7. 解下列分式方程：
(1)$1 - \dfrac{2}{3 - x} = \dfrac{4}{x - 3}$；
(2)$\dfrac{2}{3} + \dfrac{x}{3x - 1} = \dfrac{1}{9x - 3}$；
(3)$\dfrac{x}{x^2 - 4} + \dfrac{2}{x + 2} = \dfrac{1}{x - 2}$。

7.解:(1)$x=5$. (2)无解. (3)$x=3$.

【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，通用步骤为：①整理分母，找到最简公分母，若分母互为相反数可先统一符号简化计算；②方程两边同时乘最简公分母，去掉分母化为整式方程，注意不要漏乘常数项；③解整式方程；④检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母为0，则该解是增根，原方程无解；若最简公分母不为0，则该解是原方程的解。
本题三个小题分别对应常见的分母类型：(1)中分母3-x和x-3互为相反数；(2)中9x-3可提取公因式分解为3(3x-1)；(3)中x²-4可利用平方差公式分解为(x+2)(x-2)，分别找到对应最简公分母后按步骤求解即可。
【解析】
(1) 原方程变形为：$1 + \dfrac{2}{x - 3} = \dfrac{4}{x - 3}$
方程两边同时乘$(x - 3)$（$x≠3$），得：
$x - 3 + 2 = 4$
合并同类项得：$x = 5$
检验：当$x=5$时，$x - 3 = 2≠0$，符合分母不为0的要求。
(2) 先整理分母：$9x - 3 = 3(3x - 1)$
方程两边同时乘$3(3x - 1)$（$x≠\dfrac{1}{3}$），得：
$2(3x - 1) + 3x = 1$
去括号得：$6x - 2 + 3x = 1$
合并同类项得：$9x = 3$
系数化为1得：$x = \dfrac{1}{3}$
检验：当$x=\dfrac{1}{3}$时，$3(3x - 1) = 0$，因此$x=\dfrac{1}{3}$是增根。
(3) 先分解分母：$x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$
方程两边同时乘$(x + 2)(x - 2)$（$x≠\pm2$），得：
$x + 2(x - 2) = x + 2$
去括号得：$x + 2x - 4 = x + 2$
移项合并同类项得：$2x = 6$
系数化为1得：$x = 3$
检验：当$x=3$时，$(x + 2)(x - 2) = 5×1=5≠0$，符合分母不为0的要求。
【答案】
(1)$x=5$；(2)无解；(3)$x=3$
【知识点】
分式方程的解法，增根的检验，平方差公式因式分解
【点评】
这三道题是分式方程的典型基础题型，覆盖了分式方程常见的分母类型，解题的关键是准确找到最简公分母，去分母时不要漏乘常数项，最后一定要检验，排除增根。
【难度系数】
0.7

8. 定义 $a \otimes b = 2a + \frac{1}{b}$，则方程 $3 \otimes x = 4 \otimes 2$ 的解为 （）

A.$x = \frac{1}{5}$
B.$x = \frac{2}{5}$
C.$x = \frac{3}{5}$
D.$x = \frac{4}{5}$

8.B

【分析】
本题是新定义运算类题目，解题思路分为三步：首先正确理解题目给出的新运算规则$a \otimes b = 2a + \frac{1}{b}$，明确运算中前后两个数分别对应规则里的a和b；其次将等式左右两边的新定义运算转化为常规的代数式，得到分式方程；最后解分式方程并检验，即可得到方程的解。
【解析】
根据新定义$a \otimes b = 2a + \frac{1}{b}$，分别计算等式两边的式子：
左边：$3 \otimes x = 2×3 + \frac{1}{x} = 6 + \frac{1}{x}$
右边：$4 \otimes 2 = 2×4 + \frac{1}{2} = 8 + \frac{1}{2} = \frac{17}{2}$
由此可得方程：$6 + \frac{1}{x} = \frac{17}{2}$
移项得：$\frac{1}{x} = \frac{17}{2} - 6 = \frac{17}{2} - \frac{12}{2} = \frac{5}{2}$
两边同乘$2x$（$x≠0$）去分母得：$2 = 5x$
解得：$x = \frac{2}{5}$
检验：当$x = \frac{2}{5}$时，分母$x≠0$，是原方程的解。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，解分式方程
【点评】
本题解题核心是准确理解新运算规则，将陌生运算转化为熟悉的代数运算，求解分式方程后要注意检验根的有效性，避免出现增根。
【难度系数】
0.8

9. [新课标·数学文化题]《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十.”其意为：50单位的粟，可换得30单位的粝米(粟指带壳的谷子，粝米指糙米).问题：若有3斗粟(1斗＝10 L)，按照此“粟米之法”，可以换得粝米（）

A.1.8 L
B.16 L
C.18 L
D.50 L

9.C

【分析】
这是一道结合古代数学文化的比例应用题，解题思路分两步：第一步先统一单位，将题目中的“斗”换算成“升”，保证单位一致；第二步根据“粟率五十，粝米三十”的兑换规则，明确粟和粝米的兑换比例为50:30，既可以列比例式求解，也可以先算每升粟能兑换的粝米量，再乘总粟量得到结果，计算时注意约分避免出错。
【解析】
首先进行单位换算：已知1斗=10L，所以3斗粟的体积为 $3×10=30\ \mathrm{L}$。
方法一：比例法。设可以换得粝米$x\ \mathrm{L}$，根据兑换比例，粟的体积与粝米的体积比为$50:30$，可列比例式：
$\frac{50}{30}=\frac{30}{x}$
根据比例的基本性质交叉相乘得：$50x=30×30$
解得：$x=\frac{900}{50}=18$
方法二：算术法。每单位粟可兑换粝米的量为$\frac{30}{50}$，则30L粟可兑换的粝米量为：
$30×\frac{30}{50}=18\ \mathrm{L}$
综上，3斗粟可以换得粝米18L。
【答案】
C
【知识点】
比例的应用，单位换算
【点评】
本题结合《九章算术》中的传统数学文化内容，考查基础的比例应用能力，解题的核心是先统一单位，再理清两种粮食的兑换比例关系，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8

10. 若关于$ x $的方程$\dfrac{x+a}{x-1}=2$的解为正数，则$ a $的取值范围为________.

10.$a＞-2$且$a≠-1$

【分析】
要确定a的取值范围，首先需要把分式方程转化为整式方程，求出用a表示的方程的解，再根据“解为正数”列不等式，同时要注意分式方程的分母不能为0，排除增根对应的a的取值，综合两个条件就能得到a的取值范围。
【解析】
第一步，去分母解分式方程：
方程两边同时乘最简公分母$(x-1)$（注意$x≠1$），得：
$x+a=2(x-1)$
展开右侧：$x+a=2x-2$
移项合并同类项：$2x - x = a + 2$
解得：$x = a + 2$
第二步，根据解为正数列不等式：
因为方程的解是正数，所以$x＞0$，即$a + 2 ＞ 0$，解得$a ＞ -2$
第三步，考虑分式分母不为0的条件：
原方程分母为$x-1$，所以$x≠1$，即$a + 2 ≠ 1$，解得$a ≠ -1$
综上，a的取值范围是$a ＞ -2$且$a ≠ -1$
【答案】
$a＞-2$且$a≠-1$
【知识点】
分式方程的解法；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程解的应用类题目，易错点是容易忽略分式分母不能为0的要求，漏掉$a≠-1$的限制条件，解题时要注意分式方程的解必须保证原方程各分母有意义，排除增根的情况。
【难度系数】
0.7