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1. 先化简,再求值:$\frac{x}{x^2 - 1} ÷ (1 + \frac{1}{x - 1})$,其中 $x = \frac{1}{2}\sqrt{32} - 3\sqrt{\frac{1}{2}} - (π - 3)^0$。
答案
1. $\frac{1}{x + 1}$，$\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题为分式化简求值综合题，解题可分为两步：第一步先化简分式，遵循分式运算顺序，先计算括号内的加法，再将除法转化为乘法，通过因式分解、约分化为最简分式，能大幅降低后续计算量；第二步计算x的取值，分别化简二次根式、计算零指数幂，合并同类二次根式得到x的值，最后代入最简分式计算结果即可。
【解析】
步骤1：化简分式
先对分母因式分解，再计算括号内的加法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{x}{(x+1)(x-1)} ÷ ( \frac{x-1}{x-1} + \frac{1}{x-1} ) \\&=\frac{x}{(x+1)(x-1)} ÷ \frac{x}{x-1}\end{aligned}$
将除法转化为乘法，约分后得到最简分式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{x}{(x+1)(x-1)} × \frac{x-1}{x} \\&=\frac{1}{x+1}\end{aligned}$
步骤2：计算x的值
根据二次根式化简规则、零指数幂性质（非零数的0次幂为1）计算：
$\begin{aligned}x&=\frac{1}{2}\sqrt{32} - 3\sqrt{\frac{1}{2}} - (π -3)^0 \\&=\frac{1}{2} × 4\sqrt{2} - 3 × \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \\&=2\sqrt{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2} -1 \\&=\frac{\sqrt{2}}{2} - 1\end{aligned}$
步骤3：代入求值
将$x=\frac{\sqrt{2}}{2} - 1$代入$\frac{1}{x+1}$：
$\frac{1}{x+1} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2} -1 +1} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2}$
【答案】
化简结果为$\frac{1}{x+1}$，求值结果为$\sqrt{2}$
【知识点】
分式化简，二次根式运算，零指数幂运算
【点评】
本题考察代数运算的基本功，需熟练掌握分式运算顺序、因式分解、二次根式化简、零指数幂的运算规则，运算时注意约分的前提是分母不为0，二次根式需先化为最简形式再合并。
【难度系数】
0.7
本题为分式化简求值综合题，解题可分为两步：第一步先化简分式，遵循分式运算顺序，先计算括号内的加法，再将除法转化为乘法，通过因式分解、约分化为最简分式，能大幅降低后续计算量；第二步计算x的取值，分别化简二次根式、计算零指数幂，合并同类二次根式得到x的值，最后代入最简分式计算结果即可。
【解析】
步骤1：化简分式
先对分母因式分解，再计算括号内的加法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{x}{(x+1)(x-1)} ÷ ( \frac{x-1}{x-1} + \frac{1}{x-1} ) \\&=\frac{x}{(x+1)(x-1)} ÷ \frac{x}{x-1}\end{aligned}$
将除法转化为乘法，约分后得到最简分式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{x}{(x+1)(x-1)} × \frac{x-1}{x} \\&=\frac{1}{x+1}\end{aligned}$
步骤2：计算x的值
根据二次根式化简规则、零指数幂性质（非零数的0次幂为1）计算：
$\begin{aligned}x&=\frac{1}{2}\sqrt{32} - 3\sqrt{\frac{1}{2}} - (π -3)^0 \\&=\frac{1}{2} × 4\sqrt{2} - 3 × \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \\&=2\sqrt{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2} -1 \\&=\frac{\sqrt{2}}{2} - 1\end{aligned}$
步骤3：代入求值
将$x=\frac{\sqrt{2}}{2} - 1$代入$\frac{1}{x+1}$：
$\frac{1}{x+1} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2} -1 +1} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2}$
【答案】
化简结果为$\frac{1}{x+1}$，求值结果为$\sqrt{2}$
【知识点】
分式化简，二次根式运算，零指数幂运算
【点评】
本题考察代数运算的基本功，需熟练掌握分式运算顺序、因式分解、二次根式化简、零指数幂的运算规则，运算时注意约分的前提是分母不为0，二次根式需先化为最简形式再合并。
【难度系数】
0.7
2.如果最简二次根式$\sqrt{4a -5}$与$\sqrt{13 -2a}$可以合并。
(1)求出$a$的值；
(2)若$a≤ x≤2a$，化简：$|x -2| + \sqrt{x^2 -12x +36}$。
(1)求出$a$的值；
(2)若$a≤ x≤2a$，化简：$|x -2| + \sqrt{x^2 -12x +36}$。
答案
2. (1) $a = 3$。
(2)4。
(2)4。
解析
【分析】
（1）解决第一问的核心是明确：可合并的最简二次根式的被开方数相等，据此列关于a的一元一次方程求解即可。
（2）解决第二问先代入a的值得到x的取值范围，再将根号内的多项式变形为完全平方形式，结合二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$转化为绝对值化简问题，最后根据x的范围去绝对值合并即可。
【解析】
(1) 因为最简二次根式$\sqrt{4a -5}$与$\sqrt{13 -2a}$可以合并，所以二者的被开方数相等，可列方程：
$\begin{aligned}4a - 5 &= 13 - 2a \\4a + 2a &= 13 + 5 \\6a &= 18 \\a &= 3\end{aligned}$
(2) 将$a=3$代入$a≤ x≤2a$，可得$3 ≤ x ≤ 6$。
先对二次根式变形：$\sqrt{x^2 -12x +36}=\sqrt{(x-6)^2}=|x-6|$，因此原式可化为$|x - 2| + |x - 6|$。
因为$3 ≤ x ≤ 6$，所以$x-2＞0$，$x-6≤0$，去绝对值得：
$\begin{aligned}原式&=(x-2)+(6-x) \\&=x-2+6-x \\&=4\end{aligned}$
【答案】
(1) $a=3$；(2) $4$
【知识点】
同类二次根式；二次根式化简；绝对值化简
【点评】
本题属于二次根式的基础常考题，解题关键是牢记可合并最简二次根式的特征，以及去绝对值时要先判断代数式的正负性。
【难度系数】
0.8
（1）解决第一问的核心是明确：可合并的最简二次根式的被开方数相等，据此列关于a的一元一次方程求解即可。
（2）解决第二问先代入a的值得到x的取值范围，再将根号内的多项式变形为完全平方形式，结合二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$转化为绝对值化简问题，最后根据x的范围去绝对值合并即可。
【解析】
(1) 因为最简二次根式$\sqrt{4a -5}$与$\sqrt{13 -2a}$可以合并，所以二者的被开方数相等，可列方程：
$\begin{aligned}4a - 5 &= 13 - 2a \\4a + 2a &= 13 + 5 \\6a &= 18 \\a &= 3\end{aligned}$
(2) 将$a=3$代入$a≤ x≤2a$，可得$3 ≤ x ≤ 6$。
先对二次根式变形：$\sqrt{x^2 -12x +36}=\sqrt{(x-6)^2}=|x-6|$，因此原式可化为$|x - 2| + |x - 6|$。
因为$3 ≤ x ≤ 6$，所以$x-2＞0$，$x-6≤0$，去绝对值得：
$\begin{aligned}原式&=(x-2)+(6-x) \\&=x-2+6-x \\&=4\end{aligned}$
【答案】
(1) $a=3$；(2) $4$
【知识点】
同类二次根式；二次根式化简；绝对值化简
【点评】
本题属于二次根式的基础常考题，解题关键是牢记可合并最简二次根式的特征，以及去绝对值时要先判断代数式的正负性。
【难度系数】
0.8
四、综合实践活动
现有一组有规律排列的数：1，-1，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$，1，-1，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$…
其中，1，-1，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$这六个数按此规律重复出现，问：
（1）第50个数是什么数？
（2）把从第1个数开始的前2017个数相加，结果是多少？
（3）从第1个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为520，则共有多少个数的平方相加？
现有一组有规律排列的数：1，-1，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$，1，-1，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$…
其中，1，-1，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$这六个数按此规律重复出现，问：
（1）第50个数是什么数？
（2）把从第1个数开始的前2017个数相加，结果是多少？
（3）从第1个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为520，则共有多少个数的平方相加？
答案
(1)第 50 个数是 - 1 。
(2)1。
(3)261 个。
(2)1。
(3)261 个。
解析
【分析】
本题是数字周期规律类问题，解题核心是先确定数列的周期为6，再结合不同问题的要求分步求解：
1. 求第n个数：用n除以周期6，根据余数判断对应周期内的数即可，余数为0对应周期最后一个数，余数为k（1≤k≤6）对应周期第k个数；
2. 求前m个数的和：先计算1个完整周期的和，再算m中有多少个完整周期、余下几个数，总和=完整周期数×单周期和 + 余下数的和；
3. 求平方和为520的数的个数：先计算1个完整周期的平方和，再算520中包含多少个完整周期的平方和，余下的和对应前几个数的平方和，总个数=完整周期数×6 + 余下数的个数。
【解析】
由题意可知，数列以“1，-1，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$”6个数为一个周期循环出现。
（1）计算50除以6的商和余数：
$50÷6=8······2$，即50个数包含8个完整周期，余2个数，对应周期内第2个数为$-1$。
（2）先计算1个周期的和：
$1+(-1)+\sqrt{2}+(-\sqrt{2})+\sqrt{3}+(-\sqrt{3})=0$
再计算2017除以6的商和余数：
$2017÷6=336······1$，即2017个数包含336个完整周期，余1个数（对应周期第1个数1）
前2017个数的和为：$336×0 +1=1$
（3）先计算1个周期的平方和：
$1^2+(-1)^2+(\sqrt{2})^2+(-\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2+(-\sqrt{3})^2=1+1+2+2+3+3=12$
计算520包含多少个完整周期的平方和：
$520÷12=43······4$，即43个完整周期的平方和为$43×12=516$，剩余差为$520-516=4$
再计算前几个数的平方和为4：$1^2+(-1)^2+(\sqrt{2})^2=1+1+2=4$，对应3个数
总个数为：$43×6 +3=261$
【答案】
（1）$-1$；（2）$1$；（3）$261$个
【知识点】
数字规律探究，二次根式运算，有理数混合运算
【点评】
本题考查周期性数字规律的应用，解题的关键是先找准循环周期，再结合余数对应求解问题，计算时注意二次根式平方的化简，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
本题是数字周期规律类问题，解题核心是先确定数列的周期为6，再结合不同问题的要求分步求解：
1. 求第n个数：用n除以周期6，根据余数判断对应周期内的数即可，余数为0对应周期最后一个数，余数为k（1≤k≤6）对应周期第k个数；
2. 求前m个数的和：先计算1个完整周期的和，再算m中有多少个完整周期、余下几个数，总和=完整周期数×单周期和 + 余下数的和；
3. 求平方和为520的数的个数：先计算1个完整周期的平方和，再算520中包含多少个完整周期的平方和，余下的和对应前几个数的平方和，总个数=完整周期数×6 + 余下数的个数。
【解析】
由题意可知，数列以“1，-1，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$”6个数为一个周期循环出现。
（1）计算50除以6的商和余数：
$50÷6=8······2$，即50个数包含8个完整周期，余2个数，对应周期内第2个数为$-1$。
（2）先计算1个周期的和：
$1+(-1)+\sqrt{2}+(-\sqrt{2})+\sqrt{3}+(-\sqrt{3})=0$
再计算2017除以6的商和余数：
$2017÷6=336······1$，即2017个数包含336个完整周期，余1个数（对应周期第1个数1）
前2017个数的和为：$336×0 +1=1$
（3）先计算1个周期的平方和：
$1^2+(-1)^2+(\sqrt{2})^2+(-\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2+(-\sqrt{3})^2=1+1+2+2+3+3=12$
计算520包含多少个完整周期的平方和：
$520÷12=43······4$，即43个完整周期的平方和为$43×12=516$，剩余差为$520-516=4$
再计算前几个数的平方和为4：$1^2+(-1)^2+(\sqrt{2})^2=1+1+2=4$，对应3个数
总个数为：$43×6 +3=261$
【答案】
（1）$-1$；（2）$1$；（3）$261$个
【知识点】
数字规律探究，二次根式运算，有理数混合运算
【点评】
本题考查周期性数字规律的应用，解题的关键是先找准循环周期，再结合余数对应求解问题，计算时注意二次根式平方的化简，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
