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8 (2025·山东济南)解不等式组$\begin{cases}4 - x ＞ 2(1 - x), ① \\ \dfrac{x - 2}{2} ＜ \dfrac{7 - x}{3}, ②\end{cases}$ 并写出它的所有整数解.
答案
8.$-2＜x＜4$,整数解为$-1,0,1,2,3$.
解析
【分析】
解一元一次不等式组的常规思路为：先分别求出组内每个不等式的解集，再依据“大小小大中间找”等解集判定口诀，确定两个解集的公共部分即不等式组的解集，最后在解集范围内筛选出所有整数即可。解单个不等式时，严格遵循去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，注意去分母时不要漏乘不含分母的项。
【解析】
解不等式①：
去括号，得 $4 - x ＞ 2 - 2x$
移项，得 $-x + 2x ＞ 2 - 4$
合并同类项，得 $x ＞ -2$
解不等式②：
两边同乘分母的最小公倍数6，得 $3(x - 2) ＜ 2(7 - x)$
去括号，得 $3x - 6 ＜ 14 - 2x$
移项，得 $3x + 2x ＜ 14 + 6$
合并同类项，得 $5x ＜ 20$
系数化为1，得 $x ＜ 4$
综上，不等式组的解集为 $-2 ＜ x ＜ 4$，该范围内的整数解为$-1,0,1,2,3$。
【答案】
不等式组的解集为$\boldsymbol{-2 ＜ x ＜ 4}$，整数解为$\boldsymbol{-1,0,1,2,3}$
【知识点】
解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组整数解确定
【点评】
本题是不等式组的基础常考题，重点考察解一元一次不等式的运算能力和解集公共部分的判定能力，计算时要注意移项变号、去分母不要漏乘常数项，避免低级运算错误。
【难度系数】
0.8
解一元一次不等式组的常规思路为：先分别求出组内每个不等式的解集，再依据“大小小大中间找”等解集判定口诀，确定两个解集的公共部分即不等式组的解集，最后在解集范围内筛选出所有整数即可。解单个不等式时，严格遵循去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，注意去分母时不要漏乘不含分母的项。
【解析】
解不等式①：
去括号，得 $4 - x ＞ 2 - 2x$
移项，得 $-x + 2x ＞ 2 - 4$
合并同类项，得 $x ＞ -2$
解不等式②：
两边同乘分母的最小公倍数6，得 $3(x - 2) ＜ 2(7 - x)$
去括号，得 $3x - 6 ＜ 14 - 2x$
移项，得 $3x + 2x ＜ 14 + 6$
合并同类项，得 $5x ＜ 20$
系数化为1，得 $x ＜ 4$
综上，不等式组的解集为 $-2 ＜ x ＜ 4$，该范围内的整数解为$-1,0,1,2,3$。
【答案】
不等式组的解集为$\boldsymbol{-2 ＜ x ＜ 4}$，整数解为$\boldsymbol{-1,0,1,2,3}$
【知识点】
解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组整数解确定
【点评】
本题是不等式组的基础常考题，重点考察解一元一次不等式的运算能力和解集公共部分的判定能力，计算时要注意移项变号、去分母不要漏乘常数项，避免低级运算错误。
【难度系数】
0.8
9 (2025·辽宁)小张计划购进A,B两种文创产品,在“文化夜市”上进行销售.已知A种文创产品比B种文创产品每件进价多3元,购进2件A种文创产品和3件B种文创产品共需花费26元.
(1)求B种文创产品每件的进价.
(2)小张决定购进A,B两种文创产品共100件,且总费用不超过550元,那么小张最多可以购进多少件A种文创产品？
(1)求B种文创产品每件的进价.
(2)小张决定购进A,B两种文创产品共100件,且总费用不超过550元,那么小张最多可以购进多少件A种文创产品？
答案
9.解:(1)设B种文创产品每件的进价为$x$元.根据题意,得$2(x+3)+3x=26$.解得$x=4$.答:B种文创产品每件的进价为4元.
(2)设小张购进$m$件A种文创产品.由(1)知A种文创产品每件的进价为$4+3=7$(元),则$7m+4(100-m)≤550$,解得$m≤50$.答:小张最多可以购进50件A种文创产品.
(2)设小张购进$m$件A种文创产品.由(1)知A种文创产品每件的进价为$4+3=7$(元),则$7m+4(100-m)≤550$,解得$m≤50$.答:小张最多可以购进50件A种文创产品.
解析
【分析】
（1）第一问属于一元一次方程的实际应用，解题时先设B种文创产品每件进价为x元，根据“A比B每件进价多3元”可表示出A的进价为(x+3)元，再抓住“2件A的总费用+3件B的总费用=26元”的等量关系列方程，求解即可得到B的进价。
（2）第二问属于一元一次不等式的实际应用，先由第一问的结果算出A的进价，再设购进A种文创产品m件，可得B的购进数量为(100-m)件，根据“总费用不超过550元”即总费用≤550元的不等关系列不等式，解不等式后取最大符合实际的正整数即可得到答案。
【解析】
(1) 设B种文创产品每件的进价为$x$元，则A种文创产品每件的进价为$(x+3)$元。
根据题意列方程：$2(x+3)+3x=26$
去括号得：$2x+6+3x=26$
合并同类项得：$5x=20$
解得：$x=4$
(2) 设小张购进$m$件A种文创产品，则购进B种文创产品$(100-m)$件。
由(1)可知A种文创产品每件进价为$4+3=7$元。
根据总费用不超过550元，列不等式：$7m+4(100-m) ≤ 550$
去括号得：$7m+400-4m ≤ 550$
合并同类项得：$3m ≤ 150$
解得：$m ≤ 50$
【答案】
(1) B种文创产品每件的进价为4元；
(2) 小张最多可以购进50件A种文创产品。
【知识点】
一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题是贴近生活的进货类应用题，解题核心是准确提取题干中的等量关系和不等关系，分别列出对应的方程、不等式求解，注意最终结果要符合实际问题的取值要求，属于方程与不等式应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
（1）第一问属于一元一次方程的实际应用，解题时先设B种文创产品每件进价为x元，根据“A比B每件进价多3元”可表示出A的进价为(x+3)元，再抓住“2件A的总费用+3件B的总费用=26元”的等量关系列方程，求解即可得到B的进价。
（2）第二问属于一元一次不等式的实际应用，先由第一问的结果算出A的进价，再设购进A种文创产品m件，可得B的购进数量为(100-m)件，根据“总费用不超过550元”即总费用≤550元的不等关系列不等式，解不等式后取最大符合实际的正整数即可得到答案。
【解析】
(1) 设B种文创产品每件的进价为$x$元，则A种文创产品每件的进价为$(x+3)$元。
根据题意列方程：$2(x+3)+3x=26$
去括号得：$2x+6+3x=26$
合并同类项得：$5x=20$
解得：$x=4$
(2) 设小张购进$m$件A种文创产品，则购进B种文创产品$(100-m)$件。
由(1)可知A种文创产品每件进价为$4+3=7$元。
根据总费用不超过550元，列不等式：$7m+4(100-m) ≤ 550$
去括号得：$7m+400-4m ≤ 550$
合并同类项得：$3m ≤ 150$
解得：$m ≤ 50$
【答案】
(1) B种文创产品每件的进价为4元；
(2) 小张最多可以购进50件A种文创产品。
【知识点】
一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题是贴近生活的进货类应用题，解题核心是准确提取题干中的等量关系和不等关系，分别列出对应的方程、不等式求解，注意最终结果要符合实际问题的取值要求，属于方程与不等式应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
10 (2025·湖南长沙)为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精加工转变.根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入112元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入68元.(不考虑加工损耗)
(1)每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售价格分别为多少元？
(2)若该食品企业以每千克8元购进6 000千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于16 000元，则至少需加工A等级农产品多少千克？
(1)每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售价格分别为多少元？
(2)若该食品企业以每千克8元购进6 000千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于16 000元，则至少需加工A等级农产品多少千克？
答案
10.解:(1)设每千克A等级农产品的销售价格为$x$元,每千克B等级农产品的销售价格为$y$元.由题意,得$\begin{cases}6x+4y=112,\\4x+2y=68,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=12,\\y=10.\end{cases}$答:每千克A等级农产品的销售价格为12元,每千克B等级农产品的销售价格为10元.
(2)设加工A等级农产品$m$千克.由题意,得$(12-8)m+(10-8)(6\ 000-m)≥16\ 000$,解得$m≥2\ 000$.答:至少需加工A等级农产品2 000千克.
(2)设加工A等级农产品$m$千克.由题意,得$(12-8)m+(10-8)(6\ 000-m)≥16\ 000$,解得$m≥2\ 000$.答:至少需加工A等级农产品2 000千克.
解析
【分析】
(1)第一问求解两种等级农产品的售价，可通过设两个未知数列二元一次方程组求解。首先从题干提取两个等量关系：①销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入112元；②销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入68元，将等量关系转化为方程组求解即可。
(2)第二问求至少加工A等级农产品的质量，属于最值类实际问题，需列一元一次不等式求解。设加工A等级农产品m千克，则B等级农产品为(6000-m)千克，根据“总利润=单利润×销售数量”，结合“总利润不低于16000元”的不等关系列不等式，解出不等式后取最小满足条件的解即可。
【解析】
(1)设每千克A等级农产品的销售价格为$x$元，每千克B等级农产品的销售价格为$y$元。
由题意得：
$\begin{cases}6x+4y=112\\4x+2y=68\end{cases}$
将第二个方程两边同乘2得$8x+4y=136$，用该式减去第一个方程得$2x=24$，解得$x=12$。
将$x=12$代入$4x+2y=68$，得$4×12+2y=68$，解得$y=10$。
故方程组的解为$\begin{cases}x=12\\y=10\end{cases}$。
(2)设加工A等级农产品$m$千克，则加工B等级农产品$(6000-m)$千克。
由总利润不低于16000元，列不等式：
$(12-8)m+(10-8)(6000-m)≥16000$
化简得：$4m+12000-2m≥16000$
合并同类项得：$2m≥4000$
解得：$m≥2000$。
【答案】
(1)每千克A等级农产品的销售价格为12元，每千克B等级农产品的销售价格为10元；
(2)至少需加工A等级农产品2000千克。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式应用，销售利润计算
【点评】
本题以农业生产实际为背景，考查学生将实际问题转化为数学问题的能力，解题关键是准确提取题干中的等量、不等关系，掌握方程和不等式的基本解法，题目贴近生活，能有效检验学生的数学应用意识。
【难度系数】
0.75
(1)第一问求解两种等级农产品的售价，可通过设两个未知数列二元一次方程组求解。首先从题干提取两个等量关系：①销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入112元；②销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入68元，将等量关系转化为方程组求解即可。
(2)第二问求至少加工A等级农产品的质量，属于最值类实际问题，需列一元一次不等式求解。设加工A等级农产品m千克，则B等级农产品为(6000-m)千克，根据“总利润=单利润×销售数量”，结合“总利润不低于16000元”的不等关系列不等式，解出不等式后取最小满足条件的解即可。
【解析】
(1)设每千克A等级农产品的销售价格为$x$元，每千克B等级农产品的销售价格为$y$元。
由题意得：
$\begin{cases}6x+4y=112\\4x+2y=68\end{cases}$
将第二个方程两边同乘2得$8x+4y=136$，用该式减去第一个方程得$2x=24$，解得$x=12$。
将$x=12$代入$4x+2y=68$，得$4×12+2y=68$，解得$y=10$。
故方程组的解为$\begin{cases}x=12\\y=10\end{cases}$。
(2)设加工A等级农产品$m$千克，则加工B等级农产品$(6000-m)$千克。
由总利润不低于16000元，列不等式：
$(12-8)m+(10-8)(6000-m)≥16000$
化简得：$4m+12000-2m≥16000$
合并同类项得：$2m≥4000$
解得：$m≥2000$。
【答案】
(1)每千克A等级农产品的销售价格为12元，每千克B等级农产品的销售价格为10元；
(2)至少需加工A等级农产品2000千克。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式应用，销售利润计算
【点评】
本题以农业生产实际为背景，考查学生将实际问题转化为数学问题的能力，解题关键是准确提取题干中的等量、不等关系，掌握方程和不等式的基本解法，题目贴近生活，能有效检验学生的数学应用意识。
【难度系数】
0.75
