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1. 填空。
(1)$78\ \mathrm{cm}^{3}=$(
$6.05\ \mathrm{L}=$(
(2)做一个底面直径2 dm、高5 dm的圆柱形通风管,共需铁皮(
(3)把一个棱长是3 cm的正方体削成一个最大的圆锥,圆锥的体积是(
(4)一个圆柱和一个圆锥的底面积和高都相等,已知它们的体积相差$36\ \mathrm{dm}^{3}$,那么圆锥的体积是(
(5)把一个长2 m的圆柱形木料截成3段小圆柱形,这根木料的表面积增加了$180\ \mathrm{cm}^{2}$。这根木料的体积是(
(6)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的底面直径与高的比是(
(1)$78\ \mathrm{cm}^{3}=$(
0.078
)$\mathrm{dm}^{3}$ $4.36\ \mathrm{m}^{3}=$(4360
)$\mathrm{dm}^{3}$$6.05\ \mathrm{L}=$(
6
)$\mathrm{dm}^{3}$(50
)$\mathrm{cm}^{3}$ $3\ \mathrm{m}^{3}300\ \mathrm{dm}^{3}=$(3.3
)$\mathrm{m}^{3}$(2)做一个底面直径2 dm、高5 dm的圆柱形通风管,共需铁皮(
31.4
)$\mathrm{dm}^{2}$。(3)把一个棱长是3 cm的正方体削成一个最大的圆锥,圆锥的体积是(
7.065
)$\mathrm{cm}^{3}$。(4)一个圆柱和一个圆锥的底面积和高都相等,已知它们的体积相差$36\ \mathrm{dm}^{3}$,那么圆锥的体积是(
18
)$\mathrm{dm}^{3}$。(5)把一个长2 m的圆柱形木料截成3段小圆柱形,这根木料的表面积增加了$180\ \mathrm{cm}^{2}$。这根木料的体积是(
9000
)$\mathrm{cm}^{3}$。(6)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的底面直径与高的比是(
1:π
)。答案
1.(1)(从左到右,从上到下)0.078 4360 6 50 3.3 (2)31.4 (3)7.065 (4)18 (5)9000 (6)$1:π$
解析
【分析】
本题涵盖立体图形的单位换算、侧面积、体积计算及圆柱圆锥的体积关系等知识点，逐个分析思路如下：
1. 第(1)题：核心是体积与容积单位的换算，需牢记单位间进率，低级单位转高级单位除以进率，高级单位转低级单位乘进率，同时明确$1\mathrm{L}=1\mathrm{dm}^3$的等量关系。
2. 第(2)题：通风管无上下底面，只需计算圆柱侧面积，侧面积公式为底面周长×高，先通过直径求出底面周长，再乘高即可得到结果。
3. 第(3)题：正方体削最大圆锥，圆锥的底面直径和高均等于正方体棱长，代入圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2h$计算即可。
4. 第(4)题：等底等高时圆柱体积是圆锥的3倍，体积差是圆锥体积的2倍，用体积差除以2就能得到圆锥体积。
5. 第(5)题：圆柱形木料截成3段，表面积增加4个底面面积，先求出单个底面积，再结合木料长度（注意单位换算），用底面积乘高得到体积。
6. 第(6)题：侧面展开是正方形说明底面周长等于高，结合底面周长公式$C=π d$，即可推导出底面直径与高的比。
【解析】
(1) 单位换算：
因为$1\mathrm{dm}^3=1000\mathrm{cm}^3$，所以$78\mathrm{cm}^3=78÷1000=0.078\mathrm{dm}^3$；
因为$1\mathrm{m}^3=1000\mathrm{dm}^3$，所以$4.36\mathrm{m}^3=4.36×1000=4360\mathrm{dm}^3$；
因为$1\mathrm{L}=1\mathrm{dm}^3=1000\mathrm{cm}^3$，$6.05\mathrm{L}=6\mathrm{L}+0.05\mathrm{L}$，$0.05\mathrm{L}=0.05×1000=50\mathrm{cm}^3$，即$6.05\mathrm{L}=6\mathrm{dm}^350\mathrm{cm}^3$；
$300\mathrm{dm}^3=300÷1000=0.3\mathrm{m}^3$，所以$3\mathrm{m}^3300\mathrm{dm}^3=3+0.3=3.3\mathrm{m}^3$。
(2) 圆柱侧面积计算：
底面周长$C=π d=3.14×2=6.28\mathrm{dm}$，侧面积$S=C× h=6.28×5=31.4\mathrm{dm}^2$。
(3) 圆锥体积计算：
圆锥底面半径$r=3÷2=1.5\mathrm{cm}$，高$h=3\mathrm{cm}$，体积$V=\frac{1}{3}π r^2h=\frac{1}{3}×3.14×1.5^2×3=7.065\mathrm{cm}^3$。
(4) 圆柱圆锥体积关系：
等底等高时，圆柱体积$=3×$圆锥体积，体积差$=3×$圆锥体积$-$圆锥体积$=2×$圆锥体积，所以圆锥体积$=36÷2=18\mathrm{dm}^3$。
(5) 圆柱体积计算：
截成3段增加4个底面，底面积$S=180÷4=45\mathrm{cm}^2$，$2\mathrm{m}=200\mathrm{cm}$，体积$V=S× h=45×200=9000\mathrm{cm}^3$。
(6) 圆柱底面直径与高的比：
侧面展开是正方形，即底面周长$=$高，$π d=h$，所以$d:h=d:π d=1:π$。
【答案】
1.(1)(从左到右,从上到下)0.078 4360 6 50 3.3 (2)31.4 (3)7.065 (4)18 (5)9000 (6)$1:π$
【知识点】
1. 体积容积单位换算
2. 圆柱圆锥体积计算
3. 圆柱侧面积计算
【点评】
本题综合考查立体图形的核心知识点，涵盖单位换算、圆柱侧面积、圆柱圆锥体积计算及体积关系，需要学生熟练掌握相关公式与单位进率，同时注意审题细节，比如通风管无底面、截木料增加的面数等，是对立体图形知识的全面检测。
【难度系数】
0.6
本题涵盖立体图形的单位换算、侧面积、体积计算及圆柱圆锥的体积关系等知识点，逐个分析思路如下：
1. 第(1)题：核心是体积与容积单位的换算，需牢记单位间进率，低级单位转高级单位除以进率，高级单位转低级单位乘进率，同时明确$1\mathrm{L}=1\mathrm{dm}^3$的等量关系。
2. 第(2)题：通风管无上下底面，只需计算圆柱侧面积，侧面积公式为底面周长×高，先通过直径求出底面周长，再乘高即可得到结果。
3. 第(3)题：正方体削最大圆锥，圆锥的底面直径和高均等于正方体棱长，代入圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2h$计算即可。
4. 第(4)题：等底等高时圆柱体积是圆锥的3倍，体积差是圆锥体积的2倍，用体积差除以2就能得到圆锥体积。
5. 第(5)题：圆柱形木料截成3段，表面积增加4个底面面积，先求出单个底面积，再结合木料长度（注意单位换算），用底面积乘高得到体积。
6. 第(6)题：侧面展开是正方形说明底面周长等于高，结合底面周长公式$C=π d$，即可推导出底面直径与高的比。
【解析】
(1) 单位换算：
因为$1\mathrm{dm}^3=1000\mathrm{cm}^3$，所以$78\mathrm{cm}^3=78÷1000=0.078\mathrm{dm}^3$；
因为$1\mathrm{m}^3=1000\mathrm{dm}^3$，所以$4.36\mathrm{m}^3=4.36×1000=4360\mathrm{dm}^3$；
因为$1\mathrm{L}=1\mathrm{dm}^3=1000\mathrm{cm}^3$，$6.05\mathrm{L}=6\mathrm{L}+0.05\mathrm{L}$，$0.05\mathrm{L}=0.05×1000=50\mathrm{cm}^3$，即$6.05\mathrm{L}=6\mathrm{dm}^350\mathrm{cm}^3$；
$300\mathrm{dm}^3=300÷1000=0.3\mathrm{m}^3$，所以$3\mathrm{m}^3300\mathrm{dm}^3=3+0.3=3.3\mathrm{m}^3$。
(2) 圆柱侧面积计算：
底面周长$C=π d=3.14×2=6.28\mathrm{dm}$，侧面积$S=C× h=6.28×5=31.4\mathrm{dm}^2$。
(3) 圆锥体积计算：
圆锥底面半径$r=3÷2=1.5\mathrm{cm}$，高$h=3\mathrm{cm}$，体积$V=\frac{1}{3}π r^2h=\frac{1}{3}×3.14×1.5^2×3=7.065\mathrm{cm}^3$。
(4) 圆柱圆锥体积关系：
等底等高时，圆柱体积$=3×$圆锥体积，体积差$=3×$圆锥体积$-$圆锥体积$=2×$圆锥体积，所以圆锥体积$=36÷2=18\mathrm{dm}^3$。
(5) 圆柱体积计算：
截成3段增加4个底面，底面积$S=180÷4=45\mathrm{cm}^2$，$2\mathrm{m}=200\mathrm{cm}$，体积$V=S× h=45×200=9000\mathrm{cm}^3$。
(6) 圆柱底面直径与高的比：
侧面展开是正方形，即底面周长$=$高，$π d=h$，所以$d:h=d:π d=1:π$。
【答案】
1.(1)(从左到右,从上到下)0.078 4360 6 50 3.3 (2)31.4 (3)7.065 (4)18 (5)9000 (6)$1:π$
【知识点】
1. 体积容积单位换算
2. 圆柱圆锥体积计算
3. 圆柱侧面积计算
【点评】
本题综合考查立体图形的核心知识点，涵盖单位换算、圆柱侧面积、圆柱圆锥体积计算及体积关系，需要学生熟练掌握相关公式与单位进率，同时注意审题细节，比如通风管无底面、截木料增加的面数等，是对立体图形知识的全面检测。
【难度系数】
0.6
2. 把一个底面半径6 cm、高10 cm的圆锥形容器灌满水,然后把水倒入一个底面半径是5 cm的圆柱形容器里。求圆柱形容器内水面的高度。
答案
$3.14×6^{2}×10÷3=376.8(\mathrm{cm}^{3})$ $376.8÷(3.14×5^{2})=4.8(\mathrm{cm})$ 答:圆柱形容器内水面的高度是4.8 cm。
解析
【分析】
这道题的核心是抓住水的体积不变这一关键条件。解题思路如下：首先，我们需要先求出圆锥形容器中水的体积，也就是圆锥的体积；然后根据圆柱的体积公式，用水的体积除以圆柱形容器的底面积，就能得到圆柱形容器内水面的高度。具体步骤：1. 运用圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2h$，代入数据算出圆锥体积（即水的体积）；2. 运用圆柱体积公式$V=π r^2h$，变形得到$h=V÷(π r^2)$，用水的体积除以圆柱的底面积，即可求出水面高度。
【解析】
1. 计算圆锥形容器中水的体积（即圆锥体积）：
$V_{圆锥}=\frac{1}{3}×3.14×6^2×10$
$=\frac{1}{3}×3.14×36×10$
$=376.8(\mathrm{cm}^3)$
2. 计算圆柱形容器内水面的高度：
$h_{圆柱}=376.8÷(3.14×5^2)$
$=376.8÷78.5$
$=4.8(\mathrm{cm})$
答：圆柱形容器内水面的高度是4.8 cm。
【答案】
4.8 cm
【知识点】
圆锥体积计算、圆柱体积计算、等积变形
【点评】
本题考查圆锥与圆柱体积公式的综合应用，解题关键是明确水的体积在容器转换过程中保持不变。需要注意圆锥体积公式中要乘以$\frac{1}{3}$，避免遗漏导致计算错误。
【难度系数】
0.6
这道题的核心是抓住水的体积不变这一关键条件。解题思路如下：首先，我们需要先求出圆锥形容器中水的体积，也就是圆锥的体积；然后根据圆柱的体积公式，用水的体积除以圆柱形容器的底面积，就能得到圆柱形容器内水面的高度。具体步骤：1. 运用圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2h$，代入数据算出圆锥体积（即水的体积）；2. 运用圆柱体积公式$V=π r^2h$，变形得到$h=V÷(π r^2)$，用水的体积除以圆柱的底面积，即可求出水面高度。
【解析】
1. 计算圆锥形容器中水的体积（即圆锥体积）：
$V_{圆锥}=\frac{1}{3}×3.14×6^2×10$
$=\frac{1}{3}×3.14×36×10$
$=376.8(\mathrm{cm}^3)$
2. 计算圆柱形容器内水面的高度：
$h_{圆柱}=376.8÷(3.14×5^2)$
$=376.8÷78.5$
$=4.8(\mathrm{cm})$
答：圆柱形容器内水面的高度是4.8 cm。
【答案】
4.8 cm
【知识点】
圆锥体积计算、圆柱体积计算、等积变形
【点评】
本题考查圆锥与圆柱体积公式的综合应用，解题关键是明确水的体积在容器转换过程中保持不变。需要注意圆锥体积公式中要乘以$\frac{1}{3}$，避免遗漏导致计算错误。
【难度系数】
0.6
3. 一个长方体水槽的长和宽都是2 dm,先将8 L的水倒入水槽中,再将一块石头浸没在水中(水未溢出),这时水面高15 dm。这块石头的体积是多少立方分米?
答案
$8÷(2×2)=2(\mathrm{dm})$ $15-2=13(\mathrm{dm})$ $2×2×13=52(\mathrm{dm}^{3})$ 答:这块石头的体积是$52\ \mathrm{dm}^{3}$。
解析
【分析】
要计算石头的体积，由于石头浸没在水中且水未溢出，根据排水法原理，石头的体积等于水面上升部分水的体积。解题思路如下：
1. 先将水的容积单位转换为体积单位，方便后续计算；
2. 利用长方体底面积公式求出水槽的底面积；
3. 根据“水的体积÷底面积”算出倒入8L水后水面的初始高度；
4. 用现在的水面高度减去初始高度，得到水面上升的高度；
5. 最后用“底面积×上升的高度”计算出上升部分水的体积，也就是石头的体积。
【解析】
1. 单位转换：因为$1\mathrm{L}=1\mathrm{dm}^{3}$，所以$8\mathrm{L}=8\mathrm{dm}^{3}$。
2. 计算水槽底面积：$2×2=4(\mathrm{dm}^{2})$
3. 求倒入8L水后水面的初始高度：
$8÷(2×2)=2(\mathrm{dm})$
4. 计算水面上升的高度：
$15-2=13(\mathrm{dm})$
5. 计算石头的体积（即上升部分水的体积）：
$2×2×13=52(\mathrm{dm}^{3})$
答：这块石头的体积是$52\ \mathrm{dm}^{3}$。
【答案】
$52\ \mathrm{dm}^{3}$
【知识点】
长方体体积计算；排水法求体积；单位换算
【点评】
本题核心考查排水法求不规则物体体积的应用，需理解浸没物体体积与上升水体积的等量关系，同时要熟练掌握长方体体积公式及容积与体积单位的转换，解题时需注意步骤逻辑清晰、单位统一。
【难度系数】
0.6
要计算石头的体积，由于石头浸没在水中且水未溢出，根据排水法原理，石头的体积等于水面上升部分水的体积。解题思路如下：
1. 先将水的容积单位转换为体积单位，方便后续计算；
2. 利用长方体底面积公式求出水槽的底面积；
3. 根据“水的体积÷底面积”算出倒入8L水后水面的初始高度；
4. 用现在的水面高度减去初始高度，得到水面上升的高度；
5. 最后用“底面积×上升的高度”计算出上升部分水的体积，也就是石头的体积。
【解析】
1. 单位转换：因为$1\mathrm{L}=1\mathrm{dm}^{3}$，所以$8\mathrm{L}=8\mathrm{dm}^{3}$。
2. 计算水槽底面积：$2×2=4(\mathrm{dm}^{2})$
3. 求倒入8L水后水面的初始高度：
$8÷(2×2)=2(\mathrm{dm})$
4. 计算水面上升的高度：
$15-2=13(\mathrm{dm})$
5. 计算石头的体积（即上升部分水的体积）：
$2×2×13=52(\mathrm{dm}^{3})$
答：这块石头的体积是$52\ \mathrm{dm}^{3}$。
【答案】
$52\ \mathrm{dm}^{3}$
【知识点】
长方体体积计算；排水法求体积；单位换算
【点评】
本题核心考查排水法求不规则物体体积的应用，需理解浸没物体体积与上升水体积的等量关系，同时要熟练掌握长方体体积公式及容积与体积单位的转换，解题时需注意步骤逻辑清晰、单位统一。
【难度系数】
0.6
4. 【提优挑战】把一个长方体切去一个高是5 cm的长方体后,剩下的部分是一个正方体,且这个正方体的表面积比原来长方体的表面积减少了$200\ \mathrm{cm}^{2}$。原来长方体的体积是多少立方厘米?
答案
$200÷4÷5=10(\mathrm{cm})$ $10×10×(10+5)=1500(\mathrm{cm}^{3})$ 答:原来长方体的体积是$1500\ \mathrm{cm}^{3}$。
解析
【分析】
首先，根据“切去高5cm的长方体后剩下正方体”，可知原来长方体的长和宽相等，且原长方体的高比长（宽）多5cm。其次，表面积减少的200cm²，其实是切去的长方体的4个侧面的面积之和（上下底面面积未减少），这4个侧面是完全相同的长方形，每个长方形的高为5cm，长就是正方体的棱长（即原长方体的长和宽）。解题思路：先求出一个侧面的面积，再除以5cm得到正方体的棱长，接着算出原长方体的高，最后利用长方体体积公式计算体积。
【解析】
1. 计算减少的单个侧面面积：
$200÷4 = 50(\mathrm{cm}^{2})$
2. 求出正方体的棱长（即原长方体的长和宽）：
$50÷5 = 10(\mathrm{cm})$
3. 计算原长方体的高：
$10 + 5 = 15(\mathrm{cm})$
4. 计算原长方体的体积：
$10×10×15 = 1500(\mathrm{cm}^{3})$
答：原来长方体的体积是$1500\ \mathrm{cm}^{3}$。
【答案】
$1500\ \mathrm{cm}^{3}$
【知识点】
长方体体积计算、表面积变化分析、正方体特征
【点评】
本题重点考查对长方体表面积变化的理解及体积公式的运用，解题关键是明确表面积减少的部分为切去长方体的4个侧面面积，通过该条件求出原长方体的长、宽、高，需要较强的空间想象能力。
【难度系数】
0.3
首先，根据“切去高5cm的长方体后剩下正方体”，可知原来长方体的长和宽相等，且原长方体的高比长（宽）多5cm。其次，表面积减少的200cm²，其实是切去的长方体的4个侧面的面积之和（上下底面面积未减少），这4个侧面是完全相同的长方形，每个长方形的高为5cm，长就是正方体的棱长（即原长方体的长和宽）。解题思路：先求出一个侧面的面积，再除以5cm得到正方体的棱长，接着算出原长方体的高，最后利用长方体体积公式计算体积。
【解析】
1. 计算减少的单个侧面面积：
$200÷4 = 50(\mathrm{cm}^{2})$
2. 求出正方体的棱长（即原长方体的长和宽）：
$50÷5 = 10(\mathrm{cm})$
3. 计算原长方体的高：
$10 + 5 = 15(\mathrm{cm})$
4. 计算原长方体的体积：
$10×10×15 = 1500(\mathrm{cm}^{3})$
答：原来长方体的体积是$1500\ \mathrm{cm}^{3}$。
【答案】
$1500\ \mathrm{cm}^{3}$
【知识点】
长方体体积计算、表面积变化分析、正方体特征
【点评】
本题重点考查对长方体表面积变化的理解及体积公式的运用，解题关键是明确表面积减少的部分为切去长方体的4个侧面面积，通过该条件求出原长方体的长、宽、高，需要较强的空间想象能力。
【难度系数】
0.3
