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1. 下列是二元一次方程的是 （
A.$x^2 + y = 0$
B.$\dfrac{x + y}{3} - 2y = 0$
C.$y = \dfrac{1}{x} + 2$
D.$y + \dfrac{1}{2}x$
B
）A.$x^2 + y = 0$
B.$\dfrac{x + y}{3} - 2y = 0$
C.$y = \dfrac{1}{x} + 2$
D.$y + \dfrac{1}{2}x$
答案
1.B
解析
【分析】
要判断哪个是二元一次方程，首先要明确二元一次方程的3个核心判定标准：①含有2个不同的未知数；②含未知数的项的次数都是1；③是整式方程（分母不含未知数）。解题时只需将每个选项依次对照这3个标准排查，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：方程$x^2 + y = 0$中$x$的次数是2，不满足“含未知数的项次数为1”的要求，不属于二元一次方程。
选项B：先化简式子$\dfrac{x + y}{3} - 2y = 0$，去分母得$x+y-6y=0$，整理为$x-5y=0$，含有$x$、$y$两个未知数，含未知数的项次数均为1，且是整式方程，完全符合二元一次方程的定义。
选项C：$y = \dfrac{1}{x} + 2$的分母含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求。
选项D：$y + \dfrac{1}{2}x$是代数式，不是含有未知数的等式，不满足方程的定义，因此不是二元一次方程。
综上，只有B选项符合二元一次方程的要求。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程的定义、整式方程判定、方程的定义
【点评】
本题是基础概念考察题，解题关键是熟记二元一次方程的三个判定条件，判断时可先对式子做简单化简，再逐一核对条件，即可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
要判断哪个是二元一次方程，首先要明确二元一次方程的3个核心判定标准：①含有2个不同的未知数；②含未知数的项的次数都是1；③是整式方程（分母不含未知数）。解题时只需将每个选项依次对照这3个标准排查，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：方程$x^2 + y = 0$中$x$的次数是2，不满足“含未知数的项次数为1”的要求，不属于二元一次方程。
选项B：先化简式子$\dfrac{x + y}{3} - 2y = 0$，去分母得$x+y-6y=0$，整理为$x-5y=0$，含有$x$、$y$两个未知数，含未知数的项次数均为1，且是整式方程，完全符合二元一次方程的定义。
选项C：$y = \dfrac{1}{x} + 2$的分母含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求。
选项D：$y + \dfrac{1}{2}x$是代数式，不是含有未知数的等式，不满足方程的定义，因此不是二元一次方程。
综上，只有B选项符合二元一次方程的要求。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程的定义、整式方程判定、方程的定义
【点评】
本题是基础概念考察题，解题关键是熟记二元一次方程的三个判定条件，判断时可先对式子做简单化简，再逐一核对条件，即可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
2. 已知$3x + y = 5$，当$x = 2$时，$y$的值是（
A.2
B.1
C.0
D.-1
D
）A.2
B.1
C.0
D.-1
答案
2.D
解析
【分析】
这道题是已知二元一次方程和其中一个未知数的取值，求另一个未知数的值。解题思路非常明确：首先把已知的x的值代入给定的方程，将原式转化为只含有y的一元一次方程，再按照一元一次方程的求解步骤计算出y的数值即可。
【解析】
把x=2代入方程$3x + y = 5$，可得：
$3×2 + y = 5$
计算乘法项得：$6 + y = 5$
移项求解y：$y = 5 - 6 = -1$
因此y的值为-1。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程求值；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查代入法的应用，计算量很小，只要掌握代入求值的基本步骤就能顺利得分。
【难度系数】
0.9
这道题是已知二元一次方程和其中一个未知数的取值，求另一个未知数的值。解题思路非常明确：首先把已知的x的值代入给定的方程，将原式转化为只含有y的一元一次方程，再按照一元一次方程的求解步骤计算出y的数值即可。
【解析】
把x=2代入方程$3x + y = 5$，可得：
$3×2 + y = 5$
计算乘法项得：$6 + y = 5$
移项求解y：$y = 5 - 6 = -1$
因此y的值为-1。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程求值；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查代入法的应用，计算量很小，只要掌握代入求值的基本步骤就能顺利得分。
【难度系数】
0.9
3. 下列调查中，最适宜采用抽样调查的是 （
A.了解全市中学生每周课外阅读的时间
B.为实现首次月球背面土壤采集，对嫦娥六号重要零部件进行检查
C.检查乘坐动车的旅客是否携带违禁物品
D.购买班服前统计全班同学衣服尺寸
A
）A.了解全市中学生每周课外阅读的时间
B.为实现首次月球背面土壤采集，对嫦娥六号重要零部件进行检查
C.检查乘坐动车的旅客是否携带违禁物品
D.购买班服前统计全班同学衣服尺寸
答案
3.A
解析
【分析】
解题时首先要明确普查和抽样调查的核心区别：普查是对所有考察对象逐一调查，适合调查范围小、调查结果要求精确度高、不具有破坏性的场景；抽样调查是从考察对象中抽取一部分进行调查，适合调查范围大、调查耗费成本高、对结果精确度要求没有极高要求的场景。接下来逐个分析每个选项的场景，匹配对应的调查方式即可得出答案。
【解析】
我们逐一判断各选项适宜的调查方式：
A. 全市中学生数量庞大，若进行全面调查会耗费大量的人力、物力和时间，因此适宜采用抽样调查，符合题意；
B. 嫦娥六号重要零部件的质量直接关系到探测任务的成败，要求极高的精确度，必须对每个零部件逐一检查，适宜采用普查，不符合题意；
C. 检查旅客是否携带违禁物品关乎动车运行安全，需要对每一位旅客都进行检查，适宜采用普查，不符合题意；
D. 全班同学人数较少，且班服需要符合每位同学的尺寸，必须逐一统计，适宜采用普查，不符合题意。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
抽样调查；普查；调查方式选择
【点评】
本题考查不同调查方式的适用场景，解题的核心是结合实际情况判断调查的必要性、可行性，属于常考的基础题型，熟练掌握两种调查的特点就能快速作答。
【难度系数】
0.85
解题时首先要明确普查和抽样调查的核心区别：普查是对所有考察对象逐一调查，适合调查范围小、调查结果要求精确度高、不具有破坏性的场景；抽样调查是从考察对象中抽取一部分进行调查，适合调查范围大、调查耗费成本高、对结果精确度要求没有极高要求的场景。接下来逐个分析每个选项的场景，匹配对应的调查方式即可得出答案。
【解析】
我们逐一判断各选项适宜的调查方式：
A. 全市中学生数量庞大，若进行全面调查会耗费大量的人力、物力和时间，因此适宜采用抽样调查，符合题意；
B. 嫦娥六号重要零部件的质量直接关系到探测任务的成败，要求极高的精确度，必须对每个零部件逐一检查，适宜采用普查，不符合题意；
C. 检查旅客是否携带违禁物品关乎动车运行安全，需要对每一位旅客都进行检查，适宜采用普查，不符合题意；
D. 全班同学人数较少，且班服需要符合每位同学的尺寸，必须逐一统计，适宜采用普查，不符合题意。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
抽样调查；普查；调查方式选择
【点评】
本题考查不同调查方式的适用场景，解题的核心是结合实际情况判断调查的必要性、可行性，属于常考的基础题型，熟练掌握两种调查的特点就能快速作答。
【难度系数】
0.85
4. 方程组$\begin{cases}x + 2y = 3, \\ 2x - y = 5\end{cases}$的解是（ ）
答案
4.B
解析
【分析】
本题考查二元一次方程组的求解，解题核心是消元思想，将二元方程组转化为一元方程求解。我们可以选择加减消元法：观察到方程②中y的系数是-1，将方程②乘2后，y的系数变为-2，和方程①中y的系数2互为相反数，相加即可消去y，先求出x的值，再代入任意方程求出y的值，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
首先列出原方程组：
$\begin{cases}x + 2y = 3&① \\ 2x - y = 5&②\end{cases}$
第一步消去y：将方程②左右两边同时乘2，得：
$4x - 2y = 10$ ③
将方程①和方程③相加，左边相加得$x+2y+4x-2y=5x$，右边相加得$3+10=13$，因此：
$5x=13$
解得$x=\frac{13}{5}$
第二步求y的值：把$x=\frac{13}{5}$代入方程①，得：
$\frac{13}{5} + 2y = 3$
移项计算：$2y = 3 - \frac{13}{5} = \frac{15}{5}-\frac{13}{5}=\frac{2}{5}$
解得$y=\frac{1}{5}$
因此方程组的解为$\begin{cases}x=\frac{13}{5} \\ y=\frac{1}{5}\end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组求解、加减消元法
【点评】
本题是二元一次方程组的基础题型，核心考察消元思想的应用，消元的目的是将二元方程转化为我们熟悉的一元一次方程求解，计算过程中注意系数运算、通分不要出错即可。
【难度系数】
0.8
本题考查二元一次方程组的求解，解题核心是消元思想，将二元方程组转化为一元方程求解。我们可以选择加减消元法：观察到方程②中y的系数是-1，将方程②乘2后，y的系数变为-2，和方程①中y的系数2互为相反数，相加即可消去y，先求出x的值，再代入任意方程求出y的值，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
首先列出原方程组：
$\begin{cases}x + 2y = 3&① \\ 2x - y = 5&②\end{cases}$
第一步消去y：将方程②左右两边同时乘2，得：
$4x - 2y = 10$ ③
将方程①和方程③相加，左边相加得$x+2y+4x-2y=5x$，右边相加得$3+10=13$，因此：
$5x=13$
解得$x=\frac{13}{5}$
第二步求y的值：把$x=\frac{13}{5}$代入方程①，得：
$\frac{13}{5} + 2y = 3$
移项计算：$2y = 3 - \frac{13}{5} = \frac{15}{5}-\frac{13}{5}=\frac{2}{5}$
解得$y=\frac{1}{5}$
因此方程组的解为$\begin{cases}x=\frac{13}{5} \\ y=\frac{1}{5}\end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组求解、加减消元法
【点评】
本题是二元一次方程组的基础题型，核心考察消元思想的应用，消元的目的是将二元方程转化为我们熟悉的一元一次方程求解，计算过程中注意系数运算、通分不要出错即可。
【难度系数】
0.8
5. 有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有$a\ \mathrm{g}$水、$b\ \mathrm{g}$水，$a ＞ b$. 都加入$c\ \mathrm{g}$水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是 （
A.$a + c ＞ b + c$
B.$a + c = b + c$
C.$a + c ＜ b + c$
D.$a - c ＜ b - c$
A
）A.$a + c ＞ b + c$
B.$a + c = b + c$
C.$a + c ＜ b + c$
D.$a - c ＜ b - c$
答案
5.A
解析
【分析】
首先明确题目给出的初始条件：两个玻璃杯原有水的质量关系为$a ＞ b$，之后两个杯子都加入了质量为$c\ \mathrm{g}$的水，需要判断加水后两个杯子水的质量大小关系。解题时可以结合不等式的基本性质思考：不等式两边同时加上同一个数，不等号的方向不会发生改变，我们只需要在原有不等关系两边同时加上$c$，就能得到加水后的大小关系，再对应选项选出答案即可。
【解析】
已知两个玻璃杯原有水的质量满足$a ＞ b$，根据不等式的基本性质1：不等式两边同时加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变。
在不等式$a ＞ b$两边同时加上$c$，可得$a + c ＞ b + c$，这就是加水后两个玻璃杯中水的质量大小关系，对应选项A。
其余选项可直接排除：B、C的不等关系不符合不等式性质，D选项是两边减$c$的结果，不符合题意，且本身表述也错误。
【答案】
A
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查对不等式性质的理解和简单应用，结合题意直接运用对应性质即可得到结论，解题门槛较低。
【难度系数】
0.9
首先明确题目给出的初始条件：两个玻璃杯原有水的质量关系为$a ＞ b$，之后两个杯子都加入了质量为$c\ \mathrm{g}$的水，需要判断加水后两个杯子水的质量大小关系。解题时可以结合不等式的基本性质思考：不等式两边同时加上同一个数，不等号的方向不会发生改变，我们只需要在原有不等关系两边同时加上$c$，就能得到加水后的大小关系，再对应选项选出答案即可。
【解析】
已知两个玻璃杯原有水的质量满足$a ＞ b$，根据不等式的基本性质1：不等式两边同时加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变。
在不等式$a ＞ b$两边同时加上$c$，可得$a + c ＞ b + c$，这就是加水后两个玻璃杯中水的质量大小关系，对应选项A。
其余选项可直接排除：B、C的不等关系不符合不等式性质，D选项是两边减$c$的结果，不符合题意，且本身表述也错误。
【答案】
A
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查对不等式性质的理解和简单应用，结合题意直接运用对应性质即可得到结论，解题门槛较低。
【难度系数】
0.9
6.（古典数学）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻. 互换其中一只，恰好一样重. 问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（
A.$\begin{cases}5x + 6y = 16, \\5x + y = 6y + x\end{cases}$
B.$\begin{cases}5x + 6y = 16, \\4x + y = 5y + x\end{cases}$
C.$\begin{cases}6x + 5y = 16, \\6x + y = 5y + x\end{cases}$
D.$\begin{cases}6x + 5y = 16, \\5x + y = 4y + x\end{cases}$
B
）A.$\begin{cases}5x + 6y = 16, \\5x + y = 6y + x\end{cases}$
B.$\begin{cases}5x + 6y = 16, \\4x + y = 5y + x\end{cases}$
C.$\begin{cases}6x + 5y = 16, \\6x + y = 5y + x\end{cases}$
D.$\begin{cases}6x + 5y = 16, \\5x + y = 4y + x\end{cases}$
答案
6.B
解析
【分析】
解题时先明确已知条件与未知数的对应关系，分两步找等量关系列方程：第一步，根据“五只雀、六只燕共重16两”可列出第一个方程；第二步，分析“互换其中一只恰好一样重”的含义：互换1只后，雀的剩余数量为5-1=4只，加上换来的1只燕，总重量为4x+y；燕的剩余数量为6-1=5只，加上换来的1只雀，总重量为5y+x，二者相等即可列出第二个方程，最后匹配选项即可。
【解析】
1. 列第一个方程：已知5只雀每只重x两，6只燕每只重y两，总重16两，可得：
$5x + 6y = 16$，据此排除第一个方程错误的C、D选项。
2. 列第二个方程：互换1只雀和1只燕后两边重量相等，此时一边是4只雀+1只燕，另一边是5只燕+1只雀，可得：
$4x + y = 5y + x$，据此排除A选项。
综上只有B选项的方程组符合要求。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的应用；根据实际问题列方程
【点评】
本题以古典数学著作为背景，考查学生从文字信息中提取等量关系、列方程组的能力，解题的关键是准确理解“互换一只”后两边的动物数量变化，避免数错数量导致列错方程。
【难度系数】
0.8
解题时先明确已知条件与未知数的对应关系，分两步找等量关系列方程：第一步，根据“五只雀、六只燕共重16两”可列出第一个方程；第二步，分析“互换其中一只恰好一样重”的含义：互换1只后，雀的剩余数量为5-1=4只，加上换来的1只燕，总重量为4x+y；燕的剩余数量为6-1=5只，加上换来的1只雀，总重量为5y+x，二者相等即可列出第二个方程，最后匹配选项即可。
【解析】
1. 列第一个方程：已知5只雀每只重x两，6只燕每只重y两，总重16两，可得：
$5x + 6y = 16$，据此排除第一个方程错误的C、D选项。
2. 列第二个方程：互换1只雀和1只燕后两边重量相等，此时一边是4只雀+1只燕，另一边是5只燕+1只雀，可得：
$4x + y = 5y + x$，据此排除A选项。
综上只有B选项的方程组符合要求。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的应用；根据实际问题列方程
【点评】
本题以古典数学著作为背景，考查学生从文字信息中提取等量关系、列方程组的能力，解题的关键是准确理解“互换一只”后两边的动物数量变化，避免数错数量导致列错方程。
【难度系数】
0.8
