2. (1) 如图$4 - 4 - 14$①，在四边形$ABCD$中，$AB = AD$，$∠ B = ∠ D = 90°$，$E$，$F$分别是边$BC$，$CD$上的点，且$∠ EAF = \dfrac{1}{2}∠ BAD$。请直接写出线段$EF$，$BE$，$FD$之间的数量关系：。
(2) 如图$4 - 4 - 14$②，在四边形$ABCD$中，$AB = AD$，$∠ B+∠ D = 180°$，$E$，$F$分别是边$BC$，$CD$上的点，且$∠ EAF = \dfrac{1}{2}∠ BAD$，(1)中的结论是否仍然成立？请写出解题过程。
(3) 在四边形$ABCD$中，$AB = AD$，$∠ B+∠ D = 180°$，$E$，$F$分别是边$BC$，$CD$所在直线上的点，且$∠ EAF = \dfrac{1}{2}∠ BAD$。请直接写出线段$EF$，$BE$，$FD$之间的数量关系：。

2. 解:(1)EF = BE + FD 解析:如答图4 - 4 - 2①,延长EB到点G,使BG = DF，连接AG。
在△ABG和△ADF中，
$\begin{cases}AB = AD，\\∠ABG = ∠ADF，\\BG = DF，\end{cases}$
所以△ABG ≌ △ADF(SAS)。
所以AG = AF，∠1 = ∠2，
所以∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠3。又∠EAF = $\frac{1}{2}$∠BAD，所以∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠3 = $\frac{1}{2}$∠BAD。
所以∠GAE = ∠EAF。
又AE = AE，
易证△AEG ≌ △AEF。
所以EG = EF。
因为EG = BE + BG，
所以EF = BE + FD。
(2)(1)中的结论仍然成立。
如答图4 - 4 - 2②，延长EB到点G，使BG = DF，连接AG。
因为∠ABC + ∠ADF = 180°，∠ABG + ∠ABC = 180°，
所以∠ABG = ∠ADF。
在△ABG和△ADF中，
$\begin{cases}AB = AD，\\∠ABG = ∠ADF，\\BG = DF，\end{cases}$
所以△ABG ≌ △ADF(SAS)。
所以AG = AF，∠1 = ∠2，
所以∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠3。又∠EAF = $\frac{1}{2}$∠BAD，所以∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠3 = $\frac{1}{2}$∠BAD。
所以∠GAE = ∠EAF。
又AE = AE，
所以△AEG ≌ △AEF。
所以EG = EF。
因为EG = BE + BG，
所以EF = BE + FD。

(3)EF = BE + FD或EF = BE - FD或EF = FD - BE

3. (1) 如图$4 - 4 - 15$①，已知在$△ ABC$中，$∠ BAC = 90°$，$AB = AC$，直线$m$经过点$A$，$BD⊥$直线$m$于点$D$，$CE⊥$直线$m$于点$E$，猜想$DE$，$BD$，$CE$之间的数量关系为。
(2) 如图$4 - 4 - 15$②，将(1)中的条件改为在$△ ABC$中，$AB = AC$，$D$，$A$，$E$三点都在直线$m$上，并且$∠ BDA = ∠ AEC = ∠ BAC=α$，$α$为任意锐角或钝角，请问(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出解题过程；若不成立，请说明理由。
(3) 如图$4 - 4 - 15$③，在$△ ABC$中，$∠ BAC$是钝角，$AB = AC$，$∠ BAD＞∠ CAE$，$∠ BDA = ∠ AEC = ∠ BAC$，直线$m$与$BC$的延长线交于点$F$，若$BC = 2CF$，$△ ABC$的面积是$12$，求$△ ABD$与$△ CEF$的面积之和。

3. 解:(1)DE = BD + CE 解析:因为BD ⊥ 直线m，CE ⊥ 直线m，
所以∠BDA = ∠CEA = 90°。
所以∠BAD + ∠ABD = 90°。
因为∠BAC = 90°，
所以∠BAD + ∠CAE = 90°。
所以∠CAE = ∠ABD。
在△ADB和△CEA中，
$\begin{cases}∠ABD = ∠CAE，\\∠BDA = ∠AEC，\\AB = CA，\end{cases}$
所以△ADB ≌ △CEA(AAS)，
所以BD = AE，AD = CE，
所以DE = AE + AD = BD + CE。
故答案为DE = BD + CE。
(2)(1)中的结论仍然成立。
因为∠BDA = ∠BAC = α，
所以 ∠DBA + ∠BAD = ∠BAD + ∠CAE = 180° - α，
所以∠CAE = ∠ABD。
在△ADB和△CEA中，
$\begin{cases}∠ABD = ∠CAE，\\∠BDA = ∠AEC，\\AB = CA，\end{cases}$
所以△ADB ≌ △CEA(AAS)，
所以BD = AE，AD = CE，
所以DE = AE + AD = BD + CE。
(3)因为 ∠BAD ＞ ∠CAE，∠BDA = ∠AEC = ∠BAC，所以∠DBA + ∠BAD = ∠BAD + ∠CAE，
所以∠CAE = ∠ABD。
在△ABD和△CAE中，
$\begin{cases}∠ABD = ∠CAE，\\∠BDA = ∠AEC，\\AB = CA，\end{cases}$
所以△ABD ≌ △CAE(AAS)。
所以 $S_{△ABD} = S_{△CAE}$。
设△ABC的底边BC上的高为h，则△ACF的底边CF上的高也为h，
所以 $S_{△ABC} = \frac{1}{2}BC · h = 12$，$S_{△ACF} = \frac{1}{2}CF · h$。
因为BC = 2CF，
所以 $S_{△ACF} = 6$。
因为 $S_{△ACF} = S_{△CEF} + S_{△CEA} = S_{△CEF} + S_{△ABD} = 6$，
所以△ABD与△CEF的面积之和为6。