，符合新课标综合实践类题目的考查要求。
【难度系数】
0.6
