1. 下列式子一定是二次根式的是()。

A.$\sqrt{-x - 2}$
B.$\sqrt{x}$
C.$\sqrt{x^2 + 2}$
D.$\sqrt{x^2 - 2}$

1.C

【分析】
要判断式子是否为二次根式，需依据二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子叫做二次根式，判定核心是被开方数必须恒为非负数（即无论$x$取任意实数，被开方数都大于等于0）。接下来我们只需逐个分析每个选项的被开方数是否满足恒非负即可，分析过程可结合平方的非负性（任意实数的平方都$≥0$）推导。
【解析】
根据二次根式的定义，二次根式的被开方数必须为非负数，逐一分析选项：
A. 被开方数为$-x-2$，当$x=0$时，$-x-2=-2＜0$，此时式子无意义，不属于二次根式；
B. 被开方数为$x$，当$x＜0$时，被开方数为负数，式子无意义，不属于二次根式；
C. 被开方数为$x^2+2$，对任意实数$x$都有$x^2≥0$，因此$x^2+2≥2＞0$，被开方数恒为正，该式子一定是二次根式；
D. 被开方数为$x^2-2$，当$x=0$时，$x^2-2=-2＜0$，此时式子无意义，不属于二次根式。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的定义；平方的非负性
【点评】
本题属于二次根式判定的基础题型，解题关键是牢记二次根式的被开方数必须为非负数，结合平方的非负性即可快速推导得出结论。
【难度系数】
0.8

2.矩形的两边长分别为$\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，$\sqrt{8}\ \mathrm{cm}$。这个矩形的周长是()。

A.$3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
B.$4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
C.$6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
D.$8\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$

2.C

【分析】
要计算矩形的周长，首先回忆矩形周长公式：矩形周长=2×(长+宽)。解题步骤分为三步：第一步先将题目中不是最简二次根式的边长化简，第二步将两个边长相加得到邻边和，第三步将邻边和乘2得到周长，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
矩形的周长公式为$ C = 2(a + b) $，其中$ a、b $为矩形相邻两边的长度。
已知矩形两边长分别为$ \sqrt{2}\ \mathrm{cm} $和$ \sqrt{8}\ \mathrm{cm} $，先化简非最简二次根式：$ \sqrt{8} = \sqrt{4×2}=2\sqrt{2}\ \mathrm{cm} $。
代入周长公式计算：
$ C = 2×(\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) = 2×3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\ \mathrm{cm} $。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形周长计算，二次根式化简，二次根式运算
【点评】
本题属于基础题型，将几何周长计算和二次根式运算结合考查，解题关键是先将二次根式化为最简形式后再进行合并运算，避免计算出错。
【难度系数】
0.8

3.设$x=\dfrac{4}{\sqrt{5}+3}$，$y=\sqrt{5}-3$，则$x,y$的大小关系是()。

A.$x＞y$
B.$x≥ y$
C.$x＜y$
D.$x=y$

3.A

【分析】
要比较x与y的大小，首先x的分母含有二次根式，需先通过分母有理化将x化简为最简形式，再判断化简后x和y的正负性，即可快速得出两者的大小关系。分母有理化时，针对分母为$\sqrt{5}+3$的结构，可利用平方差公式，分子分母同乘$3-\sqrt{5}$消去分母的根号。
【解析】
第一步：对x进行分母有理化
$\begin{aligned}x&=\frac{4}{\sqrt{5}+3}\\&=\frac{4×(3-\sqrt{5})}{(\sqrt{5}+3)(3-\sqrt{5})}\end{aligned}$
第二步：利用平方差公式计算分母
$(\sqrt{5}+3)(3-\sqrt{5})=3^2-(\sqrt{5})^2=9-5=4$
第三步：化简x
$x=\frac{4×(3-\sqrt{5})}{4}=3-\sqrt{5}$
第四步：比较x和y的大小
已知$y=\sqrt{5}-3=-(3-\sqrt{5})$，因为$\sqrt{5}\approx2.236＜3$，所以$3-\sqrt{5}＞0$，即$x＞0$，$y=-(3-\sqrt{5})＜0$，正数大于负数，因此$x＞y$。
【答案】
A
【知识点】
分母有理化，实数大小比较，平方差公式
【点评】
本题核心是二次根式的化简和实数大小比较，掌握分母有理化的方法是解题的关键，通过判断正负性比较大小是非常简便的技巧。
【难度系数】
0.8

4. 已知$a + \frac{1}{a} = \sqrt{7}$，则$a - \frac{1}{a} = (\quad)$。

A.$\sqrt{3}$
B.$-\sqrt{3}$
C.$\pm\sqrt{3}$
D.$\pm\sqrt{11}$

4.C

【分析】
观察已知条件和所求代数式的结构，二者均为a与1/a的和或差，可通过完全平方公式建立二者的联系。解题思路如下：①先将已知等式两边平方，求出$a^2 + \frac{1}{a^2}$的值；②再利用完全平方公式求出$(a - \frac{1}{a})^2$的值；③最后对结果开平方，注意正数的平方根有正负两个，不要漏解。
【解析】
1. 对已知等式$a + \frac{1}{a} = \sqrt{7}$两边同时平方，得：
$(a + \frac{1}{a})^2 = (\sqrt{7})^2$
根据完全平方公式展开左边：$a^2 + 2· a· \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = 7$
化简得：$a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 7$，因此$a^2 + \frac{1}{a^2} = 7 - 2 = 5$。
2. 计算$(a - \frac{1}{a})^2$，根据完全平方公式展开：
$(a - \frac{1}{a})^2 = a^2 - 2· a· \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = a^2 + \frac{1}{a^2} - 2$
将$a^2 + \frac{1}{a^2}=5$代入上式，得：$(a - \frac{1}{a})^2 = 5 - 2 = 3$。
3. 对$(a - \frac{1}{a})^2 = 3$开平方，可得$a - \frac{1}{a} = \pm\sqrt{3}$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式；平方根的性质；代数式求值
【点评】
本题考查完全平方公式的变形应用，解题的核心是掌握$(a+b)^2$与$(a-b)^2$之间的转换关系，易错点是开平方时忽略负数根，导致漏解。
【难度系数】
0.7

5. 若$a ≥ 1$，直角三角形三边分别为$2a$，$a + 3$，$\sqrt{5}a + \sqrt{5}$，则该三角形的面积为()。

A.$\sqrt{5}$
B.$4$
C.$2\sqrt{5}$
D.$8$

5.B

【分析】
本题考查勾股定理的应用，解题思路如下：首先明确直角三角形中斜边是最长边，结合$a≥1$的条件先判断出三边中的最长边作为斜边；再根据勾股定理“两直角边的平方和等于斜边的平方”列方程求出$a$的取值；最后代入得到两条直角边的长度，用直角三角形面积公式计算结果即可。
【解析】
直角三角形中斜边为最长边，由于三边均为正数，可通过比较平方大小判断最长边：
$(2a)^2=4a^2$，$(a+3)^2=a^2+6a+9$，$(\sqrt{5}a+\sqrt{5})^2=5(a+1)^2=5a^2+10a+5$
当$a≥1$时，$5a^2+10a+5$为最大的平方，因此$\sqrt{5}a+\sqrt{5}$为斜边，$2a$和$a+3$为直角边。
根据勾股定理列方程：
$(2a)^2 + (a+3)^2 = (\sqrt{5}a+\sqrt{5})^2$
展开得：
$4a^2 + a^2 + 6a + 9 = 5a^2 + 10a + 5$
合并同类项后移项化简：
$4a=4$
解得$a=1$，符合$a≥1$的条件。
代入得两条直角边长为$2a=2$，$a+3=4$，则三角形面积为：
$S=\frac{1}{2}×2×4=4$
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；直角三角形面积计算；一元一次方程求解
【点评】
本题的解题关键是先正确判断斜边，避免盲目假设斜边导致计算错误，求出参数后要注意验证是否符合题干给出的取值范围，是勾股定理的基础应用类题型。
【难度系数】
0.65

1.若$a=1+\sqrt{2}$，$b=1-\sqrt{2}$，则代数式$\sqrt{a^2 + b^2 - 3ab}$的值为。

1.3

【分析】
本题可通过乘法公式对根号内的代数式进行变形，避免直接代入a、b数值带来的复杂计算。首先回忆完全平方公式的变形：$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，因此可先计算出$a+b$与$ab$的值，再整体代入变形后的式子计算，最后化简二次根式即可得到结果。
【解析】
解：已知$a=1+\sqrt{2}$，$b=1-\sqrt{2}$，
先计算$a+b$和$ab$的值：
$a+b=(1+\sqrt{2})+(1-\sqrt{2})=2$，
根据平方差公式计算$ab$：$ab=(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})=1^2 - (\sqrt{2})^2=1-2=-1$，
对根号内的式子变形：
$a^2 + b^2 - 3ab=(a+b)^2 - 2ab - 3ab=(a+b)^2 - 5ab$，
将$a+b=2$，$ab=-1$代入得：
$\sqrt{a^2 + b^2 - 3ab}=\sqrt{2^2 - 5×(-1)}=\sqrt{4 + 5}=\sqrt{9}=3$。
【答案】
3
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，二次根式化简
【点评】
本题解题关键是熟练运用乘法公式对所求代数式进行变形，采用整体代入的思想简化计算，能有效提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.7

2.若$\sqrt{3}$的整数部分为$x$,小数部分为$y$,则$\sqrt{3}x - y$的值是。

2.1

【分析】
解题时首先要明确无理数整数部分和小数部分的确定逻辑：先估算出无理数介于哪两个相邻整数之间，其中较小的整数就是这个无理数的整数部分，无理数减去它的整数部分得到的差就是小数部分。得到x、y的具体值后，代入待求代数式按照二次根式的运算规则计算即可得到结果。
【解析】
1. 估算$\sqrt{3}$的取值范围
因为$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜3＜4$，所以$1＜\sqrt{3}＜2$。
2. 确定x、y的值
$\sqrt{3}$的整数部分$x=1$；
小数部分$y=\sqrt{3}-x=\sqrt{3}-1$。
3. 代入代数式计算
将$x=1$，$y=\sqrt{3}-1$代入$\sqrt{3}x - y$：
$\begin{aligned}\sqrt{3}x - y&=\sqrt{3}×1 - (\sqrt{3}-1)\\&=\sqrt{3}-\sqrt{3}+1\\&=1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
无理数的估算；二次根式的加减运算
【点评】
本题重点考查无理数相关基础概念的应用，解题的核心是正确区分无理数的整数部分和小数部分，计算时注意去括号的符号变化规则，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8

3.若$3,m,5$为三角形的三边长,则化简$\sqrt{(2 - m)^2} - \sqrt{(m - 8)^2}$的结果为。

3.$2m - 10$

【分析】
要化简这个含二次根式的式子，需分两步思考：第一步，先根据三角形三边关系确定m的取值范围；第二步，利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$将原式转化为绝对值的形式，再结合m的范围判断绝对值内式子的正负，去绝对值后化简计算即可得到结果。
【解析】
1. 求m的取值范围：
根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，可得：
$5-3 ＜ m ＜ 5+3$，即$2 ＜ m ＜ 8$。
2. 利用二次根式性质转化原式：
由$\sqrt{a^2}=|a|$，得原式$=|2-m|-|m-8|$。
3. 去绝对值化简：
$\because 2 ＜ m ＜ 8$，
$\therefore 2-m ＜ 0$，$m-8 ＜ 0$，
$\therefore |2-m|=m-2$，$|m-8|=8-m$。
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(m-2)-(8-m)\\&=m-2-8+m\\&=2m-10\end{aligned}$
【答案】
$2m-10$
【知识点】
三角形三边关系；二次根式的性质；绝对值化简
【点评】
本题是三角形性质与二次根式化简的综合基础题，解题的核心是先准确得到m的取值范围，去绝对值时要注意根据绝对值内式子的正负正确变形，避免符号错误。
【难度系数】
0.7

4.已知a，b是实数，且$(\sqrt{1+a^2} + a)(\sqrt{1+b^2} + b) = 1$，问a，b之间有怎样的关系：。

4.$a = -b$

【分析】
首先观察等式中两个因式的结构，均为$\sqrt{1+x^2}+x$的形式，结合八年级所学的平方差公式和二次根式有理化知识，可知这类式子和它的有理化因式$\sqrt{1+x^2}-x$相乘的结果为1。我们可以通过给原等式两边分别乘两个因式的有理化因式，消去根号得到两个新的等式，再将两个等式相加消去剩余的根号，整理后即可得到a、b的关系。
【解析】
已知$(\sqrt{1+a^2} + a)(\sqrt{1+b^2} + b) = 1$，
根据平方差公式可得：$(\sqrt{1+a^2} + a)(\sqrt{1+a^2} - a) = (\sqrt{1+a^2})^2 - a^2 = 1+a^2 -a^2=1$，
给原等式两边同时乘$(\sqrt{1+a^2} - a)$，左边化简得$\sqrt{1+b^2} + b$，右边为$\sqrt{1+a^2} - a$，即：
$\sqrt{1+b^2} + b = \sqrt{1+a^2} - a$ ①
同理可得$(\sqrt{1+b^2} + b)(\sqrt{1+b^2} - b) = 1$，给原等式两边同时乘$(\sqrt{1+b^2} - b)$，左边化简得$\sqrt{1+a^2} + a$，右边为$\sqrt{1+b^2} - b$，即：
$\sqrt{1+a^2} + a = \sqrt{1+b^2} - b$ ②
将①和②左右两边分别相加：
$\sqrt{1+b^2} + b + \sqrt{1+a^2} + a = \sqrt{1+a^2} - a + \sqrt{1+b^2} - b$
消去两边相同的$\sqrt{1+a^2}$和$\sqrt{1+b^2}$，得：
$a+b = -a -b$
移项合并同类项得$2a+2b=0$，即$a+b=0$，所以$a=-b$。
【答案】
$a=-b$
【知识点】
二次根式有理化、平方差公式、等式的性质
【点评】
本题核心是抓住式子的结构特征，灵活运用平方差公式对二次根式做有理化处理，消去根号后即可快速推导变量关系，需要熟练掌握二次根式和整式运算的相关技巧。
【难度系数】
0.6