二、拓展性作业
1. 【实际问题】某商场在双十一期间为了鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从$100$张面值分别为$1$元、$2$元、$3$元、$···$、$100$元的奖券中(面值为整数)一次任意抽取$2$张、$3$张、$4$张等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额。某顾客获得了一次抽取$5$张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额。
【问题建模】从$1$，$2$，$3$，$···$，$n$($n$为整数，且$n＞5$)这$n$个整数中任取$5$个整数，这$5$个整数之和共有多少种不同的结果？
【模型探究】我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，从中找出解决问题的方法。从$1$，$2$，$3$这$3$个整数中任取两个整数，这两个整数之和共有多少种不同的结果？所有结果如表$4 - 4 - 1$所示：

所取的两个整数之和可以为$3$，$4$，$5$，也就是从$3$到$5$的连续整数，其中最小值是$3$，最大值是$5$，所以共有$3$种不同的结果。
(1) 从$1$，$2$，$3$，$4$，$5$这$5$个整数中任取两个整数，这两个整数之和共有种不同的结果。
(2) 从$1$，$2$，$3$，$···$，$n$($n$为整数，且$n＞5$)这$n$个整数中任取$3$个整数，这$3$个整数之和共有种不同的结果。
(3) 归纳结论：从$1$，$2$，$3$，$···$，$n$($n$为整数，且$n＞5$)这$n$个整数中任取$5$个整数，这$5$个整数之和共有种不同的结果。
【问题解决】
从$100$张面值分别为$1$元、$2$元、$3$元、$···$、$100$元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽取$5$张奖券，共有种不同的优惠金额。
【问题拓展】
从$3$，$4$，$5$，$···$，$n$($n$为整数，且$n＞5$)这$n - 2$个整数中任取$5$个整数，使得取出的这些整数之和共有$121$种不同的结果，求$n$的值。(写出解答过程)

1. 解:(1)7 解析:从1,2,3,4,5这5个整数中任取两个整数，
这两个整数之和的最小值为1 + 2 = 3，最大值为4 + 5 = 9，
则这两个整数之和共有9 - 3 + 1 = 7(种)不同的结果。
故答案为7。
(2)3n - 8 解析:从1,2,3,…,n(n为整数,且n＞5)这n个整数中任取3个整数，
这3个整数之和的最小值为1 + 2 + 3 = 6，最大值为n - 2 + n - 1 + n = 3n - 3，
则这3个整数之和共有3n - 3 - 6 + 1 = 3n - 8(种)不同的结果。
故答案为3n - 8。
(3)5n - 24 解析:从1,2,3,…,n(n为整数,且n＞5)这n个整数中任取5个整数，
这5个整数之和的最小值为1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15，最大值为n + (n - 1) + (n - 2) + (n - 3) + (n - 4) = 5n - 10，
则这5个整数之和共有5n - 10 - 15 + 1 = 5n - 24 (种)不同的结果。
故答案为5n - 24。
[问题解决]476 解析:从100张面值分别为1元、2元、3元、...、100元的奖券中(面值为整数)，
一次任意抽取5张奖券，这5张奖券和的最小值为1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15(元)，最大值为100 + 99 + 98 + 97 + 96 = 490(元)，
则这5张奖券的和共有490 - 15 + 1 = 476(种)不同的优惠金额。
故答案为476。
[问题拓展]从3，4，5，…，n(n为整数，且n＞5)这n - 2个整数中任取5个整数，
这5个整数之和的最小值为3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25，最大值为n + (n - 1) + (n - 2) + (n - 3) + (n - 4) = 5n - 10，
则这5个整数之和共有5n - 10 - 25 + 1 = 5n - 34 (种)不同的结果。
所以5n - 34 = 121，
解得n = 31。