登录
1. 下列方程不是分式方程的是（
A.$\frac{3}{x}=2$
B.$\frac{3x}{2}+\frac{x}{5}=\frac{3}{π}$
C.$\frac{1}{x-3}=\frac{5}{x}$
D.$\frac{2x+1}{x+1}-\frac{4}{x-1}=2$
B
）A.$\frac{3}{x}=2$
B.$\frac{3x}{2}+\frac{x}{5}=\frac{3}{π}$
C.$\frac{1}{x-3}=\frac{5}{x}$
D.$\frac{2x+1}{x+1}-\frac{4}{x-1}=2$
答案
1.B
解析
【分析】
解这道题的核心是先明确分式方程的判定标准：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解题时只需逐个检查每个选项的分母是否含有未知数即可，需要特别注意π是固定常数，不属于未知数，这是本题的易错点。
【解析】
首先明确分式方程的定义：分母中含有未知数的方程为分式方程，据此逐一分析选项：
A. 方程$\frac{3}{x}=2$的分母为$x$，$x$是未知数，属于分式方程，不符合题意；
B. 方程$\frac{3x}{2}+\frac{x}{5}=\frac{3}{π}$的分母分别为2、5、π，均为常数（π是固定数值的常数，不是未知数），该方程是整式方程，不属于分式方程，符合题意；
C. 方程$\frac{1}{x-3}=\frac{5}{x}$的分母为$x-3$和$x$，均含有未知数$x$，属于分式方程，不符合题意；
D. 方程$\frac{2x+1}{x+1}-\frac{4}{x-1}=2$的分母为$x+1$和$x-1$，均含有未知数$x$，属于分式方程，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 分式方程的定义
2. 整式方程的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，主要考察对分式方程判定规则的掌握，易错点是误将π当作未知数，只要牢记判定标准和常数的特殊属性就能快速得分。
【难度系数】
0.8
解这道题的核心是先明确分式方程的判定标准：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解题时只需逐个检查每个选项的分母是否含有未知数即可，需要特别注意π是固定常数，不属于未知数，这是本题的易错点。
【解析】
首先明确分式方程的定义：分母中含有未知数的方程为分式方程，据此逐一分析选项：
A. 方程$\frac{3}{x}=2$的分母为$x$，$x$是未知数，属于分式方程，不符合题意；
B. 方程$\frac{3x}{2}+\frac{x}{5}=\frac{3}{π}$的分母分别为2、5、π，均为常数（π是固定数值的常数，不是未知数），该方程是整式方程，不属于分式方程，符合题意；
C. 方程$\frac{1}{x-3}=\frac{5}{x}$的分母为$x-3$和$x$，均含有未知数$x$，属于分式方程，不符合题意；
D. 方程$\frac{2x+1}{x+1}-\frac{4}{x-1}=2$的分母为$x+1$和$x-1$，均含有未知数$x$，属于分式方程，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 分式方程的定义
2. 整式方程的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，主要考察对分式方程判定规则的掌握，易错点是误将π当作未知数，只要牢记判定标准和常数的特殊属性就能快速得分。
【难度系数】
0.8
2. 为迎接校运动会，某校购买了一批篮球和足球. 已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5 000元，购买篮球用了4 000元，篮球的单价比足球贵30元. 根据题意可列方程$\frac{5000}{2x}=\frac{4000}{x}-30$，则方程中$x$表示 （
A.足球的单价
B.篮球的单价
C.购买足球的数量
D.购买篮球的数量
D
）A.足球的单价
B.篮球的单价
C.购买足球的数量
D.购买篮球的数量
答案
2.D
解析
【分析】
要判断方程中x的含义，我们可以结合“单价=总价÷数量”的基本公式，先分析方程左右两边每一项对应的实际意义，再结合题干给出的等量关系反推x的含义。首先，方程左边是足球的总价除以2x，代表足球单价；右边是篮球总价除以x减去30，结合“篮球单价比足球贵30元”的条件，可知$\frac{4000}{x}$代表篮球单价，再结合“足球数量是篮球的2倍”的条件，就能确定x的含义。
【解析】
我们根据总价、单价、数量的关系：$\mathrm{单价}=\frac{\mathrm{总价}}{\mathrm{数量}}$来分析：
1. 方程左侧$\frac{5000}{2x}$：5000是购买足球的总费用，因此该式表示足球的单价，分母$2x$代表购买足球的数量。
2. 题干明确“购买足球的数量是篮球的2倍”，即足球数量=2×篮球数量，结合上一步得出的足球数量是$2x$，可推得$x$是购买篮球的数量。
3. 验证：方程右侧$\frac{4000}{x}$中，4000是购买篮球的总费用，$x$是篮球数量，因此该式表示篮球的单价，符合“篮球单价比足球贵30元”即“足球单价=篮球单价-30”的等量关系，推导成立。
因此$x$表示购买篮球的数量。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的实际应用，单价数量总价关系
【点评】
本题属于分式方程应用的基础题型，核心考查对实际问题中未知数意义的理解，解题的关键是熟练掌握总价、单价、数量三者的运算关系，结合题干给出的等量关系对应验证即可快速得出结论。
【难度系数】
0.85
要判断方程中x的含义，我们可以结合“单价=总价÷数量”的基本公式，先分析方程左右两边每一项对应的实际意义，再结合题干给出的等量关系反推x的含义。首先，方程左边是足球的总价除以2x，代表足球单价；右边是篮球总价除以x减去30，结合“篮球单价比足球贵30元”的条件，可知$\frac{4000}{x}$代表篮球单价，再结合“足球数量是篮球的2倍”的条件，就能确定x的含义。
【解析】
我们根据总价、单价、数量的关系：$\mathrm{单价}=\frac{\mathrm{总价}}{\mathrm{数量}}$来分析：
1. 方程左侧$\frac{5000}{2x}$：5000是购买足球的总费用，因此该式表示足球的单价，分母$2x$代表购买足球的数量。
2. 题干明确“购买足球的数量是篮球的2倍”，即足球数量=2×篮球数量，结合上一步得出的足球数量是$2x$，可推得$x$是购买篮球的数量。
3. 验证：方程右侧$\frac{4000}{x}$中，4000是购买篮球的总费用，$x$是篮球数量，因此该式表示篮球的单价，符合“篮球单价比足球贵30元”即“足球单价=篮球单价-30”的等量关系，推导成立。
因此$x$表示购买篮球的数量。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的实际应用，单价数量总价关系
【点评】
本题属于分式方程应用的基础题型，核心考查对实际问题中未知数意义的理解，解题的关键是熟练掌握总价、单价、数量三者的运算关系，结合题干给出的等量关系对应验证即可快速得出结论。
【难度系数】
0.85
3. 若关于 $ x $ 的分式方程 $ \dfrac{x}{x - 2} - 3 = \dfrac{m}{x - 2} $ 有增根，则 $ m $ 的值是 （
A.1
B.−1
C.2
D.−2
C
）A.1
B.−1
C.2
D.−2
答案
3.C
解析
【分析】
解决本题的关键是理解分式方程增根的含义：增根是分式方程去分母后得到的整式方程的根，但会使原分式方程的分母为0，导致原分式方程无意义。解题思路如下：第一步先确定原方程的增根，即令分母为0求出对应的x值；第二步将原分式方程去分母转化为整式方程；第三步把增根代入整式方程即可求出m的值。
【解析】
1. 确定增根：原分式方程的分母为$x-2$，方程有增根则分母为0，即$x-2=0$，解得增根为$x=2$。
2. 去分母转化为整式方程：给原方程两边同时乘以最简公分母$x-2$，注意不要漏乘常数项，得：
$x - 3(x-2) = m$
3. 化简整式方程：展开左边得$x - 3x + 6 = m$，合并同类项得$-2x + 6 = m$。
4. 代入增根求m：将$x=2$代入上述整式方程，得$-2×2 + 6 = m$，计算得$m=2$。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的增根；解分式方程
【点评】
本题是分式方程章节的常考题型，核心考查对增根概念的理解与应用，解题时只要抓住增根的两个特征：①使原分式方程分母为0；②是去分母后整式方程的根，按步骤求解即可，易错点是去分母时漏乘不含分母的常数项。
【难度系数】
0.7
解决本题的关键是理解分式方程增根的含义：增根是分式方程去分母后得到的整式方程的根，但会使原分式方程的分母为0，导致原分式方程无意义。解题思路如下：第一步先确定原方程的增根，即令分母为0求出对应的x值；第二步将原分式方程去分母转化为整式方程；第三步把增根代入整式方程即可求出m的值。
【解析】
1. 确定增根：原分式方程的分母为$x-2$，方程有增根则分母为0，即$x-2=0$，解得增根为$x=2$。
2. 去分母转化为整式方程：给原方程两边同时乘以最简公分母$x-2$，注意不要漏乘常数项，得：
$x - 3(x-2) = m$
3. 化简整式方程：展开左边得$x - 3x + 6 = m$，合并同类项得$-2x + 6 = m$。
4. 代入增根求m：将$x=2$代入上述整式方程，得$-2×2 + 6 = m$，计算得$m=2$。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的增根；解分式方程
【点评】
本题是分式方程章节的常考题型，核心考查对增根概念的理解与应用，解题时只要抓住增根的两个特征：①使原分式方程分母为0；②是去分母后整式方程的根，按步骤求解即可，易错点是去分母时漏乘不含分母的常数项。
【难度系数】
0.7
4. 如图，点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是-2和$\frac{2-x}{3-x}$，且点A，B到原点的距离相等，则x的值为________.
答案
4.4
解析
【分析】
首先观察数轴特征：点A在原点左侧，对应数为-2，到原点的距离是2；点B在原点右侧，且A、B到原点的距离相等，因此点B对应的数为正数2，据此可列出关于x的分式方程，求解后检验分式方程的解即可得到x的值。
【解析】
∵点A、B到原点的距离相等，点A对应数为-2，且点B在原点右侧
∴点B对应的数$\frac{2-x}{3-x}=2$
方程两边同乘最简公分母$3-x$（$3-x≠0$）得：
$2-x=2(3-x)$
去括号：$2-x=6-2x$
移项、合并同类项得：$x=4$
检验：当$x=4$时，$3-x=3-4=-1≠0$，因此$x=4$是原分式方程的解。
【答案】
4
【知识点】
数轴的性质，解分式方程，相反数的概念
【点评】
本题结合数轴考查分式方程的实际应用，解题的核心是根据两点到原点距离相等的条件列出方程，需要注意解分式方程后必须验根，排除增根。
【难度系数】
0.7
首先观察数轴特征：点A在原点左侧，对应数为-2，到原点的距离是2；点B在原点右侧，且A、B到原点的距离相等，因此点B对应的数为正数2，据此可列出关于x的分式方程，求解后检验分式方程的解即可得到x的值。
【解析】
∵点A、B到原点的距离相等，点A对应数为-2，且点B在原点右侧
∴点B对应的数$\frac{2-x}{3-x}=2$
方程两边同乘最简公分母$3-x$（$3-x≠0$）得：
$2-x=2(3-x)$
去括号：$2-x=6-2x$
移项、合并同类项得：$x=4$
检验：当$x=4$时，$3-x=3-4=-1≠0$，因此$x=4$是原分式方程的解。
【答案】
4
【知识点】
数轴的性质，解分式方程，相反数的概念
【点评】
本题结合数轴考查分式方程的实际应用，解题的核心是根据两点到原点距离相等的条件列出方程，需要注意解分式方程后必须验根，排除增根。
【难度系数】
0.7
5. 某工人原计划在规定时间内加工 300 个零件,因改进了工具和操作方法,现在每小时比原计划多加工 10 个零件.若现在加工 300 个零件的时间和原计划加工 240 个零件的时间相同,则原计划每小时加工零件________个.
答案
5.40
解析
【分析】
这是一道工作效率类的分式方程应用题，解题核心是找到题干中的等量关系。首先我们可以设原计划每小时加工x个零件，那么改进方法后每小时加工（x+10）个零件。题目明确给出“现在加工300个零件的时间和原计划加工240个零件的时间相同”，根据“工作时间=工作总量÷工作效率”，我们可以分别表示出两个工作时间，进而列出分式方程求解，最后注意检验分式方程的根是否符合实际意义即可。
【解析】
解：设原计划每小时加工x个零件，则改进方法后每小时加工（x+10）个零件。
根据题意列方程得：
$\frac{300}{x+10}=\frac{240}{x}$
交叉相乘去分母得：
$300x=240(x+10)$
展开计算：
$300x=240x+2400$
移项合并同类项：
$60x=2400$
解得：$x=40$
检验：当$x=40$时，$x(x+10)=40×50=2000≠0$，所以$x=40$是原分式方程的解，且符合实际加工的情况。
【答案】
40
【知识点】
1. 分式方程应用
2. 工程问题等量关系
3. 分式方程求解
【点评】
本题是分式方程实际应用的常规题型，解题的关键是从题干中提取出时间相等的等量关系，列分式方程后要注意检验所得的根既要满足方程本身，也要符合实际问题的要求。
【难度系数】
0.7
这是一道工作效率类的分式方程应用题，解题核心是找到题干中的等量关系。首先我们可以设原计划每小时加工x个零件，那么改进方法后每小时加工（x+10）个零件。题目明确给出“现在加工300个零件的时间和原计划加工240个零件的时间相同”，根据“工作时间=工作总量÷工作效率”，我们可以分别表示出两个工作时间，进而列出分式方程求解，最后注意检验分式方程的根是否符合实际意义即可。
【解析】
解：设原计划每小时加工x个零件，则改进方法后每小时加工（x+10）个零件。
根据题意列方程得：
$\frac{300}{x+10}=\frac{240}{x}$
交叉相乘去分母得：
$300x=240(x+10)$
展开计算：
$300x=240x+2400$
移项合并同类项：
$60x=2400$
解得：$x=40$
检验：当$x=40$时，$x(x+10)=40×50=2000≠0$，所以$x=40$是原分式方程的解，且符合实际加工的情况。
【答案】
40
【知识点】
1. 分式方程应用
2. 工程问题等量关系
3. 分式方程求解
【点评】
本题是分式方程实际应用的常规题型，解题的关键是从题干中提取出时间相等的等量关系，列分式方程后要注意检验所得的根既要满足方程本身，也要符合实际问题的要求。
【难度系数】
0.7
6. 小明和小亮解答“解分式方程：$\frac{2x+3}{x}=1-\frac{x-1}{x}$”的过程如下：
小明的解法：
解:去分母,得 $2x+3=1-(x-1)$.
去括号,得 $2x+3=1-x+1$.
移项,得 $2x+x=1+1-3$.
合并同类项,得 $3x=-1$.
系数化为 1,得 $x=-\frac{1}{3}$.
经检验,$x=-\frac{1}{3}$是原分式方程的解.
小亮的解法：
解:去分母,得 $2x+3=x-(x-1)$.
去括号,得 $2x+3=x-x+1$.
移项,得 $2x=-3+1$.
合并同类项,得 $2x=-2$.
系数化为 1,得 $x=-1$.
经检验,$x=-1$是原分式方程的解.
请你对他们的解答过程作出判断:小明的解答
小明的解法：
解:去分母,得 $2x+3=1-(x-1)$.
去括号,得 $2x+3=1-x+1$.
移项,得 $2x+x=1+1-3$.
合并同类项,得 $3x=-1$.
系数化为 1,得 $x=-\frac{1}{3}$.
经检验,$x=-\frac{1}{3}$是原分式方程的解.
小亮的解法：
解:去分母,得 $2x+3=x-(x-1)$.
去括号,得 $2x+3=x-x+1$.
移项,得 $2x=-3+1$.
合并同类项,得 $2x=-2$.
系数化为 1,得 $x=-1$.
经检验,$x=-1$是原分式方程的解.
请你对他们的解答过程作出判断:小明的解答
错误
;小亮的解答正确
.(填“正确”或“错误”)答案
6.错误 正确
解析
【分析】
要判断两人的解答是否正确，需按照解分式方程的步骤逐一核对。解分式方程去分母时，方程左右两边的每一项都要乘以最简公分母，不能漏乘不含分母的项，之后再核对后续计算步骤和检验环节是否规范。首先确定原方程的最简公分母是x，先判断两人去分母步骤的对错，即可得出结论。
【解析】
原分式方程为$\frac{2x+3}{x}=1-\frac{x-1}{x}$，最简公分母为$x$：
1. 去分母时方程两边每一项同乘$x$，正确的去分母结果为$2x+3 = x - (x-1)$。
2. 对比小明的解法：小明去分母时右侧常数项1没有乘$x$，错误写成了1，去分母第一步就出错，后续计算结果也错误，因此小明的解答错误。
3. 对比小亮的解法：小亮去分母步骤正确，后续去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤均符合运算规则，检验环节也规范，因此小亮的解答正确。
【答案】
错误；正确
【知识点】
解分式方程；去分母法则；分式方程检验
【点评】
本题重点考查解分式方程的易错点，去分母时要注意给所有项都乘最简公分母，尤其不要漏乘不含分母的常数项，解完分式方程后必须检验，排除增根。
【难度系数】
0.8
要判断两人的解答是否正确，需按照解分式方程的步骤逐一核对。解分式方程去分母时，方程左右两边的每一项都要乘以最简公分母，不能漏乘不含分母的项，之后再核对后续计算步骤和检验环节是否规范。首先确定原方程的最简公分母是x，先判断两人去分母步骤的对错，即可得出结论。
【解析】
原分式方程为$\frac{2x+3}{x}=1-\frac{x-1}{x}$，最简公分母为$x$：
1. 去分母时方程两边每一项同乘$x$，正确的去分母结果为$2x+3 = x - (x-1)$。
2. 对比小明的解法：小明去分母时右侧常数项1没有乘$x$，错误写成了1，去分母第一步就出错，后续计算结果也错误，因此小明的解答错误。
3. 对比小亮的解法：小亮去分母步骤正确，后续去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤均符合运算规则，检验环节也规范，因此小亮的解答正确。
【答案】
错误；正确
【知识点】
解分式方程；去分母法则；分式方程检验
【点评】
本题重点考查解分式方程的易错点，去分母时要注意给所有项都乘最简公分母，尤其不要漏乘不含分母的常数项，解完分式方程后必须检验，排除增根。
【难度系数】
0.8
