4. 如图,已知O是∠ABC,∠ACB的平分线BO, CO的交点,过点O作EF//BC,分别交AB于点E,交AC于点F。若∠AEF=40°,∠AFE=60°,求∠BOC的度数。

130°

1. 由EF//BC，根据平行线的同位角相等性质，可得：
∠ABC = ∠AEF = 40°，∠ACB = ∠AFE = 60°
2. 已知BO是∠ABC的角平分线，CO是∠ACB的角平分线，根据角平分线的定义：
∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$ × 40° = 20°
∠OCB = $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2}$ × 60° = 30°
3. 在△BOC中，根据三角形内角和为180°，计算得：
∠BOC = 180° - ∠OBC - ∠OCB = 180° - 20° - 30° = 130°

5. 如图,已知$DF// AC,∠C=∠D$,则$∠1=∠2$。请说明理由。

通过上述推导可证得$\boldsymbol{∠ 1=∠ 2}$。

我们可以利用平行线的性质与判定、对顶角相等的性质逐步推导：
1. 已知$DF// AC$，根据两直线平行，内错角相等，可得$∠ D = ∠ ABD$。
2. 已知$∠ C = ∠ D$，通过等量代换得到$∠ ABD = ∠ C$。
3. 根据同位角相等，两直线平行，由$∠ ABD = ∠ C$可推出$BD// CE$。
4. 再根据两直线平行，同位角相等，可得$∠ 1 = ∠ ANC$。
5. 又因为$∠ ANC$和$∠ 2$是对顶角，根据对顶角相等，得$∠ ANC = ∠ 2$。
6. 最后通过等量代换，即可证得$∠ 1 = ∠ 2$。

1. 如图，$∠ AOB$的两边$OA$，$OB$均为平面反光镜，$∠ AOB=35°$，从$OB$上的点$E$射出的一束光经$OA$上的点$D$反射后，反射光$DC$恰好与$OB$平行，则$∠ DEB$的度数是（）。

A.$35°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$110°$

C

1. 由DC//OB，根据两直线平行，同位角相等，得∠ADC = ∠AOB = 35°。
2. 根据光的反射规律，反射角等于入射角，因此∠ODE = ∠ADC = 35°。
3. 由三角形外角的性质，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得∠DEB = ∠AOB + ∠ODE = 35° + 35° = 70°。

2. 如图,将$△ ABC$沿直线$BC$平移,得到$△ DEF$。若$∠ A=82°$, $BC=10$, $EC=4$, 则$∠ D=\_\_\_\_\_\_°$, $CF=\_\_\_\_\_\_$。

82；6

根据平移的性质：平移前后的图形完全全等，对应角相等，对应点的连线长度相等。
1. 求∠D：△ABC沿直线BC平移得到△DEF，因此△ABC≌△DEF，对应角∠D=∠A，已知∠A=82°，可得∠D=82°。
2. 求CF：平移后点B的对应点为E，点C的对应点为F，因此BE=CF。已知BC=10，EC=4，计算得BE=BC-EC=10-4=6，因此CF=6。

3. 如图,将$△ ABC$沿直线$BC$向右平移后到达$△ DCE$的位置。若$∠ ABC=100°,∠ ACB=50°$,则$∠ 1=$。

30°

根据平移的性质，平移前后的图形全等，可得△ABC≌△DCE，因此对应角∠DCE=∠ABC=100°。
由点B、C、E在同一直线上，根据平角的定义，可得∠ACB + ∠1 + ∠DCE = 180°。
将∠ACB=50°、∠DCE=100°代入计算，得∠1=180°-50°-100°=30°。

4. 如图,把$△ ABC$沿箭头所指的方向平移,使点$B$经平移后所得的点是$B'$,作出平移后所得到的图形$△ A'B'C'$。

按照上述步骤作出的△A'B'C'即为所求的平移后图形。

根据平移的性质：平移前后对应点的连线平行（或共线）且相等，作图步骤如下：
1. 连接已知对应点B和B'，确定本次平移的方向和距离；
2. 过点A作线段BB'的平行线，沿B→B'的方向在平行线上截取线段AA'，使AA' = BB'，得到点A平移后的对应点A'；
3. 过点C作线段BB'的平行线，沿B→B'的方向在平行线上截取线段CC'，使CC' = BB'，得到点C平移后的对应点C'；
4. 顺次连接A'、B'、C'，得到的三角形就是平移后的△A'B'C'。

5. 如图,桌面上,沿直线$ l $摆放着两块大小相同的直角三角尺,它们中较大锐角的度数为$ 60° $。将$ △ ECD $沿直线$ l $向左平移到图中虚线所示的位置,使点$ E $的对应点$ E' $落在$ AB $上, $ P $为$ AC $与$ E'D' $的交点。

(1)求$ ∠ CPD' $的度数。(2)说明$ AB ⊥ E'D' $成立的理由。

(1) $\boldsymbol{60°}$；(2) 推导如上，$AB⊥ E'D'$成立。

(1) 由平移的性质可知，平移前后对应线段平行，因此$E'D'// ED$。
根据平行线的同位角相等，可得$∠ CPD' = ∠ CED$。
已知两块三角尺是直角三角尺，较大锐角为$60°$，在$\mathrm{Rt}△ ECD$中，$∠ ECD=90°$，因此$∠ CED=60°$，可得$∠ CPD'=60°$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=60°$，由直角三角形两锐角互余，得$∠ A = 90° - 60° = 30°$。
因为$∠ APE'$和$∠ CPD'$是对顶角，所以$∠ APE' = ∠ CPD' = 60°$。
在$△ AE'P$中，由三角形内角和为$180°$，得：
$∠ AE'P = 180° - ∠ A - ∠ APE' = 180° - 30° - 60° = 90°$，
根据垂直的定义，即可说明$AB⊥ E'D'$成立。