13. 阅读下面的材料,解答后面的问题.
解方程:$\dfrac{x-1}{x}-\dfrac{4x}{x-1}=0$.
解:设$y=\dfrac{x-1}{x}$,则原方程化为$y-\dfrac{4}{y}=0$.
方程两边同乘以$y$,得$y^2 - 4 = 0$,解得$y = \pm 2$.
经检验,$y = \pm 2$都是方程$y - \dfrac{4}{y} = 0$的解.
所以当$y = 2$时,$\dfrac{x-1}{x} = 2$,解得$x = -1$;
当$y = -2$时,$\dfrac{x-1}{x} = -2$,解得$x = \dfrac{1}{3}$.
经检验,$x = -1$和$x = \dfrac{1}{3}$都是原分式方程的解,
所以原分式方程的解为$x = -1$或$x = \dfrac{1}{3}$.
上述解分式方程的方法称为换元法.
模仿上述解分式方程的方法,解方程:$\dfrac{x-1}{x+2}-\dfrac{3}{x-1}-1=0$.

13.解:原方程化为$\frac{x-1}{x+2}-\frac{x+2}{x-1}=0$.设$y=\frac{x-1}{x+2}$,则原方程化为$y-\frac{1}{y}=0$.方程两边同乘以$y$,得$y^2-1=0$,解得$y=±1$.经检验,$y=±1$都是方程$y-\frac{1}{y}=0$的解.所以当$y=1$时,$\frac{x-1}{x+2}=1$,该方程无解;当$y=-1$时,$\frac{x-1}{x+2}=-1$,解得$x=-\frac{1}{2}$.经检验,$x=-\frac{1}{2}$是原分式方程的解,所以原分式方程的解为$x=-\frac{1}{2}$.

【分析】
首先我们先对原方程进行化简变形，观察变形后的方程可以发现两个分式的分子分母互换，互为倒数关系，适合使用题目给出的换元法求解：第一步先整理原方程，将含x的分式转化为互为倒数的两个分式相减等于0的形式；第二步设其中一个分式为y，另一个分式即为$\frac{1}{y}$，将原分式方程转化为关于y的整式方程；第三步解出y的值后，回代到所设的式子中求出x的可能值；最后对求出的x进行检验，排除增根得到原方程的解。
【解析】
首先对原方程进行变形：
原方程$\dfrac{x-1}{x+2}-\dfrac{3}{x-1}-1=0$，将后两项合并得：
$\dfrac{x-1}{x+2}-\dfrac{3+(x-1)}{x-1}=0$，化简得$\dfrac{x-1}{x+2}-\dfrac{x+2}{x-1}=0$。
设$y=\dfrac{x-1}{x+2}$，则$\dfrac{x+2}{x-1}=\dfrac{1}{y}$，原方程化为$y-\dfrac{1}{y}=0$。
方程两边同乘以$y$（$y≠0$），得$y^2 - 1 = 0$，解得$y=\pm1$。
经检验，$y=\pm1$都是方程$y-\dfrac{1}{y}=0$的解。
当$y=1$时，$\dfrac{x-1}{x+2}=1$，两边同乘$x+2$得$x-1=x+2$，化简得$-1=2$，矛盾，该方程无解；
当$y=-1$时，$\dfrac{x-1}{x+2}=-1$，两边同乘$x+2$得$x-1=-x-2$，移项合并得$2x=-1$，解得$x=-\dfrac{1}{2}$。
经检验，$x=-\dfrac{1}{2}$代入原方程分母均不为0，等式成立，是原分式方程的解。
【答案】
$x=-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
换元法解分式方程；分式方程验根；整式方程求解
【点评】
本题是材料类仿解题，核心是掌握换元法的应用，解题时要先观察分式的结构特征，找到可换元的倒数关系简化计算，需注意分式方程无论是换元后的方程还是最终的原方程，都需要检验根的有效性，避免出现增根。
【难度系数】
0.7