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12. 甲、乙两位采购员分别分两次从同一家饲料公司购买同一种饲料，两次购买饲料的价格有变化，第一次的价格为 $ m $ 元/kg，第二次的价格为 $ n $ 元/kg($ m,n $ 是正数，且 $ m ≠ n $)。甲每次购买 800 kg；乙每次用去 800 元，而不管购买多少饲料。
(1) 甲、乙所购饲料的平均单价分别是多少？
(2) 谁购买饲料的方式平均单价较低？
(1) 甲、乙所购饲料的平均单价分别是多少？
(2) 谁购买饲料的方式平均单价较低？
答案
12. 解:(1)甲所购饲料的平均单价是$\frac{800m+800n}{800×2}=\frac{m+n}{2}$(元/kg),乙所购饲料的平均单价是$\frac{800×2}{\frac{800}{m}+\frac{800}{n}}=\frac{2mn}{m+n}$(元/kg).
(2)$\frac{m+n}{2}-\frac{2mn}{m+n}=\frac{(m+n)^2}{2(m+n)}-\frac{4mn}{2(m+n)}=\frac{(m-n)^2}{2(m+n)}$. 因为$m,n$是正数,且$m≠n$,所以$\frac{(m-n)^2}{2(m+n)}＞0$,所以$\frac{m+n}{2}＞\frac{2mn}{m+n}$,所以乙购买饲料的方式平均单价较低.
(2)$\frac{m+n}{2}-\frac{2mn}{m+n}=\frac{(m+n)^2}{2(m+n)}-\frac{4mn}{2(m+n)}=\frac{(m-n)^2}{2(m+n)}$. 因为$m,n$是正数,且$m≠n$,所以$\frac{(m-n)^2}{2(m+n)}＞0$,所以$\frac{m+n}{2}＞\frac{2mn}{m+n}$,所以乙购买饲料的方式平均单价较低.
解析
【分析】
（1）平均单价的计算公式为：平均单价=总花费÷总购买质量。计算甲的平均单价时，先求出两次购买的总花费（第一次花费800m元，第二次花费800n元）和总购买质量（两次各买800kg，共1600kg），代入公式化简即可；计算乙的平均单价时，先求出两次的总花费（两次各花800元，共1600元）和总购买质量（第一次购买质量为$\frac{800}{m}$kg，第二次为$\frac{800}{n}$kg），代入公式化简即可。
（2）要比较谁的平均单价更低，可使用作差法，将甲的平均单价减去乙的平均单价，通过通分、因式分解化简差值，再结合m、n是正数且m≠n的条件判断差值的正负即可得出结论。
【解析】
(1) 甲两次购买饲料的总花费为$800m + 800n$元，总购买质量为$800 × 2 = 1600$kg，
因此甲的平均单价为：$\frac{800m + 800n}{1600} = \frac{m + n}{2}$（元/kg）。
乙两次购买饲料的总花费为$800 × 2 = 1600$元，总购买质量为$(\frac{800}{m} + \frac{800}{n})$kg，
因此乙的平均单价为：$\frac{1600}{\frac{800}{m} + \frac{800}{n}} = \frac{2mn}{m + n}$（元/kg）。
(2) 将两个平均单价作差得：
$\frac{m + n}{2} - \frac{2mn}{m + n} = \frac{(m + n)^2}{2(m + n)} - \frac{4mn}{2(m + n)} = \frac{(m - n)^2}{2(m + n)}$。
已知m、n是正数，且$m ≠ n$，因此$(m - n)^2 ＞ 0$，$2(m + n) ＞ 0$，可得$\frac{(m - n)^2}{2(m + n)} ＞ 0$，
即$\frac{m + n}{2} ＞ \frac{2mn}{m + n}$，因此乙的购买方式平均单价更低。
【答案】
(1) 甲的平均单价为$\frac{m + n}{2}$元/kg，乙的平均单价为$\frac{2mn}{m + n}$元/kg；
(2) 乙购买饲料的方式平均单价较低。
【知识点】
分式的混合运算；作差法比较大小；平均数计算
【点评】
本题结合生活采购场景命题，既考查了分式的基本运算能力，也体现了数学知识在实际生活中的应用价值。解题的核心是准确把握平均单价的计算逻辑，作差后利用完全平方公式判断差值的符号即可得出结论。
【难度系数】
0.7
（1）平均单价的计算公式为：平均单价=总花费÷总购买质量。计算甲的平均单价时，先求出两次购买的总花费（第一次花费800m元，第二次花费800n元）和总购买质量（两次各买800kg，共1600kg），代入公式化简即可；计算乙的平均单价时，先求出两次的总花费（两次各花800元，共1600元）和总购买质量（第一次购买质量为$\frac{800}{m}$kg，第二次为$\frac{800}{n}$kg），代入公式化简即可。
（2）要比较谁的平均单价更低，可使用作差法，将甲的平均单价减去乙的平均单价，通过通分、因式分解化简差值，再结合m、n是正数且m≠n的条件判断差值的正负即可得出结论。
【解析】
(1) 甲两次购买饲料的总花费为$800m + 800n$元，总购买质量为$800 × 2 = 1600$kg，
因此甲的平均单价为：$\frac{800m + 800n}{1600} = \frac{m + n}{2}$（元/kg）。
乙两次购买饲料的总花费为$800 × 2 = 1600$元，总购买质量为$(\frac{800}{m} + \frac{800}{n})$kg，
因此乙的平均单价为：$\frac{1600}{\frac{800}{m} + \frac{800}{n}} = \frac{2mn}{m + n}$（元/kg）。
(2) 将两个平均单价作差得：
$\frac{m + n}{2} - \frac{2mn}{m + n} = \frac{(m + n)^2}{2(m + n)} - \frac{4mn}{2(m + n)} = \frac{(m - n)^2}{2(m + n)}$。
已知m、n是正数，且$m ≠ n$，因此$(m - n)^2 ＞ 0$，$2(m + n) ＞ 0$，可得$\frac{(m - n)^2}{2(m + n)} ＞ 0$，
即$\frac{m + n}{2} ＞ \frac{2mn}{m + n}$，因此乙的购买方式平均单价更低。
【答案】
(1) 甲的平均单价为$\frac{m + n}{2}$元/kg，乙的平均单价为$\frac{2mn}{m + n}$元/kg；
(2) 乙购买饲料的方式平均单价较低。
【知识点】
分式的混合运算；作差法比较大小；平均数计算
【点评】
本题结合生活采购场景命题，既考查了分式的基本运算能力，也体现了数学知识在实际生活中的应用价值。解题的核心是准确把握平均单价的计算逻辑，作差后利用完全平方公式判断差值的符号即可得出结论。
【难度系数】
0.7
13. 小军给小明写了一封求助信,在信中提出了如下两个问题,希望小明给予解答.
下面这两道分式求值题,我百思不得其解,渴望得到你的解答,望早日回复.
第一题:已知$x^2 - 3x + 2 = 0$,试求$\frac{x^2 - x}{x + 1} · \frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1} + \frac{x^2 - 16}{x + 4} ÷ \frac{1}{x}$的值.
我的困惑:已知条件是一个一元二次方程,我还没有学习,算不出$x$的值,我想知道有没有其他方法.
第二题:已知$x = 2025 - \sqrt{3}$,求$\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} ÷ (1 + \frac{x - 3}{x + 1})$的值.
我的困惑:$x$的取值为无理数,将$x$的取值代入分式,计算太烦琐,我无法做下去.
请你替小明帮小军解答信中的两道题.
下面这两道分式求值题,我百思不得其解,渴望得到你的解答,望早日回复.
第一题:已知$x^2 - 3x + 2 = 0$,试求$\frac{x^2 - x}{x + 1} · \frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1} + \frac{x^2 - 16}{x + 4} ÷ \frac{1}{x}$的值.
我的困惑:已知条件是一个一元二次方程,我还没有学习,算不出$x$的值,我想知道有没有其他方法.
第二题:已知$x = 2025 - \sqrt{3}$,求$\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} ÷ (1 + \frac{x - 3}{x + 1})$的值.
我的困惑:$x$的取值为无理数,将$x$的取值代入分式,计算太烦琐,我无法做下去.
请你替小明帮小军解答信中的两道题.
答案
13. 解:第一题:原式$=\frac{x(x-1)}{x+1}·\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2}+\frac{(x+4)(x-4)}{x+4}·x=x+x^2-4x=x^2-3x$. 因为$x^2-3x+2=0$,所以$x^2-3x=-2$,所以原式$=-2$.
第二题:原式$=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}÷\frac{x+1+x-3}{x+1}=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}·\frac{x+1}{2(x-1)}=\frac{1}{2}$,所以最终结果与$x$的取值无关,为$\frac{1}{2}$.
第二题:原式$=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}÷\frac{x+1+x-3}{x+1}=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}·\frac{x+1}{2(x-1)}=\frac{1}{2}$,所以最终结果与$x$的取值无关,为$\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
这两道分式求值题都不需要先求出x的具体值，解题核心思路是先对原式化简：第一步先对分式的分子、分母进行因式分解，第二步按照分式乘除法的运算法则计算、约分，把原式化为最简形式，再结合已知条件代入计算即可。第一题化简后会得到只含$x^2-3x$的式子，直接从已知方程变形得到$x^2-3x$的值整体代入就行，不用解一元二次方程；第二题化简后x会全部消掉，得到常数结果，不用代入复杂的x值计算。
【解析】
第一题
先对原式各部分因式分解，再按分式运算法则计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x(x-1)}{x+1}·\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2}+\frac{(x+4)(x-4)}{x+4}·x\\&=x + x(x-4)\\&=x + x^2 - 4x\\&=x^2 - 3x\end{aligned}$
已知$x^2 - 3x + 2 = 0$，移项得$x^2 - 3x = -2$，代入化简后的式子得原式$=-2$。
第二题
先因式分解，再按运算顺序先计算括号内的加法：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}÷(\frac{x+1}{x+1} + \frac{x-3}{x+1})\\&=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}÷\frac{2x-2}{x+1}\\&=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}·\frac{x+1}{2(x-1)}\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
化简结果为常数，与x的取值（x使分式有意义时）无关。
【答案】
第一题的值为$\boldsymbol{-2}$；第二题的值为$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，整体代入求值
【点评】
这两道题是分式化简求值的典型题型，解题的关键是掌握“先化简、再求值”的原则，可避免直接代入导致的复杂计算，还能解决未知x具体值的求值问题，很好地考察了分式运算能力和整体思想的应用。
【难度系数】
0.7
这两道分式求值题都不需要先求出x的具体值，解题核心思路是先对原式化简：第一步先对分式的分子、分母进行因式分解，第二步按照分式乘除法的运算法则计算、约分，把原式化为最简形式，再结合已知条件代入计算即可。第一题化简后会得到只含$x^2-3x$的式子，直接从已知方程变形得到$x^2-3x$的值整体代入就行，不用解一元二次方程；第二题化简后x会全部消掉，得到常数结果，不用代入复杂的x值计算。
【解析】
第一题
先对原式各部分因式分解，再按分式运算法则计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x(x-1)}{x+1}·\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2}+\frac{(x+4)(x-4)}{x+4}·x\\&=x + x(x-4)\\&=x + x^2 - 4x\\&=x^2 - 3x\end{aligned}$
已知$x^2 - 3x + 2 = 0$，移项得$x^2 - 3x = -2$，代入化简后的式子得原式$=-2$。
第二题
先因式分解，再按运算顺序先计算括号内的加法：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}÷(\frac{x+1}{x+1} + \frac{x-3}{x+1})\\&=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}÷\frac{2x-2}{x+1}\\&=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}·\frac{x+1}{2(x-1)}\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
化简结果为常数，与x的取值（x使分式有意义时）无关。
【答案】
第一题的值为$\boldsymbol{-2}$；第二题的值为$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，整体代入求值
【点评】
这两道题是分式化简求值的典型题型，解题的关键是掌握“先化简、再求值”的原则，可避免直接代入导致的复杂计算，还能解决未知x具体值的求值问题，很好地考察了分式运算能力和整体思想的应用。
【难度系数】
0.7
