三、解答题
1. 先化简,再求值: $1 + \dfrac{x^2 - y^2}{x^2 - 2xy + y^2}$ ,其中 $x = 1$ , $y = 3$ 。

1.原式化简 = $\frac{2x}{x - y}$。原式 = -1

【分析】
本题属于分式化简求值题，解题可按以下思路逐步推导：第一步先处理式子中的分式部分，分子是平方差结构，可运用平方差公式因式分解，分母是完全平方结构，用完全平方公式因式分解；第二步对因式分解后的分式进行约分，简化分式；第三步将整数1通分，与约分后的分式合并为最简分式；最后将x、y的取值代入最简分式计算结果，计算时注意符号运算即可。
【解析】
解：先化简原式
$\begin{aligned}1 + \dfrac{x^2 - y^2}{x^2 - 2xy + y^2} &= 1 + \dfrac{(x+y)(x-y)}{(x-y)^2} \quad \mathrm{（利用乘法公式对分子分母因式分解）}\\&= 1 + \dfrac{x+y}{x-y} \quad \mathrm{（约去公因式$x-y$，此处$x≠ y$）}\\&= \dfrac{x-y}{x-y} + \dfrac{x+y}{x-y} \quad \mathrm{（将1通分为分母为$x-y$的分式）}\\&= \dfrac{x-y + x + y}{x-y} \\&= \dfrac{2x}{x-y}\end{aligned}$
将$x=1$，$y=3$代入化简后的式子：
原式$=\dfrac{2×1}{1-3}=\dfrac{2}{-2}=-1$
【答案】
化简结果为$\dfrac{2x}{x-y}$，求值结果为$-1$
【知识点】
分式化简求值，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题是分式运算的常规基础题，核心考查因式分解在分式运算中的应用，解题时需注意因式分解要准确，约分和通分遵循分式的基本性质，代入数值计算时要留意符号避免出错。
【难度系数】
0.8

2. 供电局的电力维修工人要到30 km外的郊区进行电力抢修，维修工人骑摩托车先从供电局出发，15 min后，抢修车装载着所有的材料出发，沿着与维修工人相同的路线行驶，结果他们同时到达，已知抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度。

2.摩托车的速度是40 km/h。

【分析】
这是行程类应用题，核心公式为路程=速度×时间。解题思路如下：首先明确两车行驶路程均为30km，已知抢修车速度是摩托车的1.5倍，且摩托车比抢修车多行驶15分钟后同时到达，因此可围绕两车的时间差列方程求解。第一步要统一单位，将15分钟换算为小时避免单位混乱；第二步设摩托车速度为未知数，即可表示出抢修车的速度；第三步根据“摩托车行驶总时间-抢修车行驶总时间=15分钟（换算为小时）”的等量关系列分式方程；最后解方程并检验根是否符合实际意义即可。
【解析】
解：设摩托车的速度为$x$ km/h，则抢修车的速度为$1.5x$ km/h，
先统一单位：$15\mathrm{min}=\frac{15}{60}\mathrm{h}=\frac{1}{4}\mathrm{h}$，
根据两车的时间差列方程：
$\frac{30}{x} - \frac{30}{1.5x} = \frac{1}{4}$
化简方程左边：$\frac{30}{x}-\frac{20}{x}=\frac{10}{x}$，
可得：$\frac{10}{x}=\frac{1}{4}$，
解得：$x=40$。
检验：当$x=40$时，分母$x=40≠0$，$1.5x=60≠0$，因此$x=40$是原方程的解，且符合实际行驶速度的要求。
【答案】
摩托车的速度是40 km/h。
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 行程问题公式
3. 分式方程的检验
【点评】
本题是常规的分式方程应用题，解题关键是找准两车的时间差作为等量关系列方程，需要注意提前统一单位，解完分式方程后必须检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7

四、综合实践活动
在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,直线$ l_1:y = -x + b $（b为常数）与直线$ l_2:y = x $交点的横坐标为1,点P在直线$ l_1 $上,点Q在直线$ l_2 $上,且$ PQ // x $轴,设点P的横坐标为$ m(m ≠ 1) $。
(1)求直线$ l_1 $对应的函数表达式;
(2)当$ m = -1 $时,点Q的坐标为,线段PQ的长度为;
(3)以PQ为边作矩形PQMN,使$ PN = QM = 2 $,且点M,N在直线PQ的下方。
①当四边形PQMN是正方形时,求m的值;
②当矩形PQMN被直线$ l_1 $分成的两部分的面积比为1:2时,直接写出m的值。

(1) $y = -x + 2$。
(2) (3,3) 4
(3) ① $m = 2$ 或0。 ② $m$ 的值为 $-\frac{1}{2}$ 或 $\frac{1}{3}$。

【分析】
(1) 已知两直线交点横坐标为1，先代入$l_2$的解析式求出交点坐标，再将交点坐标代入$l_1$的解析式即可求出参数$b$，得到$l_1$的函数表达式。
(2) 先将$m=-1$代入$l_1$解析式得到点$P$坐标，根据$PQ// x$轴可知$Q$点纵坐标与$P$相同，代入$l_2$解析式得到$Q$点坐标，线段$PQ$的长度为两点横坐标差的绝对值。
(3) ①先用含$m$的代数式表示出$P$、$Q$的坐标，求出$PQ$的长度，根据正方形邻边相等的性质可得$PQ=PN=2$，列绝对值方程求解即可。
②矩形的边为水平、竖直方向，直线$l_1$过点$P$，将矩形分为直角三角形和梯形两部分，结合面积比为1:2的条件，分情况列方程求解即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) $\because$直线$l_1$与$l_2$交点的横坐标为1，且$l_2$的解析式为$y=x$
$\therefore$当$x=1$时，$y=1$，即交点坐标为$(1,1)$
将$(1,1)$代入$y=-x+b$得：$1=-1+b$，解得$b=2$
$\therefore$直线$l_1$对应的函数表达式为$y=-x+2$
(2) 当$m=-1$时，点$P$在$l_1$上，将$x=-1$代入$y=-x+2$得：$y=-(-1)+2=3$
$\therefore P$点坐标为$(-1,3)$
$\because PQ// x$轴，$\therefore Q$点纵坐标与$P$点相同，为3
$\because Q$在$l_2:y=x$上，$\therefore Q$点横坐标也为3，即$Q(3,3)$
$\therefore$线段$PQ$的长度为$|3-(-1)|=4$
(3) ①$\because$点$P$的横坐标为$m$，且$P$在$l_1$上，$\therefore P$点坐标为$(m, -m+2)$
$\because PQ// x$轴，$Q$在$l_2$上，$\therefore Q$点纵坐标为$-m+2$，横坐标等于纵坐标，即$Q(2-m, 2-m)$
$\therefore PQ$的长度为$|(2-m)-m|=|2-2m|$
$\because$四边形$PQMN$是正方形，$\therefore PQ=PN=2$
即$|2-2m|=2$
当$2-2m=2$时，解得$m=0$；当$2-2m=-2$时，解得$m=2$
$\therefore m$的值为0或2
②矩形$PQMN$的总面积$S=PQ× PN=2|2-2m|=4|1-m|$
直线$l_1$过点$P$，将矩形分为两部分，面积比为1:2，分两种情况：
情况1：分割得到的直角三角形面积为总面积的$\frac{1}{3}$，此时交点在$MN$边上，三角形面积为$\frac{1}{2}×2×2=2$，列方程得$2=\frac{1}{3}×4(1-m)$，解得$m=-\frac{1}{2}$；
情况2：分割得到的直角三角形面积为总面积的$\frac{1}{3}$，此时交点在$QM$边上，设$PQ=a=2-2m$，三角形面积为$\frac{1}{2}a^2$，列方程得$\frac{1}{2}a^2=\frac{1}{3}×2a$，解得$a=\frac{4}{3}$，即$2-2m=\frac{4}{3}$，解得$m=\frac{1}{3}$。
综上，$m$的值为$-\frac{1}{2}$或$\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $y = -x + 2$
(2) $(3,3)$；$4$
(3) ① $m=2$或$0$；② $m$的值为$-\frac{1}{2}$或$\frac{1}{3}$
【知识点】
一次函数交点问题；正方形的性质；矩形的面积计算
【点评】
本题综合考查一次函数的图像与性质、特殊四边形的性质，解题时要学会用含参数的代数式表示点坐标，结合图形性质列方程求解，注意分类讨论思想的运用，避免漏解。
【难度系数】
0.3