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9. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=6$,$BC=8$,$N$是$BC$上一点,$M$为$AB$上的动点(不与点$B$重合),$D$,$E$分别为$CN$,$MN$的中点,则$DE$的取值范围为()
A.$3＜ DE＜ 4$
B.$3 ≤ DE＜ 4$
C.$3≤ DE≤ 4$
D.$\dfrac{12}{5}≤ DE＜ 4$
A.$3＜ DE＜ 4$
B.$3 ≤ DE＜ 4$
C.$3≤ DE≤ 4$
D.$\dfrac{12}{5}≤ DE＜ 4$
答案
D
解析
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=√(6²+8²)=10。因为D、E分别为CN、MN的中点，根据三角形中位线定理，DE=½CM。当CM⊥AB时，CM最小，由面积法：S△ABC=½×AC×BC=½×AB×CM，得CM=(6×8)/10=24/5；当M接近B时，CM接近BC=8（M不与B重合，故CM＜8），因此CM的取值范围是24/5 ≤ CM ＜8，代入DE=½CM，得12/5 ≤ DE ＜4。
10. 如图,在四边形ABCD中,AB与CD不平行,M,N分别是AD,BC的中点,AB=4,DC =2.对于MN的长,给出了四种猜测:① $MN = 4$；② $MN = 3$；③ $MN = 2$；④ $MN = 1$.猜测正确的是
()
A.①
B.②
C.③
D.④
()
A.①
B.②
C.③
D.④
答案
B
解析
连接BD，取BD中点P，连接PM、PN。由中位线定理得：PM=AB/2=2，PN=CD/2=1。因AB与CD不平行，故P、M、N不共线，根据三角形三边关系：1 ＜ MN ＜ 3。四个猜测中只有MN=2符合，故正确。
11. 已知菱形 $ABCD$ 的边长为 $2, ∠ BAD = 60°$. 第 1 次操作:顺次连接菱形 $ABCD$ 各边的中点,得到四边形 $A_1B_1C_1D_1$;第 2 次操作:顺次连接四边形 $A_1B_1C_1D_1$ 各边的中点,得到四边形 $A_2B_2C_2D_2$ $\dots\dots$如此操作下去,则第 $n$ 次操作后,得到的四边形 $A_nB_nC_nD_n$ 的面积是 ______.
答案
$\frac{\sqrt{3}}{2^{n-1}}$
解析
首先计算菱形ABCD的面积：菱形面积公式为边长²·sin∠BAD，已知边长为2，∠BAD=60°，则原面积=2²×sin60°=4×(√3/2)=2√3。
连接四边形各边中点得到的新四边形，其面积为原四边形面积的$\frac{1}{2}$，因此每次操作后，新四边形的面积是前一次操作后面积的$\frac{1}{2}$。
第1次操作后面积为$2√3×\frac{1}{2}$，第2次操作后面积为$2√3×(\frac{1}{2})^2$，……，第n次操作后，四边形$A_nB_nC_nD_n$的面积为$2√3×(\frac{1}{2})^n=\frac{√3}{2^{n-1}}$。
连接四边形各边中点得到的新四边形，其面积为原四边形面积的$\frac{1}{2}$，因此每次操作后，新四边形的面积是前一次操作后面积的$\frac{1}{2}$。
第1次操作后面积为$2√3×\frac{1}{2}$，第2次操作后面积为$2√3×(\frac{1}{2})^2$，……，第n次操作后，四边形$A_nB_nC_nD_n$的面积为$2√3×(\frac{1}{2})^n=\frac{√3}{2^{n-1}}$。
12. 如图,在$△ ABC$中,$BC=24$,将$△ ABC$绕点$B$逆时针旋转,得到$△ A'BC'$,且$C'A ⊥ BC$,$D$,$E$分别为$BC'$,$AC$的中点,连接$DE$.若$C'A=10$,则$DE$的长为________.
答案
13
解析
根据旋转的性质，△ABC绕点B逆时针旋转得到△A'BC'，故BC'=BC=24。因为D为BC'的中点，所以DC'=12。已知C'A⊥BC，E是AC的中点，通过坐标法计算：设点B为坐标原点，BC在x轴上，则点C坐标为(24,0)，设点A坐标为(a,b)，因C'A⊥BC且C'A=10，故点C'坐标为(a,b+10)。由此可得E（AC中点）坐标为((a+24)/2, b/2)，D（BC'中点）坐标为(a/2, (b+10)/2)。计算DE的长度：$\sqrt{(\frac{a+24}{2}-\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2}-\frac{b+10}{2})^2} = \sqrt{12^2 + (-5)^2} = \sqrt{169}=13$。
13. 如图,在梯形ABCD中,AB//CD,对角线AC与BD交于点K,L为BD的中点.已知△AKB,△ALD的面积分别为18,21,则△ALC的面积为________.
答案
7
解析
设梯形ABCD中AB为上底，CD为下底，AB//CD，L是BD中点，故△ALB与△ALD等底同高，面积相等，即S△ALB = S△ALD =21，因此S△ABD = 21×2=42。由AB//CD，△AKB与△AKD同高，面积比等于底之比，即KB/KD = S△AKB/(S△ABD - S△AKB)=18/(42-18)=3/4。通过坐标法结合各点坐标计算，最终求得△ALC的面积为7。
14. 如图,已知在梯形 $ABCD$ 中,$AD // BC$,
$AB=CD$,$AC$ 是梯形 $ABCD$ 的一条对
角线,$∠ BAC=90°$,将$△ ABC$ 沿 $BC$ 翻
折后得到$△ EBC$,连接 $ED$ 交 $BC$ 于
点 $F$.
(1) 求证:$BC=ED$;
(2) 如果 $ED // AB$,求证:四边形 $ABED$
是等腰梯形.
$AB=CD$,$AC$ 是梯形 $ABCD$ 的一条对
角线,$∠ BAC=90°$,将$△ ABC$ 沿 $BC$ 翻
折后得到$△ EBC$,连接 $ED$ 交 $BC$ 于
点 $F$.
(1) 求证:$BC=ED$;
(2) 如果 $ED // AB$,求证:四边形 $ABED$
是等腰梯形.
答案
(1) BC=ED得证；(2) 四边形ABED是等腰梯形得证。
解析
(1) 证明：∵梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD。由翻折性质得△ABC≌△EBC，∴AC=EC，∴EC=BD。又等腰梯形中∠DBC=∠ACB，翻折后∠ACB=∠ECB，故∠DBC=∠ECB，∴BD//EC，∴四边形BDEC是平行四边形，∴BC=ED。
(2) 证明：由(1)知四边形BDEC是平行四边形，∴BE=CD，又AB=CD，∴BE=AB。∵ED//AB，AD//BC，∴AB//ED，且AD与BE不平行（若AD//BE，则ABED为平行四边形，得AB=ED，结合BC=ED，Rt△ABC中BC为斜边＞直角边AB，矛盾），且AB=BE，∴四边形ABED是等腰梯形。
(2) 证明：由(1)知四边形BDEC是平行四边形，∴BE=CD，又AB=CD，∴BE=AB。∵ED//AB，AD//BC，∴AB//ED，且AD与BE不平行（若AD//BE，则ABED为平行四边形，得AB=ED，结合BC=ED，Rt△ABC中BC为斜边＞直角边AB，矛盾），且AB=BE，∴四边形ABED是等腰梯形。
