6. 两个全等的梯形纸片按图（a）所示的方式重合摆放，将梯形纸片ABCD沿上底AD方向向右平移得到图（b）。已知AD=4，BC=8，若阴影部分的面积是四边形$A'B'CD$面积的$\frac{1}{3}$，求图（b）中的平移距离$A'A$。

$\boldsymbol{3}$

设平移距离A'A = x，梯形的高为h。
根据平移的性质可得：D'D = A'A = x，C'C = A'A = x。
1. 计算阴影部分面积：
阴影部分为梯形，上底长AD' = AD - A'A = 4 - x，下底长BC' = BC - A'A = 8 - x，因此：
$ S_{\mathrm{阴}} = \frac{1}{2} × [(4-x)+(8-x)] × h = (6-x)h2. $计算四边形A'B'CD的面积： 四边形A'B'CD为梯形，上底长A'D = A'A + AD = x + 4，下底长B'C = A'A + BC = x + 8，因此：$ S_{A'B'CD} = \frac{1}{2} × [(x+4)+(x+8)] × h = (6+x)h$
3. 根据题意列方程求解：
由$S_{\mathrm{阴}} = \frac{1}{3} S_{A'B'CD}$，代入得：
$ (6-x)h = \frac{1}{3}(6+x)h $因为h ≠ 0，两边约去h后整理： 18 - 3x = 6 + x
4x = 12 解得x=3。

1. 在下列生活、生产现象中:①把弯曲的公路改直,就能缩短路程;②用两颗钉子就可以把木条固定在墙上;③把粉笔看成一个点,当粉笔运动时就可以在黑板上画出一条线;④用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分,会发现剩下的树叶周长小于原树叶的周长,可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释的是________(填序号)。

①④

我们逐个分析各现象对应的几何原理：
1. 现象①：将弯曲公路改直缩短路程，符合“两点之间线段最短”的基本事实；
2. 现象②：用两颗钉子固定木条，对应的原理是“两点确定一条直线”，不符合要求；
3. 现象③：粉笔作为点运动画出线，对应的原理是“点动成线”，不符合要求；
4. 现象④：沿直线剪树叶后剩余周长小于原周长，是因为树叶上对应两点间的曲线长度大于两点间的线段长度，符合“两点之间线段最短”的基本事实。
因此可以用该基本事实解释的是①④。

2. 如图,已知点A, B, C, D,请用直尺和圆规按要求完成下列画图,并回答问题。

(1) 连结AB,延长AB到E,使$BE=2AB$。
(2) 分别画直线AC,射线AD。
(3) 在射线AD上找一点P,使$PC+PB$最小,画出点P,此画图的依据是$\underline{\hspace{5cm}}$。

两点之间，线段最短，按上述步骤完成对应画图即可。

1. 完成(1)的操作：用直尺连接点A、B得到线段AB，将线段AB向点B的一侧延长，使用圆规量取AB的长度，从点B开始在延长线上连续截取2段长度等于AB的线段，最终得到的端点就是点E，满足BE=2AB。
2. 完成(2)的操作：用直尺过A、C两点画出可向两端无限延伸的直线AC；再以点A为端点，经过点D向D的方向无限延伸，画出射线AD。
3. 完成(3)的操作：连接点B、C，线段BC与射线AD的交点就是所求的点P，此时PC+PB=BC，取得最小值，该画图的依据是两点之间，线段最短。

3. 如图，A，E分别是$△ DBC$的边BD，BC上的点，且$AE ⊥ BC$，$∠ 1 = ∠ 2$，求$∠ BCD$的度数。

$\boldsymbol{90°}$

1. 由$AE ⊥ BC$，根据垂直的定义，可得$∠ AEC = 90°$。
2. 已知$∠ 1 = ∠ 2$，二者是直线$AE$、$DC$被$AC$所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可推出$AE // DC$。
3. 根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得$∠ AEC + ∠ BCD = 180°$。
4. 将$∠ AEC=90°$代入计算，得$∠ BCD = 180° - 90° = 90°$。