登录
1. 如右图, 以 Rt $△ ABC$ 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形, 若斜边 $AB = 3$, 则图中阴影部分的面积为(
A.$\dfrac{9}{4}$
B.$3$
C.$\dfrac{9}{2}$
D.$9$
C
)。A.$\dfrac{9}{4}$
B.$3$
C.$\dfrac{9}{2}$
D.$9$
答案
1.C
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步先推导以长度为a的线段为斜边的等腰直角三角形的面积公式；第二步结合直角三角形的勾股定理，将三个阴影等腰直角三角形的面积和用Rt△ABC的斜边AB表示；第三步代入AB=3的数值计算得到最终结果。
【解析】
设以长度为$a$的线段为斜边的等腰直角三角形面积为$S$，设该等腰直角三角形的直角边长为$x$，根据勾股定理：
$x^2+x^2=a^2$，解得$x^2=\frac{a^2}{2}$，
则该等腰直角三角形面积$S=\frac{1}{2}x^2=\frac{1}{2}×\frac{a^2}{2}=\frac{a^2}{4}$。
已知$△ ABC$是直角三角形，由勾股定理得$AC^2+BC^2=AB^2$。
阴影部分为三个等腰直角三角形的面积和：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ AGC}+S_{△ BFC}+S_{△ AEB}=\frac{AC^2}{4}+\frac{BC^2}{4}+\frac{AB^2}{4}$
将$AC^2+BC^2=AB^2$代入上式：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{AC^2+BC^2+AB^2}{4}=\frac{AB^2+AB^2}{4}=\frac{AB^2}{2}$
代入$AB=3$，得$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{3^2}{2}=\frac{9}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理、等腰直角三角形的面积计算
【点评】
本题结合了勾股定理与等腰直角三角形的面积计算，不需要分别求出三个小阴影三角形的面积，通过勾股定理化简面积表达式即可快速求解，减少了计算量。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步先推导以长度为a的线段为斜边的等腰直角三角形的面积公式；第二步结合直角三角形的勾股定理，将三个阴影等腰直角三角形的面积和用Rt△ABC的斜边AB表示；第三步代入AB=3的数值计算得到最终结果。
【解析】
设以长度为$a$的线段为斜边的等腰直角三角形面积为$S$，设该等腰直角三角形的直角边长为$x$，根据勾股定理：
$x^2+x^2=a^2$，解得$x^2=\frac{a^2}{2}$，
则该等腰直角三角形面积$S=\frac{1}{2}x^2=\frac{1}{2}×\frac{a^2}{2}=\frac{a^2}{4}$。
已知$△ ABC$是直角三角形，由勾股定理得$AC^2+BC^2=AB^2$。
阴影部分为三个等腰直角三角形的面积和：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ AGC}+S_{△ BFC}+S_{△ AEB}=\frac{AC^2}{4}+\frac{BC^2}{4}+\frac{AB^2}{4}$
将$AC^2+BC^2=AB^2$代入上式：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{AC^2+BC^2+AB^2}{4}=\frac{AB^2+AB^2}{4}=\frac{AB^2}{2}$
代入$AB=3$，得$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{3^2}{2}=\frac{9}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理、等腰直角三角形的面积计算
【点评】
本题结合了勾股定理与等腰直角三角形的面积计算，不需要分别求出三个小阴影三角形的面积，通过勾股定理化简面积表达式即可快速求解，减少了计算量。
【难度系数】
0.7
2. 如右图，数轴上的点A表示的数是-1，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC = 2，以点A为圆心，AC长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为(
A.2.8
B.$\sqrt{8}$
C.$\sqrt{8} - 1$
D.$\sqrt{8} + 1$
C
)A.2.8
B.$\sqrt{8}$
C.$\sqrt{8} - 1$
D.$\sqrt{8} + 1$
答案
2.C
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步先计算线段AB的长度，利用数轴上两点的距离等于右边点表示的数减去左边点表示的数即可求出；第二步因为△ABC是直角三角形，可通过勾股定理求出斜边AC的长度，又因为同圆半径相等，所以AD=AC；第三步结合A点表示的数，即可算出D点表示的数。
【解析】
1. 计算AB的长度：点A表示的数是-1，点B表示的数是1，因此$AB=1-(-1)=2$。
2. 求AC的长度：已知$CB⊥ AB$，所以$△ ABC$是直角三角形，$∠ ABC=90°$，且$BC=2$。根据勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}$。
3. 求D点表示的数：因为以A为圆心，AC为半径画弧交数轴于D，所以$AD=AC=\sqrt{8}$。点A表示的数是-1，D在A的右侧，因此D表示的数为$-1+\sqrt{8}=\sqrt{8}-1$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，数轴的应用，圆的基本性质
【点评】
本题是典型的数形结合基础题，将数轴、直角三角形和圆的知识点结合考查，解题的关键是抓住同圆半径相等的性质，先求出AC的长度，再结合数轴上点的位置推导对应数值。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步先计算线段AB的长度，利用数轴上两点的距离等于右边点表示的数减去左边点表示的数即可求出；第二步因为△ABC是直角三角形，可通过勾股定理求出斜边AC的长度，又因为同圆半径相等，所以AD=AC；第三步结合A点表示的数，即可算出D点表示的数。
【解析】
1. 计算AB的长度：点A表示的数是-1，点B表示的数是1，因此$AB=1-(-1)=2$。
2. 求AC的长度：已知$CB⊥ AB$，所以$△ ABC$是直角三角形，$∠ ABC=90°$，且$BC=2$。根据勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}$。
3. 求D点表示的数：因为以A为圆心，AC为半径画弧交数轴于D，所以$AD=AC=\sqrt{8}$。点A表示的数是-1，D在A的右侧，因此D表示的数为$-1+\sqrt{8}=\sqrt{8}-1$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，数轴的应用，圆的基本性质
【点评】
本题是典型的数形结合基础题，将数轴、直角三角形和圆的知识点结合考查，解题的关键是抓住同圆半径相等的性质，先求出AC的长度，再结合数轴上点的位置推导对应数值。
【难度系数】
0.7
3.如右图所示,在$△ ABC$中,$∠ ABC$的平分线交AC于点D,E为线段BD上一动点,F为边AB上一动点,若$AB = 5$,$BD = 4$,$AD = DC = 3$,则$AE + EF$的最小值为(
A.4
B.$\dfrac{24}{5}$
C.5
D.$\dfrac{23}{4}$
B
)A.4
B.$\dfrac{24}{5}$
C.5
D.$\dfrac{23}{4}$
答案
3.B
解析
【分析】
本题是最短路径求最值问题，解题思路如下：首先观察给出的线段长度AD=3、BD=4、AB=5，符合勾股数特征，可先用勾股定理逆定理判断△ABD为直角三角形，得到BD⊥AC；结合AD=DC可知BD是AC的垂直平分线，因此点A和点C关于BD对称，可将AE转化为CE，那么AE+EF就转化为CE+EF。根据“两点之间线段最短”和“垂线段最短”，CE+EF的最小值就是点C到AB边的垂线段长度，最后用面积法计算该垂线段的长度即可。
【解析】
1. 判断△ABD的形状：
已知AD=3，BD=4，AB=5，可得：
$AD^2+BD^2=3^2+4^2=25=5^2=AB^2$
根据勾股定理逆定理，$△ ABD$是直角三角形，$∠ ADB=90°$，即$BD⊥ AC$。
2. 利用垂直平分线转化线段：
$\because AD=DC$且$BD⊥ AC$，$\therefore BD$是AC的垂直平分线，点A与点C关于直线BD对称，因此$AE=CE$，则$AE+EF=CE+EF$。
3. 确定最小值的情况：
要使$CE+EF$最小，当C、E、F三点共线且$CF⊥ AB$时，$CE+EF$取得最小值，最小值为垂线段CF的长度。
4. 面积法计算CF：
$AC=AD+DC=3+3=6$，$△ ABC$的面积为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}×6×4=12$
同时$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CF$，代入AB=5得：
$\frac{1}{2}×5× CF=12$，解得$CF=\frac{24}{5}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理逆定理，轴对称最短路径，面积法求高
【点评】
本题侧重考查转化思想的应用，解题的关键是利用垂直平分线的对称性将两条线段和的最值问题，转化为点到直线的垂线段长度求解，同时结合了勾股定理逆定理和面积法的应用，综合性较强。
【难度系数】
0.6
本题是最短路径求最值问题，解题思路如下：首先观察给出的线段长度AD=3、BD=4、AB=5，符合勾股数特征，可先用勾股定理逆定理判断△ABD为直角三角形，得到BD⊥AC；结合AD=DC可知BD是AC的垂直平分线，因此点A和点C关于BD对称，可将AE转化为CE，那么AE+EF就转化为CE+EF。根据“两点之间线段最短”和“垂线段最短”，CE+EF的最小值就是点C到AB边的垂线段长度，最后用面积法计算该垂线段的长度即可。
【解析】
1. 判断△ABD的形状：
已知AD=3，BD=4，AB=5，可得：
$AD^2+BD^2=3^2+4^2=25=5^2=AB^2$
根据勾股定理逆定理，$△ ABD$是直角三角形，$∠ ADB=90°$，即$BD⊥ AC$。
2. 利用垂直平分线转化线段：
$\because AD=DC$且$BD⊥ AC$，$\therefore BD$是AC的垂直平分线，点A与点C关于直线BD对称，因此$AE=CE$，则$AE+EF=CE+EF$。
3. 确定最小值的情况：
要使$CE+EF$最小，当C、E、F三点共线且$CF⊥ AB$时，$CE+EF$取得最小值，最小值为垂线段CF的长度。
4. 面积法计算CF：
$AC=AD+DC=3+3=6$，$△ ABC$的面积为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}×6×4=12$
同时$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CF$，代入AB=5得：
$\frac{1}{2}×5× CF=12$，解得$CF=\frac{24}{5}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理逆定理，轴对称最短路径，面积法求高
【点评】
本题侧重考查转化思想的应用，解题的关键是利用垂直平分线的对称性将两条线段和的最值问题，转化为点到直线的垂线段长度求解，同时结合了勾股定理逆定理和面积法的应用，综合性较强。
【难度系数】
0.6
1.如右图,一艘快艇计划从P地航行到距离P地16海里的B地,它先沿北偏西$50°$方向航行12海里到达A地接人,再从A地航行20海里到达B地,此时快艇位于P地的
北偏东40°
方向上。答案
1.北偏东40°
解析
【分析】
解题时首先观察题目给出的三条线段长度，可先利用勾股定理的逆定理判断△PAB的形状，确定∠APB的度数；再结合已知的PA相对于P地的方向角，计算PB与正北方向的夹角，即可得到B地相对于P地的方向。
【解析】
已知PA=12海里，PB=16海里，AB=20海里：
1. 先计算边长平方：
$PA^2 + PB^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$，$AB^2 = 20^2 = 400$
可得$PA^2 + PB^2 = AB^2$，根据勾股定理的逆定理，△PAB是直角三角形，且$∠ APB = 90°$。
2. 再结合方向角计算：
已知PA在P地的北偏西$50°$方向，即正北方向与PA的夹角为$50°$，那么正北方向与PB的夹角为$∠ APB - 50° = 90° - 50° = 40°$，且PB在正北方向的东侧。
【答案】
北偏东40°
【知识点】
勾股定理的逆定理；方向角
【点评】
本题是方向角与勾股定理逆定理结合的基础应用题，解题的核心是先通过边长关系判断直角，再结合已知方向角推导所求方向，解题思路清晰，侧重对基础定理应用的考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察题目给出的三条线段长度，可先利用勾股定理的逆定理判断△PAB的形状，确定∠APB的度数；再结合已知的PA相对于P地的方向角，计算PB与正北方向的夹角，即可得到B地相对于P地的方向。
【解析】
已知PA=12海里，PB=16海里，AB=20海里：
1. 先计算边长平方：
$PA^2 + PB^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$，$AB^2 = 20^2 = 400$
可得$PA^2 + PB^2 = AB^2$，根据勾股定理的逆定理，△PAB是直角三角形，且$∠ APB = 90°$。
2. 再结合方向角计算：
已知PA在P地的北偏西$50°$方向，即正北方向与PA的夹角为$50°$，那么正北方向与PB的夹角为$∠ APB - 50° = 90° - 50° = 40°$，且PB在正北方向的东侧。
【答案】
北偏东40°
【知识点】
勾股定理的逆定理；方向角
【点评】
本题是方向角与勾股定理逆定理结合的基础应用题，解题的核心是先通过边长关系判断直角，再结合已知方向角推导所求方向，解题思路清晰，侧重对基础定理应用的考查。
【难度系数】
0.7
2.尧都华表柱身雕祥云腾龙，顶端蹲立望天吼，底座即有长城和黄河壶口瀑布浮雕，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志。如下页图所示，在底面周长约为6米且带有层层回环的云朵石柱上，有一条雕龙从
柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方(从点A到点C，B为AC的中点)，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16 m，则雕刻在石柱上的巨龙至少为
柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方(从点A到点C，B为AC的中点)，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16 m，则雕刻在石柱上的巨龙至少为
20
m。答案
2.20
解析
【分析】
求解圆柱表面盘绕物体的最短长度，属于曲面最短路径问题，需先将圆柱侧面展开为平面，利用“两点之间线段最短”把路径转化为直角三角形的斜边，再结合勾股定理计算。首先明确：雕龙盘绕2圈，展开后水平方向总长度为2倍底面周长，竖直方向总长度为柱身高度，即可构造直角三角形求斜边长度。
【解析】
将圆柱侧面沿高展开，雕龙均匀盘绕2圈，因此展开后路径对应的水平总长度为：$2×6=12\ \mathrm{m}$，竖直方向总长度为柱身高$16\ \mathrm{m}$。
根据两点之间线段最短，雕龙的最短长度为展开后直角三角形的斜边长度，由勾股定理可得：
总长度$=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20\ \mathrm{m}$。
【答案】
20
【知识点】
圆柱侧面展开图，勾股定理，最短路径计算
【点评】
本题结合生活中的建筑场景考查数学知识的应用，核心是掌握曲面问题平面化的转化思想，解题关键是找准盘绕圈数与展开后水平边长的对应关系，再用勾股定理求解即可。
【难度系数】
0.7
求解圆柱表面盘绕物体的最短长度，属于曲面最短路径问题，需先将圆柱侧面展开为平面，利用“两点之间线段最短”把路径转化为直角三角形的斜边，再结合勾股定理计算。首先明确：雕龙盘绕2圈，展开后水平方向总长度为2倍底面周长，竖直方向总长度为柱身高度，即可构造直角三角形求斜边长度。
【解析】
将圆柱侧面沿高展开，雕龙均匀盘绕2圈，因此展开后路径对应的水平总长度为：$2×6=12\ \mathrm{m}$，竖直方向总长度为柱身高$16\ \mathrm{m}$。
根据两点之间线段最短，雕龙的最短长度为展开后直角三角形的斜边长度，由勾股定理可得：
总长度$=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20\ \mathrm{m}$。
【答案】
20
【知识点】
圆柱侧面展开图，勾股定理，最短路径计算
【点评】
本题结合生活中的建筑场景考查数学知识的应用，核心是掌握曲面问题平面化的转化思想，解题关键是找准盘绕圈数与展开后水平边长的对应关系，再用勾股定理求解即可。
【难度系数】
0.7
