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1. 如图,在$△ ABC$中,已知$D,E$分别为边$AB,AC$的中点,连接$DE$.若$∠ C=70°$,则$∠ AED$等于（）
A.$70°$
B.$67.5°$
C.$65°$
D.$60°$
A.$70°$
B.$67.5°$
C.$65°$
D.$60°$
答案
A
解析
∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，DE//BC，∴∠AED=∠C=70°。
2. 顺次连接四边形ABCD四边的中点所得的四边形为菱形,则四边形ABCD一定满足的条件是（）
A.$AC\bot BD$
B.$AB=BC$
C.$AC=BD$
D.$AB\bot BC$
A.$AC\bot BD$
B.$AB=BC$
C.$AC=BD$
D.$AB\bot BC$
答案
C
解析
根据三角形中位线定理，顺次连接四边形各边中点所得的中点四边形的边长等于原四边形对角线长度的一半。若中点四边形为菱形，则其四条边相等，因此原四边形的两条对角线长度相等，即AC=BD。
3. 如图,在四边形ABCD中,AD=BC,
∠DAB=50°,∠CBA=70°,P,M,N分
别是AB,AC,BD的中点.若BC=8,则
△PMN的周长是
()
A.10
B.12
C.16
D.18
∠DAB=50°,∠CBA=70°,P,M,N分
别是AB,AC,BD的中点.若BC=8,则
△PMN的周长是
()
A.10
B.12
C.16
D.18
答案
B
解析
1. 由三角形中位线定理，P、M是AB、AC中点，得PM=1/2 BC=1/2×8=4；P、N是AB、BD中点，得PN=1/2 AD，因AD=BC=8，故PN=4。2. 因PM//BC，∠MPA=∠CBA=70°；PN//AD，∠NPB=∠DAB=50°，则∠MPN=180°-70°-50°=60°。3. PM=PN=4，∠MPN=60°，故△PMN是等边三角形，周长=4×3=12。
4. 如图,在梯形ABCD中,CD,AB分别是梯形的上底和下底,AC与BD相交于点E.若△ADE的面积是S₁,△BCE的面积是S₂,则S₁与S₂的大小关系是
()
A.$S_1 ＜ S_2$
B.$S_2 = S_2$
C.$S_1 ＞ S_2$
D.无法确定
()
A.$S_1 ＜ S_2$
B.$S_2 = S_2$
C.$S_1 ＞ S_2$
D.无法确定
答案
B
解析
因为CD//AB，所以△ADC和△BDC同底等高，面积相等，即$S_{△ ADC}=S_{△ BDC}$。又$S_{△ ADC}=S_1 + S_{△ DEC}$，$S_{△ BDC}=S_2 + S_{△ DEC}$，因此$S_1 = S_2$。
5. 如图，D，E分别为$△ ABC$的边AB，AC的中点，连接DE，过点B作BF平分$∠ ABC$，交DE于点F.若$EF=4$，$AD=7$，则BC的长为________.
答案
22
解析
∵D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//BC，且DE=$\frac{1}{2}$BC，同时D是AB中点，故DB=AD=7。
∵BF平分∠ABC，∴∠DBF=∠FBC。
又∵DE//BC，∴∠DFB=∠FBC，∴∠DBF=∠DFB，∴DF=DB=7。
已知EF=4，∴DE=DF+EF=7+4=11，因此BC=2DE=22。
∵BF平分∠ABC，∴∠DBF=∠FBC。
又∵DE//BC，∴∠DFB=∠FBC，∴∠DBF=∠DFB，∴DF=DB=7。
已知EF=4，∴DE=DF+EF=7+4=11，因此BC=2DE=22。
6. 如图,已知点 E 在正方形ABCD 的边AB上,以 BE 为边向正方形ABCD外部作正方形 BEFG,连接 DF ,M,N 分别是 DC,DF 的中点,连接 MN.若 AB=7,BE=5,则 MN=.
答案
13/2
解析
因为M、N分别是DC、DF的中点，根据三角形中位线定理，MN是△DFC的中位线，故MN=½FC。由题意，正方形ABCD中BC=AB=7，正方形BEFG中FG=BE=5，且GC=GB+BC=5+7=12，∠FGC=90°。在Rt△FGC中，由勾股定理得FC=√(GC²+FG²)=√(12²+5²)=13，因此MN=½×13=13/2。
7. 如图,将梯形纸片ABCD的一角向内折叠,折痕为EF,点C落在点G处,使AB//CE.若∠B=132°,AB//CD,则∠GEF=,∠DFG=.
答案
66°；48°
解析
因为AB//CD，所以∠B + ∠C = 180°，已知∠B=132°，则∠C=180°-132°=48°。又AB//CE，所以∠B + ∠BEC=180°，得∠BEC=180°-132°=48°。由折叠性质知∠GEF=∠CEF，且点B、E、C共线，故∠BEC + ∠CEF + ∠GEF=180°，即48° + 2∠GEF=180°，解得∠GEF=66°。
因为AB//CD，CE//AB，所以CE//CD，在△CEF中，∠CFE=180°-∠C -∠CEF=180°-48°-66°=66°，由折叠性质∠GFE=∠CFE=66°，又点D、F、C共线，故∠DFG + ∠GFE + ∠CFE=180°，则∠DFG=180°-66°-66°=48°。
因为AB//CD，CE//AB，所以CE//CD，在△CEF中，∠CFE=180°-∠C -∠CEF=180°-48°-66°=66°，由折叠性质∠GFE=∠CFE=66°，又点D、F、C共线，故∠DFG + ∠GFE + ∠CFE=180°，则∠DFG=180°-66°-66°=48°。
8. 如图,在等腰梯形 $ABCD$ 中,$AD // BC$, $BC=2AD$,$E,F$ 分别是 $AB,BC$ 的中点, $BD$ 与 $EF$ 相交于点 $G$.
(1) 求证:$BG=GF$.
(2) 连接 $AG,AF$,当 $AG=GF$ 时,求证:四边形 $AFCD$ 是菱形.
(1) 求证:$BG=GF$.
(2) 连接 $AG,AF$,当 $AG=GF$ 时,求证:四边形 $AFCD$ 是菱形.
答案
（1）BG=GF；（2）四边形AFCD是菱形。
解析
（1）证明：∵E、F分别为AB、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF//AC，EF=$\frac{1}{2}AC$。
∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，AD//BC，BC=2AD，F是BC中点，∴BF=AD，即AD//BF且AD=BF，∴四边形ABFD是平行四边形，AB//DF，AB=DF。
又等腰梯形中AB=CD，∴DF=CD。
联立EF与BD的交点G，通过相似三角形或坐标法可证BG=GF。
（2）证明：当AG=GF时，由（1）知BG=GF，故AG=BG，∴∠GAB=∠GBA。
∵EF//AC，∴∠GFB=∠ACB，又等腰梯形中∠ACB=∠DBC，∴∠GFB=∠DBC，∴GF=BF。
结合AG=GF，得AG=BF，又AD=BF，AD//BF，∴AD//FC且AD=FC，故四边形AFCD是平行四边形；又AF=BD=AC，AD=AF，因此平行四边形AFCD的邻边相等，故为菱形。
∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，AD//BC，BC=2AD，F是BC中点，∴BF=AD，即AD//BF且AD=BF，∴四边形ABFD是平行四边形，AB//DF，AB=DF。
又等腰梯形中AB=CD，∴DF=CD。
联立EF与BD的交点G，通过相似三角形或坐标法可证BG=GF。
（2）证明：当AG=GF时，由（1）知BG=GF，故AG=BG，∴∠GAB=∠GBA。
∵EF//AC，∴∠GFB=∠ACB，又等腰梯形中∠ACB=∠DBC，∴∠GFB=∠DBC，∴GF=BF。
结合AG=GF，得AG=BF，又AD=BF，AD//BF，∴AD//FC且AD=FC，故四边形AFCD是平行四边形；又AF=BD=AC，AD=AF，因此平行四边形AFCD的邻边相等，故为菱形。
