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11.在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A，B两种型号的收割机参加水稻收割比赛.已知乙每小时收割的水稻亩数比甲少40%，两人各收割6亩水稻，乙比甲多用0.4 h完成任务.甲、乙两人在收割水稻的过程中都有一定的遗落或破损，损失率分别为3%，2%.
(1)甲、乙两人每小时各能收割多少亩水稻？
(2)某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过2.4%，则最多安排甲收割多长时间？
(1)甲、乙两人每小时各能收割多少亩水稻？
(2)某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过2.4%，则最多安排甲收割多长时间？
答案
11.解:(1)设甲每小时收割$x$亩水稻,则乙每小时收割$(1-40\%)x$亩水稻.依题意,得$\frac{6}{(1-40\%)x}-\frac{6}{x}=0.4$,解得$x=10$,经检验,$x=10$是原分式方程的解,且符合题意,所以$(1-40\%)x=(1-40\%)×10=6$.
答:甲每小时收割10亩水稻,乙每小时收割6亩水稻.
(2)设安排甲收割$y$ h,则安排乙收割$\frac{100-10y}{6}$ h.依题意,得$3\%×10y+2\%×6×\frac{100-10y}{6}≤2.4\%×100$,解得$y≤4$.
答:最多安排甲收割4 h.
答:甲每小时收割10亩水稻,乙每小时收割6亩水稻.
(2)设安排甲收割$y$ h,则安排乙收割$\frac{100-10y}{6}$ h.依题意,得$3\%×10y+2\%×6×\frac{100-10y}{6}≤2.4\%×100$,解得$y≤4$.
答:最多安排甲收割4 h.
解析
【分析】
(1) 本题是工程类分式方程应用题，解题核心是找准时间差的等量关系。首先设甲每小时收割x亩，根据“乙每小时收割的亩数比甲少40%”可表示出乙的效率为$(1-40\%)x$亩/小时，再根据“乙收割6亩的时间减去甲收割6亩的时间等于0.4h”列分式方程，求解后需检验分式方程的根是否符合实际意义。
(2) 本题是一元一次不等式应用题，核心是抓住“平均损失率不超过2.4%”的不等关系。设甲收割y小时，先表示出甲收割的亩数为10y亩，剩余由乙收割的亩数为$(100-10y)$亩，再根据“甲的损失量加乙的损失量小于等于总亩数乘2.4%”列不等式求解即可。
【解析】
(1) 设甲每小时收割$x$亩水稻，则乙每小时收割$(1-40\%)x$亩水稻。
依题意列方程：
$\frac{6}{(1-40\%)x}-\frac{6}{x}=0.4$
化简得$\frac{6}{0.6x}-\frac{6}{x}=0.4$，方程两边同乘$0.6x$去分母得：
$6-3.6=0.24x$
解得$x=10$
检验：当$x=10$时，$0.6x=6≠0$，因此$x=10$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则乙每小时收割的亩数为：$(1-40\%)×10=6$（亩）
(2) 设安排甲收割$y$ h，则甲收割的亩数为$10y$亩，剩余需乙收割的亩数为$(100-10y)$亩。
依题意列不等式：
$3\%×10y+2\%×(100-10y)≤2.4\%×100$
化简得：
$0.3y+2-0.2y≤2.4$
合并同类项得$0.1y≤0.4$
解得$y≤4$
【答案】
(1) 甲每小时收割10亩水稻，乙每小时收割6亩水稻；
(2) 最多安排甲收割4 h。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用；百分率问题
【点评】
本题属于综合型实际应用题，结合了分式方程与一元一次不等式两个考点，解题的关键是准确梳理题干中的等量关系和不等关系，尤其要注意分式方程求解后必须检验根的合理性。
【难度系数】
0.7
(1) 本题是工程类分式方程应用题，解题核心是找准时间差的等量关系。首先设甲每小时收割x亩，根据“乙每小时收割的亩数比甲少40%”可表示出乙的效率为$(1-40\%)x$亩/小时，再根据“乙收割6亩的时间减去甲收割6亩的时间等于0.4h”列分式方程，求解后需检验分式方程的根是否符合实际意义。
(2) 本题是一元一次不等式应用题，核心是抓住“平均损失率不超过2.4%”的不等关系。设甲收割y小时，先表示出甲收割的亩数为10y亩，剩余由乙收割的亩数为$(100-10y)$亩，再根据“甲的损失量加乙的损失量小于等于总亩数乘2.4%”列不等式求解即可。
【解析】
(1) 设甲每小时收割$x$亩水稻，则乙每小时收割$(1-40\%)x$亩水稻。
依题意列方程：
$\frac{6}{(1-40\%)x}-\frac{6}{x}=0.4$
化简得$\frac{6}{0.6x}-\frac{6}{x}=0.4$，方程两边同乘$0.6x$去分母得：
$6-3.6=0.24x$
解得$x=10$
检验：当$x=10$时，$0.6x=6≠0$，因此$x=10$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则乙每小时收割的亩数为：$(1-40\%)×10=6$（亩）
(2) 设安排甲收割$y$ h，则甲收割的亩数为$10y$亩，剩余需乙收割的亩数为$(100-10y)$亩。
依题意列不等式：
$3\%×10y+2\%×(100-10y)≤2.4\%×100$
化简得：
$0.3y+2-0.2y≤2.4$
合并同类项得$0.1y≤0.4$
解得$y≤4$
【答案】
(1) 甲每小时收割10亩水稻，乙每小时收割6亩水稻；
(2) 最多安排甲收割4 h。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用；百分率问题
【点评】
本题属于综合型实际应用题，结合了分式方程与一元一次不等式两个考点，解题的关键是准确梳理题干中的等量关系和不等关系，尤其要注意分式方程求解后必须检验根的合理性。
【难度系数】
0.7
12. 若关于 $ x $ 的一元一次不等式组 $\begin{cases} 3x - 2 ≥ 2(x + 2), & ① \\ a - 2x ＜ -5 & ② \end{cases}$ 的解集为 $ x ≥ 6 $，且关于 $ y $ 的分式方程 $\frac{y + 2a}{y - 1} + \frac{3y - 8}{1 - y} = 2$ 的解是正整数，求所有满足条件的整数 $ a $ 的值的和。
答案
12.解:解不等式①,得$x≥6$;解不等式②,得$x＞\frac{5+a}{2}$.由不等式组的解集为$x≥6$,得$\frac{5+a}{2}＜6$,所以$a＜7$.由分式方程,得$y=\frac{a+5}{2}$.因为方程的解是正整数,且$y=\frac{a+5}{2}≠1,\frac{a+5}{2}＜6$,所以$y$的值为2,3,4,5,对应的$a$的值为-1,1,3,5,所以所有满足条件的整数$a$的值的和为8.
解析
【分析】
解题时我们按照先处理不等式组、再求解分式方程的顺序逐步推导：第一步先分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据题目给出的不等式组解集为$x≥6$，结合“同大取大”的解集确定规则，得到关于参数$a$的不等式，求出$a$的取值范围；第二步解分式方程，将方程转化为整式方程后用含$a$的式子表示出$y$的解，注意分式方程的解不能使分母为0（即排除增根），再结合“解是正整数”和第一步得到的$a$的范围，筛选出所有符合条件的整数$a$，最后计算这些$a$的和即可。
【解析】
1. 解不等式组：
解不等式①$3x - 2 ≥ 2(x + 2)$：
展开右边得$3x - 2 ≥ 2x + 4$，
移项合并同类项得$x ≥ 6$。
解不等式②$a - 2x ＜ -5$：
移项得$-2x ＜ -a - 5$，
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x ＞ \frac{a+5}{2}$。
已知不等式组的解集为$x ≥ 6$，根据“同大取大”的规则，可得$\frac{a+5}{2} ＜ 6$，
解这个不等式得$a + 5 ＜ 12$，即$a ＜ 7$。
2. 解分式方程$\frac{y + 2a}{y - 1} + \frac{3y - 8}{1 - y} = 2$：
先将分母统一，变形为$\frac{y + 2a}{y - 1} - \frac{3y - 8}{y - 1} = 2$，
两边同时乘以$(y - 1)$（注意$y ≠ 1$，否则分母为0是增根），得：
$y + 2a - (3y - 8) = 2(y - 1)$，
展开整理得：$y + 2a - 3y + 8 = 2y - 2$，
移项合并同类项得：$-4y = -2a - 10$，
系数化为1得：$y = \frac{a + 5}{2}$。
3. 筛选符合条件的$a$：
因为分式方程的解是正整数，且$y ≠ 1$，结合$a ＜ 7$可得$y = \frac{a + 5}{2} ＜ \frac{7 + 5}{2} = 6$，
所以$y$的可取值为2、3、4、5：
当$y=2$时，$\frac{a+5}{2}=2$，解得$a=-1$；
当$y=3$时，$\frac{a+5}{2}=3$，解得$a=1$；
当$y=4$时，$\frac{a+5}{2}=4$，解得$a=3$；
当$y=5$时，$\frac{a+5}{2}=5$，解得$a=5$。
4. 计算符合条件的$a$的和：
$-1 + 1 + 3 + 5 = 8$。
【答案】
8
【知识点】
一元一次不等式组解集，分式方程求解，参数整数解计算
【点评】
本题是不等式与分式方程的综合应用题，解题时要注意两个易错点：一是根据不等式组解集判断参数范围时要注意端点的取舍，二是求解分式方程时必须排除增根，再结合正整数的条件筛选参数，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时我们按照先处理不等式组、再求解分式方程的顺序逐步推导：第一步先分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据题目给出的不等式组解集为$x≥6$，结合“同大取大”的解集确定规则，得到关于参数$a$的不等式，求出$a$的取值范围；第二步解分式方程，将方程转化为整式方程后用含$a$的式子表示出$y$的解，注意分式方程的解不能使分母为0（即排除增根），再结合“解是正整数”和第一步得到的$a$的范围，筛选出所有符合条件的整数$a$，最后计算这些$a$的和即可。
【解析】
1. 解不等式组：
解不等式①$3x - 2 ≥ 2(x + 2)$：
展开右边得$3x - 2 ≥ 2x + 4$，
移项合并同类项得$x ≥ 6$。
解不等式②$a - 2x ＜ -5$：
移项得$-2x ＜ -a - 5$，
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x ＞ \frac{a+5}{2}$。
已知不等式组的解集为$x ≥ 6$，根据“同大取大”的规则，可得$\frac{a+5}{2} ＜ 6$，
解这个不等式得$a + 5 ＜ 12$，即$a ＜ 7$。
2. 解分式方程$\frac{y + 2a}{y - 1} + \frac{3y - 8}{1 - y} = 2$：
先将分母统一，变形为$\frac{y + 2a}{y - 1} - \frac{3y - 8}{y - 1} = 2$，
两边同时乘以$(y - 1)$（注意$y ≠ 1$，否则分母为0是增根），得：
$y + 2a - (3y - 8) = 2(y - 1)$，
展开整理得：$y + 2a - 3y + 8 = 2y - 2$，
移项合并同类项得：$-4y = -2a - 10$，
系数化为1得：$y = \frac{a + 5}{2}$。
3. 筛选符合条件的$a$：
因为分式方程的解是正整数，且$y ≠ 1$，结合$a ＜ 7$可得$y = \frac{a + 5}{2} ＜ \frac{7 + 5}{2} = 6$，
所以$y$的可取值为2、3、4、5：
当$y=2$时，$\frac{a+5}{2}=2$，解得$a=-1$；
当$y=3$时，$\frac{a+5}{2}=3$，解得$a=1$；
当$y=4$时，$\frac{a+5}{2}=4$，解得$a=3$；
当$y=5$时，$\frac{a+5}{2}=5$，解得$a=5$。
4. 计算符合条件的$a$的和：
$-1 + 1 + 3 + 5 = 8$。
【答案】
8
【知识点】
一元一次不等式组解集，分式方程求解，参数整数解计算
【点评】
本题是不等式与分式方程的综合应用题，解题时要注意两个易错点：一是根据不等式组解集判断参数范围时要注意端点的取舍，二是求解分式方程时必须排除增根，再结合正整数的条件筛选参数，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
