24. 计算：$\sqrt[3]{8} + |\sqrt{3} - 2| - \sqrt{2^2} =$ .

解：
$\sqrt[3]{8}=2$，
因为$\sqrt{3}＜2$，所以$|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$，
$\sqrt{2^2}=2$，
代入原式得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2+(2-\sqrt{3})-2\\&=2+2-\sqrt{3}-2\\&=2-\sqrt{3}\end{aligned}$
最终结果：$2-\sqrt{3}$

【分析】
这是一道实数混合运算题，解题时先分别计算原式中每一项的值，再进行加减运算即可。第一步先计算立方根：$\sqrt[3]{8}$是求8的立方根；第二步化简绝对值：先判断绝对值内$\sqrt{3}-2$的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号；第三步计算算术平方根：$\sqrt{2^2}$是求$2^2$的算术平方根；最后把三项的结果代入原式合并得到最终结果。
【解析】
先分别计算各项的值：
1. 计算立方根：因为$2^3=8$，所以$\sqrt[3]{8}=2$；
2. 化简绝对值：因为$\sqrt{3}\approx1.732＜2$，可得$\sqrt{3}-2＜0$，根据负数的绝对值等于它的相反数，因此$|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$；
3. 计算算术平方根：$\sqrt{2^2}=\sqrt{4}=2$。
将各项结果代入原式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2+(2-\sqrt{3})-2\\&=2+2-\sqrt{3}-2\\&=2-\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$2-\sqrt{3}$
【知识点】
立方根运算，绝对值化简，算术平方根运算
【点评】
本题属于实数运算的基础题型，核心考查常见实数运算的规则，易错点是化简绝对值时未先判断内部式子的正负，直接去掉绝对值符号导致符号错误，计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.8

25. 现对实数$a$，$b$定义一种运算：$a\otimes b = ab - a + b$. 则$\sqrt{9}\otimes \sqrt[3]{-8}$的值为.

$\boldsymbol{-11}$

【分析】
本题属于新定义运算题型，解题思路如下：首先根据算术平方根、立方根的定义分别求出$\sqrt{9}$和$\sqrt[3]{-8}$的数值；再明确新运算$a\otimes b$的运算规则，确定此处对应$a$、$b$的取值；最后将$a$、$b$代入新运算公式，按照有理数混合运算的法则计算即可得到结果。
【解析】
解：先计算两个根式的值：
$\sqrt{9}=3$，$\sqrt[3]{-8}=-2$
根据新定义运算$a\otimes b = ab - a + b$，此处$a=3$，$b=-2$，代入得：
$\sqrt{9}\otimes \sqrt[3]{-8}=3\otimes (-2)$
$=3× (-2) - 3 + (-2)$
$=-6 -3 -2$
$=-11$
【答案】
$\boldsymbol{-11}$
【知识点】
新定义运算，算术平方根化简，立方根化简
【点评】
本题核心是准确理解新定义的运算规则，同时要熟练掌握根式化简和有理数运算的方法，计算时注意符号的处理，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8

26. 已知$x^2=64$，$(y-1)^3 + 3 = -\dfrac{3}{8}$，且$x＜y$，则$\dfrac{x}{y}$的平方根为.

$\boldsymbol{\pm4}$

【分析】
解题时先分别求解x、y的取值：第一步根据平方根的定义求出x的所有可能值，第二步根据立方根的定义求出y的唯一值，第三步结合x＜y的限制条件筛选出符合要求的x，第四步计算x/y的数值，最后根据平方根的定义求出结果即可，注意不要遗漏平方根的正负两种情况。
【解析】
1. 求x的取值：
已知$x^2=64$，根据平方根的定义可得$x=\pm8$。
2. 求y的取值：
对$(y-1)^3 + 3 = -\dfrac{3}{8}$移项得：
$(y-1)^3=-\dfrac{3}{8}-3=-\dfrac{27}{8}$
根据立方根的定义，因为$(-\dfrac{3}{2})^3=-\dfrac{27}{8}$，所以：
$y-1=-\dfrac{3}{2}$，解得$y=1-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{1}{2}$
3. 筛选x的取值：
已知$x＜y$，$y=-\dfrac{1}{2}$，$8＞-\dfrac{1}{2}$不符合要求，$-8＜-\dfrac{1}{2}$符合要求，因此$x=-8$。
4. 计算$\dfrac{x}{y}$的平方根：
$\dfrac{x}{y}=\dfrac{-8}{-\dfrac{1}{2}}=16$
因为$(\pm4)^2=16$，所以16的平方根为$\pm4$。
【答案】
$\boldsymbol{\pm4}$
【知识点】
平方根的定义，立方根的定义，代数式求值
【点评】
本题属于基础综合题，考查平方根、立方根的运算规则，解题时要注意平方根有两个互为相反数的结果，立方根仅有一个，同时要重视题目给出的大小关系限制，避免代入错误的x取值。
【难度系数】
0.6

27.计算:
(1)$\sqrt{0.49} - \sqrt[3]{\frac{7}{8} - 1} - \sqrt{(-3)^2}$;
(2)$-2^2 ÷ \sqrt{4} + \sqrt[3]{-1} × \sqrt{5} - |2 - \sqrt{5}|$.

解：
(1) 原式$=0.7 - \sqrt[3]{-\frac{1}{8}} - 3$
$=0.7 - (-\frac{1}{2}) - 3$
$=0.7 + 0.5 - 3$
$=-1.8$
(2) 原式$=-4 ÷ 2 + (-1) × \sqrt{5} - (\sqrt{5} - 2)$
$=-2 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 2$
$=-2\sqrt{5}$

【分析】
这两道题均为实数混合运算题，解题遵循“先算乘方、开方、去绝对值，再算乘除，最后算加减”的运算顺序。（1）题先分别计算每个根式的值：先求$\sqrt{0.49}$的算术平方根，再计算立方根内的减法得到被开方数后求立方根，接着计算$\sqrt{(-3)^2}$的结果，最后按从左到右的顺序计算加减即可；（2）题先处理乘方、开方、绝对值：注意$-2^2$是$2$的平方的相反数，结果为$-4$，去$|2-\sqrt{5}|$时先判断$2$和$\sqrt{5}$的大小，再根据绝对值的性质化简，之后依次计算乘除，最后合并同类项，运算过程中要格外注意符号处理。
【解析】
(1) 分别计算各开方项：
$\sqrt{0.49}=0.7$，
立方根内计算：$\frac{7}{8}-1=-\frac{1}{8}$，因此$\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}=-\frac{1}{2}=-0.5$，
$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$，
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=0.7 - \sqrt[3]{-\frac{1}{8}} - 3\\&=0.7 - (-\frac{1}{2}) - 3\\&=0.7 + 0.5 - 3\\&=-1.8\end{aligned}$
(2) 先计算乘方、开方、去绝对值：
$-2^2=-4$，$\sqrt{4}=2$，$\sqrt[3]{-1}=-1$，
因为$\sqrt{5}＞2$，所以$|2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2$，
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=-4 ÷ 2 + (-1) × \sqrt{5} - (\sqrt{5} - 2)\\&=-2 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 2\\&=-2\sqrt{5}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1.8}$；(2) $\boldsymbol{-2\sqrt{5}}$
【知识点】
实数混合运算，开方运算，绝对值化简
【点评】
本题是实数运算的基础题型，解题关键是熟练掌握算术平方根、立方根的运算规则和绝对值的化简方法，运算时严格遵循运算顺序，重点注意负号的判断，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7

28.已知$5a+2$的立方根是$3$，$3a+b-1$的算术平方根是$4$，$c$是$\sqrt{13}$的整数部分.
(1)求$a,b,c$的值；
(2)求$3a-b+c$的平方根.

解：
(1) 因为$5a+2$的立方根是$3$，
所以$5a + 2 = 3^3 = 27$，
解得$a = 5$。
因为$3a + b - 1$的算术平方根是$4$，
所以$3a + b - 1 = 4^2 = 16$，
将$a=5$代入得：$3×5 + b - 1 = 16$，
解得$b = 2$。
因为$9 ＜ 13 ＜ 16$，所以$3 ＜ \sqrt{13} ＜ 4$，
所以$\sqrt{13}$的整数部分为$3$，即$c=3$。
(2) 将$a=5$，$b=2$，$c=3$代入$3a - b + c$，得：
$3a - b + c = 3×5 - 2 + 3 = 16$，
因为$16$的平方根是$\pm4$，
所以$3a - b + c$的平方根是$\pm4$。

【分析】
解题时先根据立方根的定义：若一个数的立方根是m，则这个数等于m³，据此列方程求出a的值；再根据算术平方根的定义：若一个数的算术平方根是n，则这个数等于n²，将a的值代入列方程求出b的值；最后估算√13的范围，找到其整数部分得到c的值。第二问先将a、b、c的值代入代数式计算出结果，再根据平方根的定义求出结果的平方根即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
(1) 因为$5a+2$的立方根是$3$，根据立方根的性质可得：
$5a + 2 = 3^3 = 27$，
解得$a = 5$。
因为$3a + b - 1$的算术平方根是$4$，根据算术平方根的性质可得：
$3a + b - 1 = 4^2 = 16$，
将$a=5$代入上式：$3×5 + b - 1 = 16$，
解得$b = 2$。
因为$9 ＜ 13 ＜ 16$，对三边同时开平方可得$3 ＜ \sqrt{13} ＜ 4$，
所以$\sqrt{13}$的整数部分为$3$，即$c=3$。
(2) 将$a=5$，$b=2$，$c=3$代入$3a - b + c$得：
$3a - b + c = 3×5 - 2 + 3 = 16$，
因为$(\pm4)^2=16$，所以16的平方根是$\pm4$，
即$3a - b + c$的平方根是$\pm4$。
【答案】
(1) $a=5$，$b=2$，$c=3$；(2) $\pm4$
【知识点】
立方根的定义；算术平方根的定义；无理数的估算
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查根式相关的基础概念，解题的关键是熟练掌握立方根、算术平方根、平方根的区别与联系，以及估算无理数整数部分的方法，解题时注意不要遗漏正数的负平方根。
【难度系数】
0.7

29.已知一个正方体的体积是1 000 cm³，现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体，使截去后余下的体积是488 cm³，截去的每个小正方体的棱长是多少？

解：设截去的每个小正方体的棱长为$ x \, \mathrm{cm} $。
根据题意列方程：
$8x^3 = 1000 - 488$
化简得：
$8x^3 = 512$
两边同时除以8：
$x^3 = 64$
解得：
$x = 4$
答：截去的每个小正方体的棱长是$ 4 \, \mathrm{cm} $。

【分析】
解题时首先明确等量关系：8个小正方体的总体积=原正方体体积-截去后余下的体积。首先设每个小正方体的棱长为x cm，根据正方体体积公式可得单个小正方体体积为$x^3 \, \mathrm{cm^3}$，8个的总体积就是$8x^3 \, \mathrm{cm^3}$，再结合已知的原体积和剩余体积列方程，最后通过计算立方根求出棱长即可，注意棱长为正数，只取正根。
【解析】
解：设截去的每个小正方体的棱长为$ x \, \mathrm{cm} $。
根据题意列方程：
$8x^3 = 1000 - 488$
化简得：
$8x^3 = 512$
两边同时除以8：
$x^3 = 64$
解得：
$x = 4$
答：截去的每个小正方体的棱长是$ 4 \, \mathrm{cm} $。
【答案】
$4 \, \mathrm{cm}$
【知识点】
正方体体积计算，列方程解应用题，立方根运算
【点评】
本题是基础的几何实际应用题，解题核心是找准体积间的等量关系列出方程，计算时注意立方根的求解规则，整体解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8